廣西南寧市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

廣西南寧市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，隨機(jī)變量Y滿足，則當(dāng)a在上增大時(shí)，關(guān)于的表述下列正確的是（）X013PabA增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大2．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（）A.3 B.6C.8 D.123．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則=（）A.8 B.16C.32 D.644．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A. B.C. D.5．已知是等差數(shù)列，，，則公差為（）A.6 B.C. D.26．設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（）A. B.C. D.7．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車(chē)，80及以上為醉酒駕車(chē).假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車(chē)，則至少需經(jīng)過(guò)的小時(shí)數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.6 B.7C.8 D.98．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，是的中點(diǎn)，則（）A.1 B.2C.3 D.410．已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.11．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)，則_______14．點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_______.15．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，___________.16．若點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到定直線的距離小1，則點(diǎn)滿足的方程為_(kāi)____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）設(shè)，分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，E的離心率為.短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓E的方程：（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.19．（12分）數(shù)列中，，且.（1）證明；數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，E、F分別是、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若對(duì)，恒成立，求的取值范圍.22．（10分）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.(1)分別求直線，的方程；(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，求外接圓的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先求得參數(shù)b，再去依次去求、、，即可判斷出的單調(diào)性.【詳解】由得則，由得a在上增大時(shí),增大.故選：A2、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.3、B【解析】由等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意，，所以.故選：B.4、A【解析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，從而寫(xiě)出其方程即得【詳解】解：如圖設(shè)與圓切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為故選：A5、C【解析】設(shè)的首項(xiàng)為，把已知的兩式相減即得解.【詳解】解：設(shè)的首項(xiàng)為，根據(jù)題意得，兩式相減得.故選：C6、B【解析】當(dāng)可求得；當(dāng)時(shí)，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，由求得后，利用可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，即，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，，故選：B.7、C【解析】根據(jù)題意列出不等式，利用指對(duì)數(shù)冪的互化和對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式即可解出不等式.【詳解】設(shè)該駕駛員至少需經(jīng)過(guò)x個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車(chē)，則，所以，則，所以該駕駛員至少需經(jīng)過(guò)約8個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車(chē).故選：C8、A【解析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性橢圓的定義可得，結(jié)合的范圍求的周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】的周長(zhǎng)，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C的交點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：A.9、A【解析】由橢圓的定義得，進(jìn)而根據(jù)中位線定理得.【詳解】解：由橢圓方程得，即，因?yàn)橛蓹E圓的定義得，，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.故選：A10、C【解析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】，，因，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C11、A【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A12、A【解析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后令可求出的值【詳解】因?yàn)?，所以，則，解得故答案為：14、【解析】設(shè)出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，配方求出最小值.【詳解】設(shè)拋物線上的點(diǎn)坐標(biāo)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：15、1【解析】根據(jù)向量的加法及向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】如圖，在正方體中，，故答案為：116、【解析】根據(jù)拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【詳解】點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離少1，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，所以其軌跡為拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以方程為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過(guò)解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合組合法求和，即可求解.小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，設(shè)公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.18、（1）（2）存在，【解析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程化簡(jiǎn)可得，設(shè)，，可得，，由此證明，再證明當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)也成立，由此確定存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立【小問(wèn)1詳解】由已知得，離心率，所以，故橢圓E的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立方程組得，，所以，..，，所以.所以.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，聯(lián)立方程組，得，.，，所以.綜上，存在實(shí)數(shù)使得恒成立.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，從而，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，∴，∴.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）連接，交于點(diǎn)M，連接ME，則M為中點(diǎn)．根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)可證得，再由線面平行的判定定理可得證；（2）由線面垂直的性質(zhì)和判定可得證.【詳解】證明：（1）連接，交于點(diǎn)M，連接ME，則M為中點(diǎn)因?yàn)镋、F分別是與的中點(diǎn)，所以，則，從而為平行四邊形，則又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）由平面，因?yàn)槠矫妫远?，M為的中點(diǎn)，所以因?yàn)椋云矫?，由?）有，故平面21、（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）.【解析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可；（2）對(duì)進(jìn)行常變量分離，然后構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.由，得.當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.（2）對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立.令，則.由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，因此.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查了構(gòu)造函數(shù)法、常變量分離法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和分類討論思想.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式即可求出直線l1的方程，根據(jù)直線垂直的關(guān)系即可求l2的方程；（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)三角形的長(zhǎng)度關(guān)系知道三