一類具有群的代數(shù)運(yùn)算非空集合

一類具有群的代數(shù)運(yùn)算非空集合

1cg均有a/a的逆合關(guān)系,存在型法定義1和g是定義階乘佛教代理算術(shù)的非空集合，其中定義了所謂的算法，（1）階乘佛教的封閉。即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法滿足結(jié)合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c.(3)坌a,b∈G方程:ax=b與ya=b在G中有解。則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群。定義2設(shè)G為一個(gè)定義了一種稱為乘法的代數(shù)運(yùn)算的非空集合,且滿足:(1)乘法封閉。即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法滿足結(jié)合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c(3)G中存在左單位元.即存在e∈G使得坌a∈G都有ea=a.(4)G中每一個(gè)元都存在左逆元。即坌a∈G都有a/∈G使得a/a=e.則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群.定義3設(shè)G為一個(gè)定義了一種稱為乘法的代數(shù)運(yùn)算的非空集合,且滿足:(1)乘法封閉。即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法滿足結(jié)合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c(3)G中存在右單位元。即存在e∈G使得坌a∈G都有ae=a.(4)G中每一個(gè)元都存在右逆元。即坌a∈G都有a/G使得aa/=e..則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群。定義4設(shè)G為一個(gè)定義了一種稱為乘法的代數(shù)運(yùn)算的非空集合,且滿足:(1)乘法封閉。即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法滿足結(jié)合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c(3)G中存在單位元。即存在e∈G使得坌a∈G都有ea=ae=a(4)G中每一個(gè)元都存在逆元。即坌a∈G都有a/∈G使得aa/=a/a=e.則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群。定義5設(shè)G為一個(gè)定義了一種稱為乘法的代數(shù)運(yùn)算的非空有限集合,且滿足:(1)乘法封閉.即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法滿足結(jié)合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c(3)乘法滿足消去律。即若ax=ay就有x=y;若xa=ya就有x=y.則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群.2單位元證:由定義1圯定義4。由定義4知定義1中(1),(2)成立。下面來證定義1中(3)也成立。事定上,坌a,b,∈G由定義4中(4)知存在a/∈G使得aa/=a/a=e.取x=a/b由定義4中(1)x∈G且ax=a(a/b)=(aa/)b=eb=b.ax=b在G中有解x=a/b同理可證ya=b在G中有解y=ba/.故由定義推出定義1。下面再證定義1推出定義4.由定義1知定義4中(1),(2)成立.下面來證定義4中的(3),(4)兩條成立.事實(shí)上,設(shè)b∈G由定義1中(3)知方程xb=b在G中有解,設(shè)其解為x=e,即eb=b.下證e為G的單位元,即證坌a∈G都有ea=ae=a.因由定義1中(3)方程bx=a在G中有解,設(shè)其解為c,即bc=a.所以ea=e(bc)=(eb)c=bc=a.又由定義1中(3)知方程yb=b在G中有解,設(shè)其解為e/,即be/=b.由前面同理可證得坌a∈G都有ae/=a,由a的任意性知ee/=e/且有ee/=e.故e=e/.即得坌a∈G都有ea=ae=a.故G中存在單位元。(易知G中單位元是唯一的)由定義1中(3)知方程ax=e與ya=e在G中有解,設(shè)其解為x=a/,y=a//即aa/=e,a//a=e,下證a/=a//事實(shí)上:a/=ea/=(a//a)a/=a//(aa/)=a//e=a//.所以aa/=a/a=e.即定義4中(4)也成立。(易知a在G中逆元是唯一的)所以由定義1推出定義4.總上所述得定義1與定義4等價(jià)。(b)證明定義2與定義1等價(jià)。證:由定義4顯然推出定義2。由定義2顯然推出定義1.即定義2圯定義1,又由定義1圯定義4,知定義4定義圯2定義1圯定義4故定義1與定義4等價(jià)。同理可證定義3與定義1等價(jià)。(c)最后來證有限群的定義5證:先證由定義4推出定義5。由定義4的(1),(2)知定義5中的(1),(2)成立。由定義4知坌a,b∈G都有a/,b/使得aa/=a/a=e,bb/=b/b=e由ax=ay,推出a/(ax)=a/(ay),推出(a/a)x=(a/a)y,得ex=ey,推出x=y.同理xa=ya推出x=y.即G中消去律成立。故由定義4推出定義5。再證由定義5推出定義1因G為有限集,設(shè)G={a1,a2…,an}下證坌a,b,∈G,ax=b在G中有解。事實(shí)上,由定義5中(1)知aa1,aa2,…aan∈G,又若aai=aja,由定義5中(3)知ai=aj,故aa1,aa2…aan互不相同。所以{aa1,aa2…aan}為G的子集且其有n個(gè)元素,而G也有n個(gè)元素,所以G={a