2024屆江蘇省永豐初級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆江蘇省永豐初級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足不等式組，若，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知橢圓是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，設(shè)以為對(duì)角線的橢圓內(nèi)接平行四邊形的一組鄰邊斜率分別為，則（）A.1 B.C. D.3．設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為、，則由，可得.類(lèi)比上述方法：設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為，則的值為A.﹣2 B.0C.2 D.44．已知x，y是實(shí)數(shù)，且，則的最大值是（）A. B.C. D.5．設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.C.或 D.或7．已知，分別是圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.8．圓的圓心為（）A. B.C. D.9．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)，圓：，則圓，的公共弦長(zhǎng)為A. B.C. D.210．在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則的值為A. B.1C. D.11．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)(即圓錐用平行于底面的平面截去一個(gè)錐體得到的).下圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.400二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿(mǎn)足，將數(shù)列按如下方式排列成新數(shù)列：，，，，，，，，，…，，…．則新數(shù)列的前70項(xiàng)和為_(kāi)_____14．在等比數(shù)列中，，，則公比________.15．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過(guò)點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為_(kāi)________16．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求19．（12分）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）如圖，△ABC中，，，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于點(diǎn)N），將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體（1）求該幾何體中間一個(gè)空心球表面積的大??；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積21．（12分）已知命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足（其中）；命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足（1）若，為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍22．（10分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，然后根據(jù)線性規(guī)劃的幾何意義求得答案.【詳解】作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域如圖三角形陰影部分，平行移動(dòng)直線直線，可以看到當(dāng)移動(dòng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最小,聯(lián)立，解得，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)直線即過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，故選：B2、C【解析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性和平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，因?yàn)槠叫兴倪呅我彩侵行膶?duì)稱(chēng)圖形，所以也是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，，得：，即，故選：C3、A【解析】用類(lèi)比推理得到，再用待定系數(shù)法得到，，再根據(jù)求解.【詳解】，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查合情推理以及待定系數(shù)法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.4、D【解析】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，進(jìn)而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率，設(shè)，即，當(dāng)此直線與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，當(dāng)切線位于切線AB時(shí)斜率最大.此時(shí)，，，所以的最大值為.故選：D5、B【解析】求出、的值，即可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.6、D【解析】根據(jù)三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，解得，然后分，討論求解.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以，解得，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，所以，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，所以，所以，故選：D7、B【解析】由已知可得，，求得關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則解得，則因?yàn)?，分別在圓和圓上，所以，，則因?yàn)?，所以故選：B.8、D【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】圓的圓心為，故選：D9、A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點(diǎn)即可求出,進(jìn)而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長(zhǎng).【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,將點(diǎn)代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長(zhǎng)為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見(jiàn)直線與圓相交問(wèn)題時(shí),常利用垂徑定理解決問(wèn)題.10、A【解析】根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點(diǎn)，可得，代入，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點(diǎn)故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.11、B【解析】因但12、B【解析】根據(jù)圓臺(tái)的體積等于兩個(gè)圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設(shè)大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓臺(tái)體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##2.9375【解析】先根據(jù)題干條件得到，再利用錯(cuò)位相減法求前64項(xiàng)和，最后求出前70項(xiàng)和.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，②，①-②得：，即又滿(mǎn)足，所以由，得令，則，兩式相減得，則所以新數(shù)列的前70項(xiàng)和為故答案為：14、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中,故,又,故,故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)用,需要注意分析項(xiàng)與公比的正負(fù),屬于基礎(chǔ)題.15、##【解析】根據(jù)給定條件探求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與其焦距的關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，即，依題意，，而直線是圓的切線，即，則有，又點(diǎn)在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：16、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）利用分組求和法，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題知：所以又因?yàn)樗运詳?shù)列為以－1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，所以，，記，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；記兩式相減得：，所以，所以，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.18、（1），（2）4【解析】（1）根據(jù)，即可將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；消參數(shù)，即可求出曲線的普通方程；（2）由題意易知，求出直線的參數(shù)方程，將其代入曲線的普通方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，即可求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】解：直線極坐標(biāo)方程為，即，又，可得的普通方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，消參數(shù)，所以曲線的普通方程為【小問(wèn)2詳解】解：在中令得，，傾斜角，的參數(shù)方程可設(shè)為，即（為參數(shù)），將其代入，得，，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，，異號(hào)，.19、（1）（2）【解析】（1）由，構(gòu)造是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消可求.【小問(wèn)1詳解】由，得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以.因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前n項(xiàng)和.20、（1）；（2）.【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的軸截面圖，根據(jù)已知條件求球的半徑與長(zhǎng)，再利用球體、圓錐的面積、體積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】連接，則，設(shè)，在中，，；【小問(wèn)2詳解】，∴圓錐球.21、（1）（2）【解析】（1）由得命題p：，然后由為真命題求解；（2）由得，再根據(jù)是的充分條件求解.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，由為真命題，，解得；【小問(wèn)2詳解】由（其中）可得，因?yàn)槭堑某浞謼l件，則，解得：22、（1）