安徽省合肥市肥東中學2023-2024學年高二數學第一學期期末調研試題含解析

安徽省合肥市肥東中學2023-2024學年高二數學第一學期期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.2．以下說法：①將一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變；②設有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設具有相關關系的兩個變量的相關系數為，那么越接近于0，之間的線性相關程度越高；⑤在一個列聯表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關聯的把握就越大。其中錯誤的個數是（）A.0 B.1C.2 D.33．橢圓的長軸長為（）A. B.C. D.4．已知函數的圖象如圖所示，則其導函數的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.5．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.6．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.147．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.8．已知函數，則等于（）A.0 B.2C. D.9．已知拋物線的焦點為F，點A在拋物線上，直線FA與拋物線的準線交于點M，O為坐標原點.若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.410．如下圖，邊長為2的正方體中，O是正方體的中心，M，N，T分別是棱BC，，的中點，下列說法錯誤的是（）A. B.C. D.到平面MON的距離為111．雙曲線的左頂點為，右焦點，若直線與該雙曲線交于、兩點，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.12．已知數列的通項公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與雙曲線有共同的漸近線，并且經過點的雙曲線方程是______14．已知曲線，則曲線在點處的切線方程為______15．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標準方程為________16．數學家歐拉年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點、，其歐拉線的方程為，則的外接圓方程為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點和圓.（1）求圓的圓心坐標和半徑；（2）設為圓上的點，求的取值范圍.18．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分別為線段AD，DC，PB的中點.（1）證明：直線PF//平面ACG；（2）求直線PD與平面ACG所成角的正弦值.19．（12分）如圖，在三棱錐中，側面PBC是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點．過MN的平面與側面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值20．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點，且平面.（1）求點到平面的距離；（2）線段上是否存在一點，使平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值.21．（12分）已知點是圓：上任意一點，是圓內一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；（2）設不經過坐標原點，且斜率為的直線與曲線相交于，兩點，記，的斜率分別是，．當，都存在且不為時，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由22．（10分）已知數列是公比為正數的等比數列，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】通過列舉得到數列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.2、C【詳解】方差反映一組數據的波動大小，將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據線性回歸分析中相關系數的定義：在線性回歸分析中，相關系數為r，越接近于1，相關程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.3、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知：，長軸長為.故選：D.4、A【解析】利用f(x)先單調遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結合導數的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知，函數f(x)先單調遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導數的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項A.故選：A.5、B【解析】根據向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由于，所以.故選：B6、A【解析】由等差數列的性質可知，再代入等差數列的前項和公式求解.【詳解】數列{an}是等差數列，，那么，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數列的性質和前項和，屬于基礎題型.7、B【解析】根據雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.8、D【解析】先通過誘導公式將函數化簡，進而求出導函數，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.9、D【解析】設，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點為，準線方程為.設，因為，所以，解得：.因為在拋物線上，則.所以，即，解得：.故選：D10、D【解析】建立空間直角坐標系，進而根據空間向量的坐標運算判斷A,B,C；對D，算出平面MON的法向量，進而求出向量在該法向量方向上投影的絕對值，即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則.對A，，則，則A正確；對B，，則，則B正確；對C，，則C正確；對D，設平面MON的法向量為，則，取z=1，得，，所以到平面MON的距離為,則D錯誤.故選：D.11、A【解析】求出，分析可得，可得出關于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯立，可得，則，易知點、關于軸對稱，且為線段的中點，則，又因為為等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.12、D【解析】利用給定的通項公式直接計算即得.【詳解】因數列的通項公式為，則有，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設雙曲線的方程為，將點代入方程可求的值，從而可得結果【詳解】設與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經過點，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設為，只需根據已知條件求出即可.14、【解析】利用導數求出切線的斜率即得解.【詳解】解：由題得，所以切線的斜率為，所以切線的方程為即.故答案為：15、【解析】根據題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標準方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設因為與軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標準方程為故答案為：【點睛】判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數法．兩圓相切注意討論內切外切兩種情況.16、【解析】求出線段的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯立，求出的外接圓圓心坐標，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【詳解】直線的斜率為，線段的中點為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，則線段垂直平分線方程為，即，聯立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質和定理如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線；（2）待定系數法：根據條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數，所以應該有三個獨立等式三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）圓心的坐標為，半徑；（2）【解析】（1）利用配方法化圓的一般方程為標準方程，可得圓心坐標與半徑；（2）由兩點間的距離公式求得，得到與，則的取值范圍可求【小問1詳解】解：由，得，圓心的坐標為，半徑；【小問2詳解】解：，，，，的取值范圍是18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接EC，設EB與AC相交于點O，結合已知條件利用線面平行的判定定理可證得OG//平面PEF，再由三角形中位線定理結合線面垂直的判定定理可得AC//平面PEF，從而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC，進而可證得結論，（2）由已知可證得PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可【小問1詳解】證明：連接EC，設EB與AC相交于點O，如圖，因為BC//AD，且，AB⊥AD，所以四邊形ABCE為矩形，所以O為EB的中點，又因為G為PB的中點，所以OG為△PBE的中位線，即OG∥PE，因為OG平面PEF，PE?平面PEF，所以OG//平面PEF，因為E，F分別為線段AD，DC的中點，所以EF//AC，因為AC平面PEF，EF?平面PEF，所以AC//平面PEF，因為OG?平面GAC，AC?平面GAC，AC∩OG＝O，所以平面PEF//平面GAC，因為PF?平面PEF，所以PF//平面GAC.【小問2詳解】因為PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因為AB⊥AD，所以PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），所以，設平面ACG的法向量為，則，所以，令x＝1，可得y＝﹣1，z＝﹣1，所以，設直線PD與平面ACG所成角為θ，則，所以直線PD與平面ACG所成角的正弦值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線面平行的性質定理可證明.（2）由平面平面ABC，取BC中點O，則平面ABC，可得，由條件可得，以O坐標原點，分別以OB，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為M，N分別為AB，AP的中點，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因為平面平面，所以【小問2詳解】因為平面平面ABC，取BC中點O，連接PO，AO，因為是等邊三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O為坐標原點，分別以OB，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，可得：，，，，，所以，，，設平面PAC的法向量為，則,則，令，得，，所以，所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為20、（1）（2）線段上存在一點，當時，平面.【解析】（1）設點到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過點作交于點，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問1詳解】由，，為中點，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內所以所以,取的中點，連接，則,所以,所以所以所以則設點到平面的距離為，則由即,即【小問2詳解】線段上是否存在一點，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過點作交于，則為中點，則為的中點,即又平面，則平面過點作交于點，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以線段上存在一點，當時，平面.21、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根據給定條件探求得，再借助橢圓定義直接求得軌跡的方程.(2)設出直線的方程，再與軌跡的方程聯立，借助韋達定理計算作答.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑，因線段的垂直平分線與半徑相交于點，則，而，于是得，因此，點的軌跡是以C，A為左右焦點，長軸長為4的橢圓，短半軸長有，所以軌跡的方程為.【小