新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布分層作業(yè)課件新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章7.5正態(tài)分布(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二]某廠生產(chǎn)的零件外徑X~N(10,0.04),今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件,測(cè)得其外徑分別為9.9cm,9.3cm,則可認(rèn)為(

)A.上午生產(chǎn)情況正常,下午生產(chǎn)情況異常B.上午生產(chǎn)情況異常,下午生產(chǎn)情況正常C.上午、下午生產(chǎn)情況均正常D.上午、下午生產(chǎn)情況均異常A解析

因測(cè)量值X為隨機(jī)變量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,記I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],則9.9∈I,9.3?I.故選A.12345678910111213141516172.[探究點(diǎn)一]如圖所示是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線的圖象,那么σ1,σ2,σ3的大小關(guān)系是(

)A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3D12345678910111213141516173.[探究點(diǎn)二]已知X~N(0,1),則X在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)取值的概率約為(

)A.0.9545 B.0.0455C.0.9773 D.0.02275D解析

由題知對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線x=0,12345678910111213141516174.[探究點(diǎn)二]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,4),若P(m≤X≤104)≈0.1359,則m等于(

)A.100 B.101C.102 D.103C解析

∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,4),∴P(98≤X≤102)≈0.682

7,P(96≤X≤104)≈0.954

5,∴P(102≤X≤104)≈(0.954

5-0.682

7)=0.135

9.又P(m≤X≤104)≈0.135

9,∴m=102.12345678910111213141516175.[探究點(diǎn)二]已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.6827,則σ=

,P(|X-2|≤4)≈

.

20.8412345678910111213141516176.[探究點(diǎn)二]某班有50名學(xué)生,一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為

.

1012345678910111213141516177.[探究點(diǎn)一、二]已知某地外來務(wù)工人員年均收入X服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線如圖所示.(1)寫出此地外來務(wù)工人員年均收入的正態(tài)密度函數(shù)解析式;(2)估計(jì)此地外來務(wù)工人員年均收入在8000~8500元的人數(shù)所占的百分比.1234567891011121314151617解

設(shè)此地外來務(wù)工人員年均收入X~N(μ,σ2),結(jié)合題圖可知,μ=8

000,σ=500.(1)此地外來務(wù)工人員年均收入的正態(tài)密度函數(shù)解析式為(2)∵P(7

500≤X≤8

500)=P(8

000-500≤X≤8

000+500)≈0.682

7,∴P(8

000≤X≤8

500)=P(7

500≤X≤8

500)≈0.341

35=34.135%.故此地外來務(wù)工人員年均收入在8

000~8

500元的人數(shù)所占的百分比約為34.135%.12345678910111213141516178.[探究點(diǎn)二]在某次大型考試中,某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52),現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?0~85分的有17人,則該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)約有多少人?

1234567891011121314151617解

∵成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,則μ-σ=75,μ+σ=85.∴成績(jī)?cè)赱75,85]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的68.27%,成績(jī)?cè)赱80,85]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的34.135%.設(shè)該班有x名同學(xué),則34.135%x=17,解得x≈50.∵μ-2σ=70,μ+2σ=90,∴成績(jī)?cè)赱70,90]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的95.45%,成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)約占全班同學(xué)的2.275%.50×2.275%≈1,故估計(jì)該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有1人.1234567891011121314151617B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.若隨機(jī)變量X的正態(tài)密度函數(shù)為,X在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1,p2,則p1,p2的關(guān)系為(

)A.p1>p2

B.p1<p2 C.p1=p2

D.不確定C解析

由題意知μ=0,σ=1,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱,所以p1=p2.123456789101112131415161710.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,102),則下列選項(xiàng)不正確的是(

)A.E(X)=100 B.D(X)=100C.P(X≥90)≈0.84135 D.P(X≤120)≈0.99875D解析

∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,102),∴E(X)=μ=100,D(X)=σ2=102=100,故A,B正確;根據(jù)題意可得P(90≤X≤110)≈0.682

7,P(80≤X≤120)≈0.954

5,∴P(X≥90)≈0.5+×0.682

7=0.841

35,故C正確;P(X≤120)≈0.5+×0.954

5=0.977

25,故D錯(cuò)誤.故選D.123456789101112131415161711.在某市高三質(zhì)量檢測(cè)考試中,學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(98,100).已知參加本次考試的全市學(xué)生有9455人,如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)是108分,那么他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約排在全市第(

)A.1500名 B.1700名 C.4500名 D.8000名A123456789101112131415161712.(多選題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其正態(tài)曲線在(-∞,80]上單調(diào)遞增,在[80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且P(72≤X≤88)≈0.6827,則(

)A.μ=80B.σ=4C.P(X>64)≈0.97725D.P(64<X<72)≈0.1359ACD解析

因?yàn)檎龖B(tài)曲線在(-∞,80]上單調(diào)遞增,在[80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱,所以μ=80,故A正確;因?yàn)镻(72≤X≤88)≈0.682

7,結(jié)合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682

7,可知σ=8,故B錯(cuò)誤;因?yàn)镻(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954

5,且P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈×(1-0.954

5)=×0.045

5=0.022

75,所以P(X>64)≈0.977

25,故C正確;因?yàn)镻(X<72)=(1-P(72≤X≤88))≈×(1-0.682

7)=0.158

65,所以P(64<X<72)=P(X>64)-P(X>72)≈0.977

25-(1-0.158

65)=0.135

9,故D正確.1234567891011121314151617123456789101112131415161713.(多選題)下列說法正確的是(

)AB1234567891011121314151617解析

∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(6,),∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),∴正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線x=2,∵P(X≤4)=0.9,∴P(2≤X≤4)=0.4,∴P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=0.4,故B正確;已知隨機(jī)變量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,已知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,則E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),故D錯(cuò)誤.123456789101112131415161714.已知隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為,x∈R,則函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為

,X落在區(qū)間(2,3]上的概率約為

.

x=1

0.1359123456789101112131415161715.[2023廣東佛山二模]某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚,記Y表示800≤X<801的瓷磚片數(shù),則E(Y)=

.

1

解析

由題意,X~N(800,σ2),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線X=800對(duì)稱,所以P(X<800)=0.5.因?yàn)镻(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1.由題意,Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.123456789101112131415161716.某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管,質(zhì)檢員從中抽出若干根對(duì)其直徑(單位:mm)進(jìn)行測(cè)量,得出這批鋼管的直徑X服從正態(tài)分布N(65,4.84).(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢時(shí),測(cè)得一根鋼管的直徑為73mm,他立即要求停止生產(chǎn),檢查設(shè)備,請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí),判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理,并說明判斷的依據(jù);(2)如果鋼管的直徑X在60.6mm~69.4mm之間為合格品(合格品的概率精確到0.01),現(xiàn)要從60根該種鋼管中任意挑選3根,求次品數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.(精確到0.01)1234567891011121314151617解

(1)由題得μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,∴P(X>71.6)==0.001

35,而73∈(μ+3σ,+∞),此事件為小概率事件,故該質(zhì)檢員的決定有道理.(2)因?yàn)棣?65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由題意可知鋼管直徑滿足μ-2σ≤X≤μ+2σ為合格品,所以該批鋼管為合格品的概率約為0.95,所以在60根鋼管中,合格品約57根,次品約3根,任意挑選3根,則次品數(shù)Y的可能取值為0,1,2,3.12345678910111213141516171234567891011121314151617C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.某市教育局為了了解高三學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)情況,對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試(滿分為100分),經(jīng)分析,全市學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)X服從正