2024版新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末復(fù)習(xí)課導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

第三章章末復(fù)習(xí)課知識(shí)網(wǎng)考點(diǎn)聚考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域1．函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．2．通過(guò)對(duì)函數(shù)的定義域的求解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例1(1)函數(shù)y＝3x21-2x＋(2x＋1)A．(－∞，－12B．(－∞，－12C．(12，＋∞D(zhuǎn)．(－∞，－12(2)已知函數(shù)f(x＋2)的定義域?yàn)?－1，1)，則函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域?yàn)?)A．(－1，1)B．(－3，1)C．(0，1)D．(1，2)跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)y＝fx+1x-1A．[－1，1)B．(1，3]C．[－1，0)∪(2)函數(shù)f(x)＝1x-1＋(x－2)考點(diǎn)二分段函數(shù)1．分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的表達(dá)式，主要考查與分段函數(shù)有關(guān)的求值、求參數(shù)、單調(diào)性、奇偶性等問(wèn)題．2．通過(guò)對(duì)分段函數(shù)的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例2(1)已知函數(shù)f(x)＝x-3，x<2，fA．－2B．0C．1D．2(2)已知f(x)＝x2+1，x≥02x，x<0，若f(A．－3或3B．3或5C．－3或5D．3跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝3+3x，-3≤x<1x2-3x，A．－274B．－C．－2716D．－(2)已知函數(shù)f(x)＝x-1，x>2x-4+m，x≤考點(diǎn)三求函數(shù)的解析式1．求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用換元法或配湊法．(2)已知函數(shù)的類(lèi)型(往往是一次函數(shù)或二次函數(shù))，使用待定系數(shù)法．(3)含f(x)與f(－x)或f(x)與f1x(4)已知一個(gè)區(qū)間的解析式，求另一個(gè)區(qū)間的解析式，可用奇偶性轉(zhuǎn)移法．2．通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的求解，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例3(1)已知函數(shù)f(1-x1+x)＝1-x21+x2A．f(x)＝2x1+x2(xB．f(x)＝－2x1+x2(xC．f(x)＝x1+x2(xD．f(x)＝－x1+x2(x(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝________.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知一次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x＋2)－2f(2x＋1)＝－9x－4，則f(x)解析式為()A．f(x)＝－2x－4B．f(x)＝－2x＋3C．f(x)＝3x＋4D．f(x)＝－3x＋2(2)已知f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－x－2，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝________________．考點(diǎn)四函數(shù)的圖象及應(yīng)用1．會(huì)根據(jù)函數(shù)的解析式及性質(zhì)判斷函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象可以直觀的觀察函數(shù)值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等，重點(diǎn)是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、分段函數(shù)和冪函數(shù)的圖象．2．通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的考查，提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．例4已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)圖象為拋物線(xiàn)的一部分．(1)請(qǐng)畫(huà)出當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)f(x)的圖象；(2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式，值域，單調(diào)增區(qū)間．跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)＝|x－1|·(x＋3)．(1)將函數(shù)解析式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，然后在坐標(biāo)系中畫(huà)出f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出f(x)的單調(diào)增區(qū)間．考點(diǎn)五函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1．函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，從命題形式看，求單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性與奇偶性的判定，利用單調(diào)性求最值或參數(shù)的取值范圍是命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)．2．通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例5已知函數(shù)f(x)＝2x-ax2+1是定義在[(1)求a的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并用定義加以證明；(3)求使f(m－1)－f(1－2m)<0成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．跟蹤訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)＝mx2+23x+n是奇函數(shù)，且f(2)(1)求實(shí)數(shù)m和n的值；(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)；(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上的最值，并指出最值點(diǎn)．考點(diǎn)六函數(shù)模型的應(yīng)用1．以現(xiàn)實(shí)生活為背景，解決生活中的成本最少、利潤(rùn)最高等問(wèn)題，一般是通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，能運(yùn)用函數(shù)思想處理現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題．2．通過(guò)對(duì)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的掌握，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理素養(yǎng)．例6首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開(kāi)，本屆大會(huì)以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題．某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為y＝12x2－200x＋80000，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100(1)該單位每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則需要國(guó)家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？跟蹤訓(xùn)練6甲、乙兩汽車(chē)出租公司均有50輛汽車(chē)對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對(duì)話(huà)：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車(chē)月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車(chē)可以全部租出．如果每輛汽車(chē)的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車(chē)．另外，公司為每輛租出的汽車(chē)支付月維護(hù)費(fèi)200元．乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車(chē)月租費(fèi)3500元，無(wú)論是否租出汽車(chē)，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元．說(shuō)明：①汽車(chē)數(shù)量為整數(shù)；②月利潤(rùn)＝月租車(chē)費(fèi)－月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤(rùn)差＝月利潤(rùn)較高公司的利潤(rùn)－月利潤(rùn)較低公司的利潤(rùn)．在兩公司租出的汽車(chē)數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車(chē)為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是________元；當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車(chē)為_(kāi)_______輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；(2)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車(chē)捐出a元(a>0)給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)兩公司租出的汽車(chē)均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差最大，求a的取值范圍．章末復(fù)習(xí)課例1解析：(1)依題意，1-2x>02x+1≠0，解得x<1所以函數(shù)y＝3x21-2x＋(2x＋1)0的定義域?yàn)?－∞(2)設(shè)x＋2＝t，則f(x＋2)＝f(t)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋2)的定義域?yàn)?－1，1)，所以當(dāng)－1<x<1時(shí)，f(x＋2)有意義，所以1<x＋2<3，故當(dāng)且僅當(dāng)1<t<3時(shí)，函數(shù)f(t)有意義，所以函數(shù)f(t)的定義域?yàn)?1，3)，由函數(shù)f(2x－1)有意義可得1<2x－1<3，所以1<x<2，所以函數(shù)f(2x－1)的定義域?yàn)?1，2)．故選D.答案：(1)B(2)D跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，2]且分式的分母不等于零，所以0≤解得－1≤x<1，故函數(shù)y＝fx+1x-1的定義域?yàn)閇－1(2)函數(shù)f(x)＝1x-1＋(x－2)0解得：x>1且x≠2.所以f(x)的定義域?yàn)?1，2)∪答案：(1)A(2)(1，2)∪例2解析：(1)根據(jù)分段函數(shù)可知：f(6)＝f(5)＝f(4)＝f(3)＝f(2)＝f(1)＝－2.故選A.(2)由題意，當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝3或a＝－3(舍去)；當(dāng)a<0，f(a)＝2a＝10，解得a＝5(舍去)；綜上，a＝3.故選D.答案：(1)A(2)D跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)因?yàn)閒(x)＝3+3x，-3≤x<1x所以f(32)＝(32)2－3×32因?yàn)椋?≤－94<1所以f(－94)＝3＋3×(－94)＝－154(2)∵f(9)＝9－1＝2，∴f(f(9))＝f(2)＝|2－4|＋m＝6，所以m＝4.答案：(1)B(2)4例3解析：(1)令t＝1-x1+x，則x＝1-t1+t所以f(t)＝1-1-t1+t21+1所以f(x)＝2x1+x2(x≠－(2)x<0時(shí)，－x>0，f(x)是奇函數(shù)，此時(shí)f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x.答案：(1)A(2)－x2－2x跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)設(shè)一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(x＋2)－2f(2x＋1)＝ax＋2a＋b－4ax－2a－2b＝－9x－4，即－3ax－b＝－9x－4，所以-3a=-9所以f(x)＝3x＋4.故選C.(2)由題意，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－x－2，設(shè)x<0，則－x>0，此時(shí)f(－x)＝(－x)2－(－x)－2＝x2＋x－2，又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可得f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋x－2(x<0)．答案：(1)C(2)x2＋x－2例4解析：(1)x>0時(shí)函數(shù)的圖象如圖所示：(2)由題設(shè)中的圖象可得x≤0，f(x)＝0有兩個(gè)解，它們分別為－2，0，故可設(shè)f(x)＝ax(x＋2)，而f(－1)＝－1，故a×(－1)×1＝－1，解得a＝1，故當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x(x＋2)．而當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝－x(－x＋2)＝x(x－2)，因f(x)為偶函數(shù)，故f(x)＝f(－x)＝x2－2x，所以f(x)＝x2從題設(shè)的函數(shù)圖象可得，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)的取值范圍為[－1，＋∞)，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，故f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)在(－1，0)上為增函數(shù)，在(－∞，－1)為減函數(shù)，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，故f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)為增函數(shù)，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－1，0)，(1，＋∞)．跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x2＋2x－3，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝－x2－2x＋3，所以f(x)＝x2其圖象如圖所示：(2)由圖象知，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)．例5解析：(1)因?yàn)閒(x)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，所以f(0)＝2×0-a0所以a＝0，此時(shí)f(x)＝2xx2+1，則f(－x)＝-2x-x2+1所以a＝0.(2)f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，證明：設(shè)?x1，x2∈[－1，1]且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝2＝2x1x因?yàn)?x1，x2∈[－1，1]且x1<x2，所以x2-x所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)．(3)由(2)知f(x)＝2xx2+1，f(x)在[－1所以-1即0≤解得0≤m<23所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，23)跟蹤訓(xùn)練5解析：(1)依題意，函數(shù)f(x)＝mx2由3x＋n≠0得x≠－n3，奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以n＝f(x)＝mx2+23x，由f(2)＝53得4m+26＝2m+13則f(x)＝2x2+23x，f(－x)＝－2x2+23x＝－f(x)，f(x)(2)由(1)得f(x)＝2x任取x1<x2≤－1，f(x1)－f(x2)＝2x＝23其中x1x2－1>0，x1－x2<0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)．(3)由(2)可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上遞增，所以，最小值點(diǎn)為－2，最小值為f(－2)＝8+2-6＝－最大值點(diǎn)為－1，最大值為f(－1)＝2+2-3＝－例6解析：(1)由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為yx＝12x＋80000x－200≥212x當(dāng)且僅當(dāng)12x＝80000x，即x＝故當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低為200元．(2)不獲利，設(shè)該單位每個(gè)月獲利為S元，則S＝100x－y＝100x－(12x2－200x＋80000)＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2因?yàn)閤∈[400，600]，則S∈[－80000，－40000]，故當(dāng)該單位每月不獲利，需要國(guó)家每個(gè)月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損．跟蹤訓(xùn)練6解析：(1)由題意可得[(50－10)×50＋3000]×10－200×10＝48000元，當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車(chē)為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是48000元；設(shè)每個(gè)公司租出的汽車(chē)為x輛，設(shè)兩公司的月利潤(rùn)分別為y甲，y乙，月利潤(rùn)差為y，則y甲＝[(50－x)×50＋3000]x－200x,y乙＝3500x－1850，由題意可得：y甲＝y(tǒng)乙，∴－5