福建省廈門(mén)市思明區(qū)湖濱中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

福建省廈門(mén)市思明區(qū)湖濱中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為（）A. B.C. D.3．不等式的解集為（）A. B.C. D.4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.0C.3 D.55．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°6．曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）A. B.C. D.17．若雙曲線離心率為，過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.8．已知曲線的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線是一個(gè)橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③9．曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B.C. D.10．已知的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.711．已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡為（）A.圓 B.兩個(gè)圓C.橢圓 D.兩個(gè)橢圓12．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_____，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_____14．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是；③過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號(hào)為_(kāi)_____（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)．）15．如圖：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，其中P在右支上，且，則的面積為_(kāi)__________.16．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.18．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點(diǎn)到平面距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.問(wèn)題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和，求的值.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知點(diǎn)，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足直線PA與PB的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）若動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與曲線E交于C，D（不同于A，B）兩點(diǎn)，問(wèn)：直線AC與BD的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)已知條件，找出，的齊次關(guān)系式即可得到雙曲線的離心率.【詳解】由題意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，計(jì)算得，故.故選：D.【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)2、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得△AF1B的周長(zhǎng)為4a，由題意求出a，結(jié)合離心率計(jì)算即可求出c，再求出b即可.【詳解】由橢圓的定義知，△AF1B的周長(zhǎng)為，又△AF1B的周長(zhǎng)為4，則，，，，，所以方程為，故選：A.3、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A.4、D【解析】先畫(huà)出可行域，由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域，如圖所示由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：D5、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D6、B【解析】先求與平行且與相切的切線切點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得結(jié)果.【詳解】設(shè)與平行的直線與相切，則切線斜率k=1，∵∴，由，得當(dāng)時(shí),即切點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,0)，則點(diǎn)(1,0)到直線的距離就是線上的點(diǎn)到直線的最短距離，∴點(diǎn)(1,0)到直線的距離為：，∴曲線上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為.故選：B7、B【解析】分析可得，再將點(diǎn)代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B8、D【解析】對(duì)于①在方程中換為，換為可判斷；對(duì)于②分析曲線的圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的可判斷；對(duì)于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)所以曲線圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對(duì)稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個(gè)頂點(diǎn)在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D9、B【解析】求導(dǎo)，得到曲線在點(diǎn)處的斜率，寫(xiě)出切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處斜率為4，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即，故選：B10、C【解析】利用賦值法確定展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和以及二項(xiàng)式系數(shù)的和，利用比值為，列出關(guān)于的方程，解方程.【詳解】二項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，二項(xiàng)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為，因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，所以，.故選：C.11、A【解析】設(shè)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)推導(dǎo)出，由題意知是△的中位線，從而得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【詳解】是焦點(diǎn)為、的橢圓上一點(diǎn)為的外角平分線，，設(shè)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，，，，由題意知是△的中位線，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A12、D【解析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，表示出，和已知比較可求得的值，進(jìn)而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.l【解析】根據(jù)雙曲線的定義得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，從而求出到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值；【詳解】解：因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的下支．因?yàn)椋?，所以，，，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為故P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為故答案為：；；14、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫(xiě)出拋物線焦點(diǎn)判斷命題②；分析點(diǎn)P滿足的關(guān)系判斷命題③；按取值討論計(jì)算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對(duì)于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對(duì)于②，拋物線化為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，命題②正確；對(duì)于③，令定圓C的圓心為C，因，則點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，當(dāng)P與C不重合時(shí)，有，點(diǎn)P在以線段AC為直徑的圓上，當(dāng)P與C重合時(shí)，點(diǎn)P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點(diǎn)外)，則命題③不正確；對(duì)于④，曲線的焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點(diǎn)為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)，命題④正確，所以真命題的序號(hào)為②④.故答案為：②④【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：橢圓長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)分別為a，b，半焦距為c滿足關(guān)系式：；雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距分別為、、滿足關(guān)系式：，在同一問(wèn)題中出現(xiàn)認(rèn)真區(qū)分，不要混淆.15、24【解析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出，，再利用雙曲線的對(duì)稱性計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過(guò)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知，P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：2416、5【解析】先運(yùn)用點(diǎn)差法得到，然后通過(guò)兩點(diǎn)距離公式求出結(jié)果詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，的中點(diǎn)為，，則，，兩式相減得，即，又因?yàn)?，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，可得，則，故答案為：5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可得出，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，聯(lián)立得，由題意可得，解得且，由韋達(dá)定理可知，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以，，整理可得，該方程無(wú)實(shí)解，故不存在.18、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計(jì)算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】在中，，因?yàn)?，分別是，邊上的中點(diǎn)，所以∥，，所以，所以，因?yàn)?，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋允堑冗吶切?，取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，在中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為【小問(wèn)2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得，，解得或（舍去），所以，所以19、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項(xiàng)公式后，再由求得通項(xiàng)公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯(cuò)位相減法求和【小問(wèn)1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時(shí)，也適合所以；選②，由得，所以等差數(shù)列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小問(wèn)2詳解】由（1），，，兩式相減得，所以20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用題中等式建立、的方程組，求出、的值，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，然后由求出的值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，數(shù)列的通項(xiàng)為；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和，由，化簡(jiǎn)得，即，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，常用的方法就是利用首項(xiàng)和公差建立方程組求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，并結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案；（2）結(jié)合（1）