2024屆錫林郭勒市重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆錫林郭勒市重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若關(guān)于x的方程有解，則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.2．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點．若，則橢圓的離心率是A. B.C. D.3．若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B.，或C.，或 D.，或，或4．設(shè)數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.5．曲線在處的切線如圖所示，則（）A.0 B.C. D.6．幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330C.220 D.1107．已如雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.9．在正項等比數(shù)列中，和為方程的兩根，則等于（）A.8 B.10C.16 D.3210．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標(biāo)為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關(guān)于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.11．函數(shù)y＝ln（1﹣x）的圖象大致為（）A. B.C D.12．已知點，，則經(jīng)過點且經(jīng)過線段AB的中點的直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標(biāo)為______14．已知函數(shù)，若，則________.15．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.16．一個物體的運動方程為其中位移的單位是米，時間的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時速度是__________米/秒三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意正整數(shù)n，18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)點是平面上任意一點，直接寫出線段長度最小值.（不需證明）19．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，橢圓E的一個焦點為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于A，B兩點.求的最大值20．（12分）已知橢圓上的點到焦點的最大距離為3，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點，與軸交于點，且滿足,若，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）在數(shù)列中，，，記.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）試判斷數(shù)列的增減性，并說明理由22．（10分）已知橢圓的左，右焦點為，橢圓的離心率為，點在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）點T為橢圓C上的點，若點T在第一象限，且與x軸垂直，過T作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別與橢圓C交于點M，N，探究直線的斜率是否為定值？若為定值，請求之；若不為定值，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】將對數(shù)方程化為指數(shù)方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故故選：C2、D【解析】由于BF⊥x軸，故，設(shè)，由得，選D.考點：橢圓的簡單性質(zhì)3、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得參數(shù)，再代入所求不等式，利用分式大于零，則分子分母同號，列不等式計算即得結(jié)果.【詳解】不等式解集為，即的二根是1和2，利用根和系數(shù)的關(guān)系可知，故不等式即轉(zhuǎn)化成，即，等價于或者，解得或，或者.故解集為，或，或.故選：D.【點睛】分式不等式的解法：（1）先化簡成右邊為零的形式（或），等價于一元二次不等式（或）再求解即可；（2）先化簡成右邊為零的形式（或），再利用分子分母同號（或者異號），列不等式組求解即可.4、A【解析】根據(jù)等差中項寫出式子，由遞推式及求和公式寫出和，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項求和是首項為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因為，，，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問題能力，屬于難題.5、C【解析】由圖示求出直線方程，然后求出，，即可求解.【詳解】由直線經(jīng)過，，可求出直線方程為：∵在處的切線∴，∴故選：C【點睛】用導(dǎo)數(shù)求切線方程常見類型：(1)在出的切線：為切點，直接寫出切線方程：；(2)過出的切線：不是切點，先設(shè)切點，聯(lián)立方程組，求出切點坐標(biāo)，再寫出切線方程：.6、A【解析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時，所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.Ⅱ卷7、A【解析】先作輔助線，設(shè)出邊長，結(jié)合題干條件得到，，利用勾股定理得到關(guān)于的等量關(guān)系，求出離心率.【詳解】連接，設(shè)，則根據(jù)可知，，因為，由勾股定理得：，由雙曲線定義可知：，，解得：，，從而，解得：，所以，，由勾股定理得：，從而，即該雙曲線的離心率為.故選：A8、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質(zhì)判斷命題的真假，進(jìn)而確定它們所構(gòu)成的復(fù)合命題的真假即可.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C9、C【解析】根據(jù)和為方程兩根，得到，然后再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】因為和為方程的兩根，所以，又因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，故選：C10、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C11、C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域和特殊點，判斷出正確選項.【詳解】由，解得，也即函數(shù)的定義域為，由此排除A,B選項.當(dāng)時，，由此排除D選項.所以正確的為C選項.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像識別，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】求AB的中點坐標(biāo)，根據(jù)直線所過的兩點坐標(biāo)求直線方程即可.【詳解】由已知，AB中點為，又，∴所求直線斜率為，故直線方程為，即故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由拋物線定義可得，由此可知當(dāng)為與拋物線的交點時，取得最小值，進(jìn)而求得點坐標(biāo).【詳解】由題意得：拋物線焦點為，準(zhǔn)線為作，垂直于準(zhǔn)線，如下圖所示：由拋物線定義知：（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號）即的最小值為，此時為與拋物線的交點故答案為【點睛】本題考查拋物線線上的點到焦點的距離與到定點距離之和最小的相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用拋物線定義確定最值取得的位置.14、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)奇函數(shù)，然后可求值【詳解】由已知，它是奇函數(shù)，∴故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)的奇偶性是解題關(guān)鍵15、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,求出a的最小值.【詳解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因為“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案為:3.【點睛】本題考查充分條件和必要條件的應(yīng)用,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.16、5【解析】，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定義域為，討論兩個根及的大小關(guān)系，即可判定函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，在，上遞減，則，即，由此能夠證明【小問1詳解】的定義域為，，令，得，或，①當(dāng)，即時，若，則，遞增；若，則，遞減；②當(dāng)，即時，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；綜上所述，當(dāng)－2＜a＜0時，f(x)在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)a≥0時，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】由(2)知當(dāng)時，在，上遞減，，即，，，，2，3，，，，【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵是令a＝1，用已知函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造，再令x＝恰當(dāng)?shù)乩脤?shù)求和進(jìn)行解題18、（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）設(shè)，連結(jié)，根據(jù)中位線定理即可證，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）由菱形的性質(zhì)可知，可證，又底面，可得，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)等體積法，即，經(jīng)過計算直接寫出結(jié)果即可.【小問1詳解】證明：設(shè)，連結(jié).因為底面為菱形，所以為的中點，又因為E是PC的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】證明：因為底面為菱形，所以.因為底面，所以.又因為，所以平面.又因為平面，所以平面平面.【小問3詳解】解：線段長度的最小值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結(jié)合焦點的坐標(biāo)、橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)，，由得由得．由，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立當(dāng)直線l的斜率不存在時，，∴的最大值為20、(1)(2)，或【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)可知：，解得a和c的值，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得：，，λ，根據(jù)向量的坐標(biāo)坐標(biāo)，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得實數(shù)m的取值范圍【詳解】(1)由已知，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知,設(shè)，聯(lián)立方程組，消得，由韋達(dá)定理得①②因為，所以，所以③，將③代入①②，，消去得，所以.因為，所以，即，解得，所以，或.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)表示，不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題21、（1）證明見解析，（2）數(shù)列單調(diào)遞減.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，然后套用等差數(shù)列的通項公式即可；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論求出數(shù)列的通項，然后用作差法即可判斷其單調(diào)性【小問1詳解】因為，，所以，所以，，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，【小問2詳解】由（1）可知，，所以，所以，故，所以數(shù)列單調(diào)遞減.22、（1）；（2）直線的斜率為定值，且定值為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及所過的點求出橢圓參數(shù)a、b，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題設(shè)得，法一：設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求M坐標(biāo)，根據(jù)與斜率關(guān)系求N的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點式求斜率；法二：設(shè)為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于參數(shù)m、k的方程，即可判斷是否為定值.【小