2024屆玉溪市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆玉溪市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.2．已知，，若直線上存在點(diǎn)P，滿足，則l的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C D.3．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最大值為（）A. B.13C.3 D.54．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知命題,，則A.， B.，C.， D.，6．如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（）A. B.C. D.7．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.08．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A. B.C. D.29．如圖，是邊長為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)A與P重合，平面平面，則四棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.10．設(shè)，則A.2 B.3C.4 D.511．過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.12．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.14．某中學(xué)高三（2）班甲，乙兩名同學(xué)自高中以來每次考試成績的莖葉圖如圖所示，則甲的中位數(shù)與乙的極差的和為___________.15．若點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到定直線的距離小1，則點(diǎn)滿足的方程為_____________16．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，多面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.18．（12分）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.19．（12分）“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖①，橋上有五個(gè)拱形橋架緊密相連，每個(gè)橋架的內(nèi)部有一個(gè)水平橫梁和八個(gè)與橫梁垂直的立柱，氣勢宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱.如圖②，一個(gè)拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的拋物線（部分）組成，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及橫梁的長；（2）求拋物線的方程和橋梁的拱高.20．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.（1）求；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求當(dāng)取得最小值時(shí)的的值.22．（10分）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求三角形PMN的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值點(diǎn)，然后判斷選項(xiàng)即可【詳解】解：由題意可知：和時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；所以函數(shù)的圖象只能是故選：C2、A【解析】根據(jù)題意，求得直線恒過的定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合只需求得線段與直線有交點(diǎn)時(shí)的斜率，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】對直線，變形為，故其恒過定點(diǎn)，若直線存在點(diǎn)P，滿足，只需直線與線段有交點(diǎn)即可.數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最大值，此時(shí)，對應(yīng)傾斜角；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最小值，此時(shí)，對應(yīng)傾斜角為.根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，要滿足題意，直線的傾斜角的范圍為：.故選：A.3、B【解析】利用橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示：，故選：B4、B【解析】根據(jù)題意得到，根據(jù)，化簡得到，進(jìn)而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，所以，，因?yàn)?，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.5、A【解析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系，即可求解，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題,，則，，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算推導(dǎo)即可.【詳解】.故選：B.7、B【解析】集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.8、D【解析】由已知條件可得，，…，即是周期為3的數(shù)列，即可求.【詳解】由題設(shè)，知：，，，…，∴是周期為3的數(shù)列，而的余數(shù)為1，∴.故選：D.9、A【解析】分別取的中點(diǎn)，易得，則點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，設(shè)外接球的半徑為，，利用勾股定理求得半徑，從而可得出答案.【詳解】解：分別取的中點(diǎn)，在等邊三角形中，，是中位線，則都是等邊三角形，所以，所以點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，由為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，則，設(shè)外接球半徑為，，，則，，所以，解得，所以，所以四棱錐外接球的表面積是.故選：A.第II卷10、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，進(jìn)而可得到.【詳解】，則，故，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A12、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列，可進(jìn)行和兩項(xiàng)關(guān)系的比較，從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個(gè)充分條件為，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得，即求.【詳解】∵方程表示雙曲線，∴，∴.故答案為：.14、111【解析】求出甲的中位數(shù)和乙的極差即得解.【詳解】解：由題得甲的中位數(shù)為，乙的極差為，所以它們的和為.故答案為：11115、【解析】根據(jù)拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【詳解】點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離少1，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，所以其軌跡為拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以方程為，故答案為：16、【解析】根據(jù)題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設(shè)因?yàn)榕c軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：【點(diǎn)睛】判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內(nèi)切外切兩種情況.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先通過平面平面得到，再結(jié)合，可得平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量以及平面的一個(gè)法向量，求這兩個(gè)法向量的夾角即可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為，又，所以平面，，又，，則平面，平面，所以，；（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，則平面，平面；以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，已知，則，，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由得令，則，，即；平面的一個(gè)法向量為；.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明以及空間向量發(fā)求面面角，考查學(xué)生計(jì)算能力以及空間想象能力，是中檔題.18、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關(guān)于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分條件可得A?B，則，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【小問2詳解】由“x∈A”是“x∈B”的必要條件可得B?A，當(dāng)時(shí)，2-a＞1+2a，即a＜時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，即a≥時(shí)，則，解得≤a≤1.綜上a≤1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.19、（1），（2），【解析】（1）根據(jù)梯形的幾何性質(zhì)，即可求解；（2）表示出M,N的坐標(biāo)，代入拋物線方程中，結(jié)合條件解得p值，繼而求得拱高.【小問1詳解】由題意，知,因?yàn)锳BFM是等腰梯形，由對稱性知:,所以，【小問2詳解】由（1）知,所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-18，則N的橫坐標(biāo)為-（18-5）=-13.設(shè)點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，由圖形，知設(shè)拋物線的方程為，，兩式相減，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100故拋物線的方程為x2=-100y.因此，當(dāng)x=-18時(shí)，所以橋梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.20、（1）（2）【解析】（1）利用，再結(jié)合等比數(shù)列的概念，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)且時(shí)，所以所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，又,所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.21、（1）（2）10或11【解析】（1）利用通項(xiàng)公式以及求和公式列出方程組得出；（2）先求出數(shù)列通項(xiàng)公式，再根據(jù)得出取得最小值時(shí)的的值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得解得所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?/p>