2024屆山東省禹城市綜合高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2024屆山東省禹城市綜合高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過雙曲線的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P，為右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.3．隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9次成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關(guān)于這9次成績，則下列說法正確的是（）A.甲成績的中位數(shù)為33 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數(shù)相等 D.甲成績的平均數(shù)低于乙成績的平均數(shù)4．大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀(jì)念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線并延長交雙曲線左支于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)向上移動(dòng)時(shí)，的值（）A.增大 B.減小C.不變 D.無法確定6．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形7．點(diǎn)到直線的距離是（）A. B.C. D.8．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于，兩點(diǎn)，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.9．下列問題中是古典概型的是A.種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率B.擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點(diǎn)的概率C.在區(qū)間[1，4]上任取一數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于1.5概率D.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率10．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)B到直線的距離為（）A. B.C. D.11．已知直線過點(diǎn)且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.12．2021年6月17日9時(shí)22分，搭載神舟十二號(hào)載人飛船的長征二號(hào)F遙十二運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射．此后，神舟十二號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對(duì)接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個(gè)月，開展艙外維修維護(hù)，設(shè)備更換，科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作．已知神舟十二號(hào)飛船的運(yùn)行軌道是以地心為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R，其近地點(diǎn)與地面的距離大約是，遠(yuǎn)地點(diǎn)與地面的距離大約是，則該運(yùn)行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則該雙曲線的實(shí)軸長為______.14．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是______________15．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________16．過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于A，兩點(diǎn)，，則的值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知頂點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)分別在軸，軸上移動(dòng)，延長至點(diǎn)，使得，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）過點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線的斜率為定值；（3）過點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若，直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說明理由.18．（12分）已知數(shù)列{an}滿足，（1）記，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn，證明：19．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.20．（12分）如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)是圓與x軸的交點(diǎn)，橢圓C的長半軸長等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，直線BD與圓O相切，設(shè)直線BD的斜率為．當(dāng)時(shí)，求k21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求線段的長度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.22．（10分）已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為16（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）設(shè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為p，展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為q，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題知是等腰直角三角形，，又根據(jù)通徑的結(jié)論知，結(jié)合可列出關(guān)于的二次齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故選：D.2、D【解析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點(diǎn)之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)椋缘淖钚≈?，?dāng)M在位置或時(shí)等號(hào)成立.故選：D3、D【解析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.4、C【解析】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側(cè)面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C5、C【解析】令雙曲線右焦點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，，結(jié)合雙曲線的定義即可得出結(jié)果.【詳解】令雙曲線右焦點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，，則，為常數(shù)，故選：C.6、D【解析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結(jié)合橢圓定義和已知條件求出并求出，進(jìn)而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構(gòu)成三角形.故選：D.7、B【解析】直接使用點(diǎn)到直線距離公式代入即可.【詳解】由點(diǎn)到直線距離公式得故選：B8、C【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量坐標(biāo)表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要考查韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.9、D【解析】A、B兩項(xiàng)中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項(xiàng)中基本事件的個(gè)數(shù)是無限多個(gè)；D項(xiàng)中基本事件的發(fā)生是等可能的，且是有限個(gè)．故選D【考點(diǎn)】古典概型的判斷10、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，取，，利用向量法，根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，取，，則，，則點(diǎn)B到直線AC1的距離為.故選：A11、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點(diǎn)斜式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即，故選：C.12、A【解析】以運(yùn)行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運(yùn)行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式，可得a，b的關(guān)系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實(shí)軸長為2.故答案為：14、【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，．則四邊形是平行四邊形，可得．設(shè)，由點(diǎn)M到直線l的距離不小于，即有，解得．再利用離心率計(jì)算公式即可得出范圍【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，．則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以，設(shè)，則，故，從而，，，所以，即橢圓的離心率的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題15、【解析】計(jì)算出的值，利用空間向量的數(shù)量積可得出的值，即可得解.【詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.16、2【解析】求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可，，由拋物線的定義可知，，，即可得到【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，則直線的方程為，代入可得，，，由拋物線的定義可知，，，，解得故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)M,P,Q的坐標(biāo),將向量進(jìn)行坐標(biāo)化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，直線的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計(jì)算得到，即可計(jì)算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫出直線AB的方程，將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)【詳解】（1）設(shè)，，.由，得，即.因?yàn)?，所以，所?所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，其方程為.（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，若直線的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線斜率互為相反數(shù)，又，，所以，，整理得，所以.（3）因?yàn)?，所以，即，①直線的方程為：，整理得：，②將①代入②得，即，當(dāng)時(shí)，即直線經(jīng)過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過定點(diǎn)問題.18、（1）證明見解析；bn=2n（2）證明見解析【解析】（1）由遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列即可求解；（2）由（1）求出，再用裂項(xiàng)相消法求和后就可以證明不等式.【小問1詳解】由an+1=2an+1可得所以{bn}是以首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列所以.【小問2詳解】易得于是所以因?yàn)椋?19、（1）；（2）【解析】（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運(yùn)用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，算出|AB|；利用點(diǎn)到直線的距離公式算出點(diǎn)O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積【詳解】（1）拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過一點(diǎn)P（2，m），可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），P（2，m）到焦點(diǎn)的距離為3，即有P到準(zhǔn)線的距離為6，即23，解得p＝2，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x；（2）聯(lián)立方程化簡，得x2﹣6x+1＝0設(shè)交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2＝6，x1x2＝1可得|AB||x1﹣x2|＝8點(diǎn)O到直線l的距離d，所以△AOB的面積為S|AB|?d82【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程的求法及拋物線定義的應(yīng)用，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，考查求焦點(diǎn)弦AB與原點(diǎn)構(gòu)成的△AOB面積，屬于中檔題20、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設(shè)可得，求出參數(shù)b，即可寫出橢圓C的方程；（2）延長線段DB交橢圓C于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性設(shè)B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合已知條件可得，直線與圓相切可得，進(jìn)而求參數(shù)t，即可求直線BD的斜率.【小問1詳解】因?yàn)閳A與x軸的交點(diǎn)分別為，，所以橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問2詳解】延長線段DB交橢圓C于點(diǎn)，因直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)對(duì)稱性得由條件可設(shè)B的坐標(biāo)為，設(shè)D，的縱坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直線與圓相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直線BD斜率【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將已知線段的長度關(guān)系轉(zhuǎn)化為D，的縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，設(shè)直線的含參方程，聯(lián)立橢圓方程及其與圓的相切求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求參數(shù)即可.21、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因?yàn)閷?duì)邊為定值，所以鄰邊最小時(shí)線面角最大；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因?yàn)镻H為定值，所以當(dāng)NH最小時(shí)線面角最大，因?yàn)楫?dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，,此時(shí)