北京市海淀區(qū)第二十中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

北京市海淀區(qū)第二十中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在單位正方體中，以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，2．將直線(xiàn)繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到新直線(xiàn)的斜率是（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，則（）A. B.C. D.5．過(guò)拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)作斜率大于的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)（在的上方），且與準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則A. B.C. D.6．直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A B.C. D.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.369．已知，，，若、、三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)A3 B.5C.7 D.910．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．某地為應(yīng)對(duì)極端天氣搶險(xiǎn)救災(zāi)，需調(diào)用A，B兩種卡車(chē)，其中A型卡車(chē)x輛，B型卡車(chē)y輛，以備不時(shí)之需，若x和y滿(mǎn)足約束條件則最多需調(diào)用卡車(chē)的數(shù)量為（）A.7 B.9C.13 D.1412．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線(xiàn)的左、右兩支上，，且點(diǎn)C在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓被直線(xiàn)平分，則值為_(kāi)_________14．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為_(kāi)______15．已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)___________.16．等差數(shù)列的公差，是其前n項(xiàng)和，給出下列命題：若，且，則和都是中的最大項(xiàng)；給定n，對(duì)于一些，都有；存在使和同號(hào)；.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性.18．（12分）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)P為線(xiàn)段MC上的點(diǎn)（1）若平面PAB，試確定點(diǎn)P的位置，并說(shuō)明理由；（2）若，，，求三棱錐的體積19．（12分）如圖，底面是矩形的直棱柱中，；（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的大??；20．（12分）已知斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)：（）于，兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)于，（，不同于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且的平分線(xiàn)與軸垂直，求證：直線(xiàn)的斜率為定值.21．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.22．（10分）雙曲線(xiàn)，離心率，虛軸長(zhǎng)為2（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.2、B【解析】由題意知直線(xiàn)的斜率為，設(shè)其傾斜角為，將直線(xiàn)繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到新直線(xiàn)的斜率為，化簡(jiǎn)求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，將直線(xiàn)繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則故新直線(xiàn)的斜率是.故選：B.3、C【解析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調(diào)性的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.4、C【解析】首先根據(jù)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，確定的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.【詳解】，，因?yàn)辄c(diǎn)到的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，所以，得故選：C5、A【解析】分別過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，設(shè)，則，，故選A.6、C【解析】先聯(lián)立方程得，再求得直線(xiàn)的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，進(jìn)而得直線(xiàn)方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得所以直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以所求直線(xiàn)方程的斜率為，所以所求直線(xiàn)的方程為，即故選：C7、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，即所以，由雙曲線(xiàn)的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B8、B【解析】執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，，滿(mǎn)足；第二次循環(huán)，，滿(mǎn)足；第三次循環(huán)，，不滿(mǎn)足，輸出，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.9、A【解析】由空間向量共面原理得存在實(shí)數(shù)，，使得，由此能求出實(shí)數(shù)【詳解】解：，，，、、三個(gè)向量共面，存在實(shí)數(shù)，，使得，即有：，解得，，實(shí)數(shù)故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量共面原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題10、D【解析】由題意得當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意作出函數(shù)的部分圖象，再結(jié)合圖象即可求出答案【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，又，∴當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；又，則函數(shù)圖象每往右平移兩個(gè)單位，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，作出其大致圖象得，當(dāng)時(shí)，由得，或，由圖可知，若對(duì)任意，都有，則，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題11、B【解析】畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】設(shè)調(diào)用卡車(chē)的數(shù)量為z，則，其中x和y滿(mǎn)足約束條件，作出可行域如圖所示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)，縱截距最大，最大.故選：B12、D【解析】設(shè)，由，得到四邊形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程求解即可【詳解】解：的圓心圓被直線(xiàn)平分，可知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心，可得解得；故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、16【解析】根據(jù)橢圓定義可得：，再用基本不等式求解.【詳解】由橢圓的定義可得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為16故答案為：1615、1【解析】根據(jù)向量共面，可設(shè)，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因?yàn)?，，共面且，不共線(xiàn)，所以可設(shè)，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.16、【解析】對(duì)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和可判斷；對(duì)和，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可直接推導(dǎo)；對(duì)，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和可直接推導(dǎo).【詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為對(duì)，，可得：，解得：，即又，則是遞減的，則中的前5項(xiàng)均為正數(shù)，所以和都是中的最大項(xiàng)，故正確；對(duì)，，故有：，故正確；對(duì)，，又，則，說(shuō)明不存在使和同號(hào)，故錯(cuò)誤；對(duì)，有：故并不是恒成立的，故錯(cuò)誤故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)后計(jì)算得斜率，由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)方程并整理；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，然后分類(lèi)討論它在上的正負(fù)得單調(diào)性【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故切線(xiàn)的斜率.又.所以函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】由，得①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，令，得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.18、（1）點(diǎn)P為MC中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)平面PAB，得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，再得到點(diǎn)P的位置；（2）根據(jù)平面PAB，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】∵平面PAB，平面ABP，∴又∵在中，，∴P為MC中點(diǎn)．∴若平面PAB，則點(diǎn)P為MC中點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，在中，，，∴，同理可得∴在中，，∵由（1）知平面PAB，∴∴三棱錐的體積為19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）通過(guò)證明和可得答案；（2）連接，則為直線(xiàn)與平面所成角的平面角，在直角三角形中計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】棱柱為直棱柱，面，又面，又直棱柱的底面是矩形，，又，平面，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】連接，面，則為直線(xiàn)與平面所成角的平面角在直角三角形中，則，，所以直線(xiàn)與平面所成角的大小為.20、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】(1)涉及中點(diǎn)弦,用點(diǎn)差法處理即可求得,進(jìn)而求得拋物線(xiàn)方程;(2)由的平分線(xiàn)與軸垂直,可知直線(xiàn)，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè),直線(xiàn),則直線(xiàn)分別和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,解得利用,結(jié)合直線(xiàn)方程,即可證得直線(xiàn)的斜率為定值.【詳解】(1)設(shè),則,兩式相減,得:由弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,得,故.所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由的平分線(xiàn)與軸垂直,可知直線(xiàn)，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè)直線(xiàn)由得由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,可知上述方程的一個(gè)根為.即,同理.直線(xiàn)的斜率為定值.【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用點(diǎn)差法處理中點(diǎn)弦問(wèn)題,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)中,斜率為定值問(wèn)題,考查分析問(wèn)題的能力,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較難.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線(xiàn)面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，則是等邊三角形，，，在中，，滿(mǎn)足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，