新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件新人教A版選擇性必修第三冊

第六章6.1第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

分類加法計數(shù)原理完成一件事有

不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.

名師點睛應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成這件事.(2)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確地對“這件事”進(jìn)行分類,不同類方案的任意兩種方法不同,也就是分類必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類方案,則A∩B=?,A∪B=U(U表示全集).兩類

m+n過關(guān)自診1.分類加法計數(shù)原理中每類方案的特征是什么?2.從3名女同學(xué)和4名男同學(xué)中任意選出一人主持一次班會,則不同的選法種數(shù)為(

)

A.8 B.7 C.5 D.4提示

任何一類方案中的任何一種方法都可以獨立完成這件事.B解析

從3名女同學(xué)和4名男同學(xué)中任意選出一人主持一次班會,有兩類方案:第1類方案是從3名女同學(xué)中選出一人,有3種選法;第2類方案是從4名男同學(xué)中選出一人,有4種選法.由分類加法計數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為N=3+4=7.知識點2

分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要

步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.

名師點睛應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事必須要完成幾步.(2)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須關(guān)聯(lián),只有按照這幾步逐步地去做,才能完成這件事,各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏.兩個

m×n過關(guān)自診1.分類加法計數(shù)原理每一類方案中的方法和分步乘法計數(shù)原理每一步中的方法有何區(qū)別?提示

分類加法計數(shù)原理每一類方案中的每種方法可以單獨完成一件事情,而分步乘法計數(shù)原理每一步中的方法不能獨立完成一件事情.2.[北師大版教材習(xí)題]甲有5件不同顏色的上衣,6條不同樣式的褲子和4雙不同的鞋子,如果把1件上衣、1條褲子和1雙鞋子看作一種搭配方法,那么甲著裝時,共有多少種不同的搭配方法?解

任選1件上衣、1條褲子和1雙鞋子,可以分三個步驟完成:第1步,從5

件不同顏色的上衣中任選1件,有5種選法;第2步,從6條不同樣式的褲子中任選1條,有6種選法;第3步,從4雙不同的鞋子中任選1雙,有4種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有不同的搭配方法的種數(shù)為5×6×4=120.知識點3

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:都是有關(guān)做一件事的

種數(shù)的問題.

2.區(qū)別:分類加法計數(shù)原理針對的是

問題,其中各種方法

,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是

問題,各個步驟中的方法

,只有每一個步驟都完成才算做完這件事.

不同方法

“分類”相互獨立

“分步”互相依存

過關(guān)自診1.當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時,分步和分類有何先后順序嗎?提示

當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時,通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類,并且要明確分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的程序問題.2.[人教B版教材例題]某班班委由2位女同學(xué)、3位男同學(xué)組成,現(xiàn)要從該班班委里選出2人去參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動,要求至少要有1位女同學(xué)參加,則不同的選法共有多少種?解

按照選擇的女同學(xué)人數(shù)分為兩種情況,即2位都是女同學(xué)和只有1位女同學(xué).2位都是女同學(xué)的選法顯然只有1種.只有1位女同學(xué)的選法,可以分為兩步完成:先從2位女同學(xué)中選出1人,有2種選法;再從3位男同學(xué)中選出1人,有3種選法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有不同的選法種數(shù)為2×3=6.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為6+1=7.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一分類加法計數(shù)原理【例1】

某校高三共有三個班,各班人數(shù)如下表:班級男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,有多少種不同的選法?(2)從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,有多少種不同的選法?解

(1)從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選出1名學(xué)生,有60種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學(xué)生,有55種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,不同選法的種數(shù)為50+60+55=165.(2)從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第3類,從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生,有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,不同選法的種數(shù)為30+30+20=80.規(guī)律方法

利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路

變式訓(xùn)練1[北師大版教材例題]在1,2,3,…,200中,能夠被5整除的數(shù)共有多少個?解

能夠被5整除的數(shù),末位數(shù)字是0或5,因此,我們把1,2,3,…,200中能夠被5整除的數(shù)分成2類來計數(shù):第1類,末位數(shù)字是0的數(shù),共有20個;第2類,末位數(shù)字是5的數(shù),共有20個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,在1,2,3,…,200中,能夠被5整除的數(shù)共有N=20+20=40個.探究點二分步乘法計數(shù)原理【例2】

一種號碼鎖有4個撥號盤,每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字,這4個撥號盤可以組成多少個四個數(shù)字的組合號碼?(各位置上的數(shù)字允許重復(fù))解

4個撥號盤組成四個數(shù)字的組合號碼可以分四步完成:第1步,第1個撥號盤有10種撥號方式,所以m1=10;第2步,第2個撥號盤有10種撥號方式,所以m2=10;第3步,第3個撥號盤有10種撥號方式,所以m3=10;第4步,第4個撥號盤有10種撥號方式,所以m4=10.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可以組成N=10×10×10×10=10

000個四個數(shù)字的組合號碼.變式探究

若各位置上的數(shù)字不允許重復(fù),那么這個撥號盤可以組成多少個四個數(shù)字的組合號碼?

解

4個撥號盤組成四個數(shù)字的組合號碼可以分四步完成:第1步,第1個撥號盤有10種撥號方式,即m1=10;第2步,去掉第1步撥的數(shù)字,第2個撥號盤有9種撥號方式,即m2=9;第3步,去掉前兩步撥的數(shù)字,第3個撥號盤有8種撥號方式,即m3=8;第4步,去掉前三步撥的數(shù)字,第4個撥號盤有7種撥號方式,即m4=7.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可以組成N=10×9×8×7=5

040個四個數(shù)字不重復(fù)的組合號碼.規(guī)律方法

利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路

變式訓(xùn)練2[蘇教版教材例題]3名同學(xué)每人從5本不同的電子書中任選1本,共有多少種不同的選法?解

3名同學(xué)每人從5本不同的電子書中任選1本,可以分三個步驟完成:第1步,第一名同學(xué)選1本電子書有5種不同的選法;第2步,第二名同學(xué)選1本電子書有5種不同的選法;第3步,第三名同學(xué)選1本電子書有5種不同的選法.因此,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,3名同學(xué)每人各選1本電子書的不同選法種數(shù)是5×5×5=125.探究點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】

某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不同的選法?解

由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.設(shè)既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選、不入選兩類情形,入選后又要分兩種:(1)教英語;(2)教日語.第1類:甲入選.(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×2=2種選法;(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×6=6種選法.故甲入選的不同選法種數(shù)為2+6=8.第2類:甲不入選.可分兩步:第1步,從只會英語的6人中選1人有6種選法,第2步,從只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理知,有6×2=12種不同的選法.綜上,共有不同選法種數(shù)為8+12=20.規(guī)律方法

1.使用兩個原理的原則使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決;“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決.2.應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進(jìn)行計算.變式訓(xùn)練3集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},從集合A,B中各取1個元素,作為點P(x,y)的坐標(biāo).(1)可以得到多少個不同的點?(2)這些點中,位于第一象限的有幾個?

解

(1)從集合A,B中各取1個元素,可以分為兩類方案:第1類方案是集合A中元素為x,B中元素為y,共有3×4=12個不同的點;第2類方案是集合A中元素為y,B中元素為x,共有4×3=12個不同的點.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的點的個數(shù)為12+12=24.(2)第一象限內(nèi)的點,x,y均為正數(shù),所以只能取集合A,B中的正數(shù),共有2×2+2×2=8個不同的點.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)分類加法計數(shù)原理;(2)分步乘法計數(shù)原理.2.方法歸納:分類討論.3.常見誤區(qū):分不清“分類”與“分步”的判斷方法,導(dǎo)致計數(shù)錯誤.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123451.某校高一年級共8個班,高二年級共6個班,從中選一個班級擔(dān)任學(xué)校星期一早晨的升旗任務(wù),安排方法的種數(shù)為(

)A.8 B.6 C.14 D.48C解析

由分類加法計數(shù)原理,完成升旗這一任務(wù)的安排方法的種數(shù)為8+6=14.123452.準(zhǔn)備用3個字符,其中首字符用A,B,后兩個字符用a,b,c(允許重復(fù)),給一些書編號(每本書的編號均不相同),則最多能給(

)本書編號.A.8 B.9 C.12 D.18D解析

需分三步完成:第1步,首字符有2種編法;第2步,第二個字符有3種編法;第3步,第三個字符有3種編法.由分步乘法計數(shù)原理知,最多能給2×3×3=18本書編號.123453.某體育場南側(cè)有4個大門,北側(cè)有3個大門,小李到體育場看比賽,則他進(jìn)、出體育場的方案種數(shù)為(

)A.12 B.7 C.14 D.49D解析

完成進(jìn)、出體育場這件事,需要分兩個步驟完成:第1步,進(jìn)體育場,共有4+3=7種方法,第2步,出體育場,共有4+3=7種方法.由分步乘法計數(shù)