帶逆斷面的正逆s

帶逆斷面的正逆s

1正則半群中的逆元相同1.1，s是雍正（純）的半組，s0是s的反子半組。當(dāng)s，v（x）s0，=1，v（x）表示x的逆元時(shí)，s0是s的逆段。s0是s的半組，s0是s的半組。s0是s的反子半組。如果s0上有反元，則反元是唯一的。當(dāng)s0中有a、b、a和b、v（x）時(shí)，xv（a）v（b），所以v（a）=v（b），s0是s0的反元，即v（a）s0=v（b）s0，當(dāng)s0，v（a）s0，s0，當(dāng)s0，x00，s，i={es，e}，={fs，f=f}。定義1.2稱正則半群S為純正半群,若S的冪等元集是S的子半群.定理1.3設(shè)S是正則半群,e∈I,f∈Λ,若S0是S的擬理想,則(fe)00=fe.定理1.4設(shè)S是正則半群,E是其冪等元集,則S是純正半群的充要條件是?e,f∈E,fe=S(e,f).定理1.5設(shè)S是正則半群,E是其冪等元集,則S是純正半群的充要條件是?a,b∈S,V(b)V(a)?V(ab).定理1.6設(shè)S是正則半群,則S是純正半群的充要條件是?a,b∈S,若V(a)∩V(b)≠〉,則V(a)=V(b).定理1.7設(shè)S是正則半群,E是其冪等元集,則S是純正半群的充要條件是?e∈E,V(e)?E.定理1.8設(shè)S是純正半群,則γ={(x,y)∈S×S|V(x)=V(y)}是S上的最小逆半群同余.2是帶逆斷面的s0定理2.1帶逆斷面S0的正則半群S為帶逆斷面S0的純正半群的充要條件是對?x,y∈S,(xy)0=y0x0.證明充分性若對?x,y∈S,(xy)0=y0x0,則e∈E的充要條件是e0∈E0.因?yàn)槿鬳∈E(S),則e0=(ee)0=e0e0=(e0)2,于是e0∈E0;若e0∈E0,則e=ee0e=e(e0)2e=e(e2)0e=e(e2)0e2(e2)0e=e(e0e0)ee(e0e0)e=(ee0e)(ee0e)=e2.e=ee0e=e(e0)2e=e(e2)0e=e(e2)0e2(e2)0e=e(e0e0)ee(e0e0)e=(ee0e)(ee0e)=e2.設(shè)e,f∈E(S),則(ef)0=f0e0∈E0,由上面的充要條件知,ef∈E(S),因此S是純正半群.必要性由定理1.5可直接得證.由文中的相關(guān)定理和結(jié)論容易得到下面的定理.定理2.2設(shè)S是帶有逆斷面S0的純正半群,E是S上的冪等元集,E0是S0上的冪等元半格,則:(1)e∈E的充要條件是e0∈E0;(2)若e∈E,則e00=e0;(3)若x,y∈S,x∈V(y),x0∈V(y0),從而有x00=y0;(4)若S0是S的擬理想,則e∈I,f∈Λ,(fe)0=fe;(5)若e∈I,f∈Λ,則f0e0∈S(e,f).引理2.3設(shè)S是純正半群,S0是S的逆斷面,則S上的最小逆半群同余γ={(x,y)∈S×S|x0=y0}.證明設(shè)x0=y0,則V(x)∩V(y)≠〉,由定理1.6知V(x)=V(y),即(x,y)∈γ.另一方面,若(x,y)∈γ,則V(x)=V(y),因?yàn)閤在S0中有唯一逆元x0,y在S0中也有唯一逆元y0,即|V(x)∩S0|=1,|V(y)∩S0t|=1,所以x0=y0.于是在帶有逆斷面S0的純正半群S中γ={(x,y)∈S×S|x0=y0}.定理2.4設(shè)S是帶逆斷面S0的正則半群,則S是帶逆斷面S0的純正半群的充要條件是x→x00是S到S0的態(tài)射.證明充分性設(shè)x→x00是S到S0的態(tài)射,則(xy)0=(xy)000=((xy)00)0=(x00y00)0=y000x000=y0x0,由定理2.1知S是純正半群.必要性設(shè)S是帶逆斷面S0的純正半群,令φ:S→S0為φ(x)=x00,x∈S.?x∈S,由純正半群逆斷面的定義知x在S0中有唯一逆元x0,S0是逆子半群,于是x0在S0中也有唯一逆元x00.所以對任意x∈S,總有唯一x00∈S0,使φ(x)=x00,故φ是從S到S0的映射.設(shè)x,y∈S,則有φ(x)=x00,φ(y)=y00,由定理2.1得,φ(xy)=(xy)00=(y0x0)0=x00y00=φ(x)φ(y),因此φ同態(tài).定理2.5設(shè)S是純正半群,S0是S的逆子半群,γ是S上的最小逆半群同余,則S0是S的逆斷面的充要條件是S/γ?S0.證明必要性已知S0是S的逆斷面,設(shè)Ψ:S/γ→S0為xγ|→(xγ)Ψ=x00.若xγ=yγ,由引理2.3,x0=y0,于是x00=y00,即(xγ)Ψ=(yγ)Ψ.故Ψ是從S/γ到S0的映射.對任意u∈S0,總存在v∈S0,使v0=u.而對v∈S0存在x∈S,使x0=v,于是對任意u∈S0,總存在x∈S,使u=v0=(x0)0=x00,也就有xγ使(xγ)Ψ=x00=u,因此Ψ是滿射.若(xγ)Ψ=x00=(yγ)Ψ=y00,則有x000=y000=x0=y0,于是(x,y)∈γ,xγ=yγ,故Ψ是單射.以上證明Ψ是從S/γ到S0的一一映射.又因?yàn)?xγ)Ψ=x00,(yγ)Ψ=y00,((xγ)(yγ))Ψ=((xy)γ)Ψ=(xy)00=x00y00=(xγ)Ψ(yγ)Ψ,所以Ψ是從S/γ到S0上的同構(gòu)映射,從而有S/γ?S0.充分性已知S/γ?S0,設(shè)x,y∈S0且x≠y,則xγ∩yγ=〉.因?yàn)槿舸嬖趜∈S,使z∈xγ∩yγ,則由γ定義,(x,z)∈γ,(z,y)∈γ,即V(x)=V(z),V(z)=V(y),于是V(x)=V(y),即(x,y)∈γ,而|V(x)∩S0|=1,|V(y)∩S0|=1,必有x,y在S0中的逆元相同,設(shè)為t,又t在S0中的逆元唯一,故x=y.這與假設(shè)不符.因?yàn)镾/γ?S0,而當(dāng)x,y∈S0時(shí)xγ∩yγ=〉,故S/γ={xγ|x∈S0}.于是對任意a∈S,必有唯一x∈S0,使a∈xγ,即有V(a)=V(x).則x在S0中的唯一逆元x0,也就是a在S0中的唯一逆元.所以對任意a∈S在S0中總存在唯一逆元x0,故S0是S的逆斷面.推論2.6設(shè)S是帶逆斷面S0的純正半群,E是S的冪等元集,E0是S0的冪等元半格,γ是S上的最小逆半群同余,τ=γ∩(E×E),則:(1)τ是正規(guī)同余;(2)(e,f)∈τ的充要條件是e0=f0.證明設(shè)(e,f)∈τ,則(e,f)∈γ.由同余的相容性,對任意a∈S,有(aea0,afa0)∈γ,而(aea0)2=aea0aea0=a(a0ae)(a0ae)a0=a(a0ae)2a0=aa0aea0=aea0,即aea0∈E.因此(aea0,afa0)∈τ,故τ是正規(guī)同余.(2)必要性設(shè)(e,f)∈τ,則由τ的定義有V(e)=V(f).而由定理2.2知e0,f0∈E0,又|V(e)∩S0|=1,|V(f)∩S0|=1,故e0=f0.充分性設(shè)e0=f0,因而有e0=f0∈V(e)∩V(f),由定理1.6知V(e)=V(f),即(e,f)∈τ.推論2.7設(shè)純正半群S含有n個(gè)元素a1,a2,…,an且?guī)鏀嗝鍿0,若|S/γ|=1,則S是一個(gè)帶且由單個(gè)元素ai(i=1,2,…,n)構(gòu)成的半群均為S的逆斷面.證明因?yàn)閨S/γ|=1,由S/γ?S0,故S0只含有一個(gè)元素,不妨設(shè)為a1,這樣只含元素a1的S0就是S的逆子半群,因此a1∈E(S)且V(a1)=V(a2)=…=V(an)={a1,a2,…,an},于是a1,a2,…,an∈E(S).所以S是一個(gè)帶且由單個(gè)元素ai(i=1,2,…,n)構(gòu)成的半群均為S的逆斷面.推論2.8設(shè)純正半群S(逆半群除外)含有三個(gè)元素a,b,c且?guī)鏀嗝鍿0,則S0是一個(gè)帶,若此時(shí)|S/γ|=2,則S有兩個(gè)逆斷面.證明若|S/γ|=1,則由推論2.7知S0是一個(gè)帶.下面考慮|S/γ|=2時(shí)的情況.已知|S/γ|=2,由定理2.5,S0中含有兩個(gè)元素,不妨設(shè)為a,b,則V(a)∪V(b)={a,b,c}.而(a,b)?γ(因?yàn)槿?a,b)∈γ,即aγ=bγ,V(a)=V(b)={a,b,c},于是c∈V(a)∩V(b),c在S0中就有兩個(gè)逆元a,b,這與題設(shè)S0是逆斷面矛盾.),必有c∈aγ或c∈bγ.(1)求矛盾3.(i)若V(a)=V(c)={a},則V(b)={b,c}?c∈V(a)∩V(b)?V(a)=V(b),得出矛盾.(ii)若V(a)=V(c)={a,b},則V(b)={c}?c∈V(a)∩V(b)?V(a)=V(b),得出矛盾.(iii)若V(a)=V(b)={a,c},則V(b)=?b∈E(S),a,c∈E(S)且a∈V(c)?S0只含a,b或只含c,b.(iv)V(a)=V(c)=,則V(b)={a,c}.而這種情況實(shí)際上是不可能的,因?yàn)閍,b中至少有一個(gè)冪等元,設(shè)a∈E(S),則a∈V(a),b∈V(a),于是a在S0中就有兩個(gè)逆元,這與題設(shè)S0是逆斷面不符.(v)若V(a)=V(c)={b,c},則V(b)={a}.此種情況與(iv)相同,也是不可能的.(vi)若V(a)=V(c)={c},則V(b)={a,b},于是b在S0中有兩個(gè)逆元a,b,這也與題設(shè)不符.(2)逆斷群的形成通過以上的討論知道,只有當(dāng)a,b,c∈E(S)時(shí),即只有當(dāng)S為帶時(shí),純正半群S(逆半群除外)才可能有逆斷面,且逆斷面不唯一.下面舉出一個(gè)具體的例子.例2.9設(shè)半群S含3個(gè)元素e,f,g,乘法表如下則S是純正半群,且它的逆斷面S0為由元素e,f或e,g構(gòu)成的子半群.證明易驗(yàn)證結(jié)合律:efg=e(fg)=e;egf=