安徽省合肥市肥東縣新城高升學(xué)校2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

安徽省合肥市肥東縣新城高升學(xué)校2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓心，半徑為的圓的方程是（）A. B.C. D.2．在正三棱錐S?ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱，則正三棱錐S?ABC外接球的表面積是（）A. B.C. D.3．是雙曲線(xiàn)：上一點(diǎn)，已知，則的值（）A. B.C.或 D.4．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.5．已知，，，則最小值是（）A.10 B.9C.8 D.76．如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，為的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.7．如圖是拋物線(xiàn)拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結(jié)果精確到）（參考數(shù)值：）A B.C. D.8．雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為雙曲線(xiàn)C的右支上一點(diǎn)．以O(shè)為圓心a為半徑的圓與相切于點(diǎn)M，且，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為（）A. B.C. D.9．設(shè)函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.411．已知向量，，則（）A. B.C. D.12．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，則a2021+b2020=（）A.-1 B.0C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)_____.14．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則______15．已知雙曲線(xiàn)(a，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1且傾斜角為的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的左、右支分別交于點(diǎn)A，B.且|AF2|=|BF2|，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)___________.16．已知為拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上在第一象限的點(diǎn).若為的中點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率的最大值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知，S2=-3.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.18．（12分）已知直線(xiàn)和，設(shè)a為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求a的值：（1）（2）19．（12分）已知命題p：直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，命題q：直線(xiàn)與直線(xiàn)平行.（1）若，判斷命題“”的真假；（2）若命題“”為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.20．（12分）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，若橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓E的上頂點(diǎn)P分別作斜率為，的兩條直線(xiàn)與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且，試探究過(guò)C，D兩點(diǎn)的直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由.21．（12分）分別求滿(mǎn)足下列條件的曲線(xiàn)方程（1）以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；（2）過(guò)點(diǎn)，且漸近線(xiàn)方程為的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程22．（10分）寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷它們的真假：（1）：任意兩個(gè)等邊三角形都是相似的；（2）：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)圓心坐標(biāo)及半徑，即可得到圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑為，所以圓的方程為:.故選：D.2、A【解析】由題意推出平面，即平面，，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，求出直徑即可求出球的體積【詳解】∵，分別為棱，的中點(diǎn)，∴，∵三棱錐為正棱錐，作平面，所以是底面正三角的中心，連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因?yàn)镾?ABC是正三棱錐。所以，以，，為從同一定點(diǎn)出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補(bǔ)成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的體對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，，所以.故選：A.3、B【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，結(jié)合雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍，即可求解.【詳解】雙曲線(xiàn)方程為：，是雙曲線(xiàn)：上一點(diǎn)，，，或，又，.故選：B4、B【解析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.5、B【解析】利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開(kāi)后，利用基本不等式求得的最小值【詳解】∵，，，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：B6、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】.故選：D.7、C【解析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝my，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程求出m，從而可得拋物線(xiàn)方程，再令y＝代入拋物線(xiàn)方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C8、A【解析】連接、，利用中位線(xiàn)定理和雙曲線(xiàn)定義構(gòu)建參數(shù)關(guān)系，即求得漸近線(xiàn)方程.【詳解】如圖，連接、，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴，且，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，得，∴，∵與以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的定義的應(yīng)用和漸近線(xiàn)的求法，屬于中檔題.9、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，而，所?因?yàn)?，且，所?即.故選：A10、D【解析】設(shè)公比為，然后由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設(shè)公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D11、D【解析】按空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則運(yùn)算即可.【詳解】.故選：D.12、A【解析】根據(jù)A=B，可得兩集合元素全部相等，分別求得和ab=1兩種情況下，a，b的取值，分析討論，即可得答案.【詳解】因?yàn)锳=B，若，解得，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因?yàn)锳=B，所以，解得，所以；若ab=1，則，所以，若，解得或1，都不滿(mǎn)足題意，舍去，若，解得，不滿(mǎn)足互異性，舍去，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩集合相等的概念，在集合相等問(wèn)題中由一個(gè)條件求出參數(shù)后需進(jìn)行代入檢驗(yàn)，檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足互異性、題設(shè)條件等，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作出該不等式表示的平面區(qū)域，由的幾何意義結(jié)合距離公式得出答案.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為因?yàn)楸硎驹c(diǎn)與可行域中點(diǎn)之間的距離，所以的最小值為.故答案為：14、【解析】由拋物線(xiàn)的焦半徑公式可求得的值.【詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由拋物線(xiàn)的焦半徑公式可得，解得.故答案為：.15、【解析】由雙曲線(xiàn)的定義和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的關(guān)系，再由離心率公式可得所求值【詳解】過(guò)F2作F2N⊥AB于點(diǎn)N，設(shè)|AF2|＝|BF2|＝m，因?yàn)橹本€(xiàn)l的傾斜角為，所以在直角三角形F1F2N中，，由雙曲線(xiàn)的定義可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，則，故答案為：16、1【解析】由題意，可得，設(shè)，，，根據(jù)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，可得直線(xiàn)的斜率，利用基本不等式即可得結(jié)論【詳解】解：由題意，可得，設(shè)，，，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，直線(xiàn)的斜率的最大值為1故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)所給條件列出方程組，求得，即可求得答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，寫(xiě)出，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，由，得解得所以(n∈N*)；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，故，所以18、（1）a=4或a=-2（2）a=【解析】（1）根據(jù)，由a(a-2)-2×4=0求解；（2）根據(jù)，由4a=-2(a-2）求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以a(a-2)-2×4=0，解得a=4或a=-2所以當(dāng)時(shí)，a=4或a=-2；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?a=-2(a-2），解得a=檢驗(yàn)：此時(shí)，，成立所以當(dāng)時(shí)，a=.19、（1）命題“”為真命題（2）【解析】（1）先判斷命題p，命題q的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷；（2）根據(jù)命題“”真命題，由p為真命題，q為假命題求解.【小問(wèn)1詳解】解：對(duì)于命題p，易知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，∴命題p為假命題；對(duì)于命題q，時(shí)，有與，顯然兩條直線(xiàn)垂直，∴命題q為假命題.∴命題“”為真命題.【小問(wèn)2詳解】∵命題“”為真命題，∴p為真命題，q為假命題.對(duì)于命題p，由得，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即此方程有兩個(gè)不同的正根，∴得.對(duì)于命題q，要使命題q為真，則，解得，∴命題q為假命題，即.∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為.20、（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線(xiàn)斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓離心率為，所以有.橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，由可解：，所以該橢圓方程為：；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，若，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知：，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，?dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，此時(shí)與點(diǎn)重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)不存在斜率時(shí)，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，兩點(diǎn)不在橢圓上，不符合題意，綜上所述：過(guò)C，D兩點(diǎn)的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）（2）【解析】（1）由題意得出的值后寫(xiě)橢圓方程（2）待定系數(shù)法設(shè)方程，由題意列方程求解【小問(wèn)1詳解】的短軸頂點(diǎn)為(0，－3)，(0，3)，∴所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝3又，∴a＝6．∴∴所求橢圓