北師大版數(shù)學七年級下冊期末復習考點串講+題型專訓專題08 全等三角形證明方法 一線三等角模型（原卷版）

專題08全等三角形證明方法——一線三等角模型基本模型：（1）條件：如圖，SKIPIF1<0是經(jīng)過SKIPIF1<0頂點C的一條直線，SKIPIF1<0，E、F分別是直線SKIPIF1<0上的兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：SKIPIF1<0.（2）條件：如圖，直線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0的外部，SKIPIF1<0，E、F分別是直線SKIPIF1<0上的兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.（3）條件：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.

（4）條件：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.（5）條件：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：SKIPIF1<0.例題精講：例1．【一線三等角模型】如圖1：點A、B、C在一條直線上，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．理由：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣請將全等證明過程補充完整．【模型運用】如圖2：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；【能力提升】如圖3：在等邊SKIPIF1<0中，A，C分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0邊上的動點，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0內(nèi)作等邊SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，當點A從點E向點D運動（不與點D重合）時，SKIPIF1<0的度數(shù)變化嗎？如不變請求出它的度數(shù)，如變化，請說明它是怎樣變化的？

例2．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0經(jīng)過點C，且SKIPIF1<0于D，SKIPIF1<0于E．（1）當直線SKIPIF1<0繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；（2）當直線SKIPIF1<0繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：SKIPIF1<0；（3）當直線SKIPIF1<0繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，請直接寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的等量關(guān)系．例3．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點D在線段SKIPIF1<0上運動（點D不與點B和點C重合），連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交線段SKIPIF1<0于點E．（1）在點D的運動過程中，SKIPIF1<0的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出SKIPIF1<0的度數(shù)；若不可以，請說明理由；（2）若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．例4．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過點A作SKIPIF1<0于點H，反向延長線段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F．（1）如圖1，當SKIPIF1<0時①請直接寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（填“＞”、“＜”、“＝”）②求證：SKIPIF1<0（2）如圖2，當SKIPIF1<0時，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

例5．直線l經(jīng)過點A，SKIPIF1<0在直線l上方，SKIPIF1<0．（1）如圖1，SKIPIF1<0，過點B，C作直線l的垂線，垂足分別為D、E．求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，D，A，E三點在直線l上，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為任意銳角或鈍角），猜想線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0有何數(shù)量關(guān)系？并給出證明；（3）如圖3，SKIPIF1<0過點B作直線l上的垂線，垂足為F，點D是SKIPIF1<0延長線上的一個動點，連結(jié)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直線l與SKIPIF1<0交于點G．求證：G是SKIPIF1<0的中點．

專練過關(guān)：1．如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，點P在SKIPIF1<0上，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的長．2．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D、A、E三點都在直線m上，并且有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．3．如圖，SKIPIF1<0為等邊三角形，點D為SKIPIF1<0邊上一點，先將三角板SKIPIF1<0角的頂點與D點重合，平放三角板，再繞點D轉(zhuǎn)動三角板，三角板SKIPIF1<0角的兩邊分別與邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于點E、點F，當SKIPIF1<0時，如圖（2）所示．求證：SKIPIF1<0．4．如圖，把一塊直角三角尺SKIPIF1<0的直角頂點C放置在水平直線SKIPIF1<0上，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試回答下列問題：（1）若把三角尺SKIPIF1<0繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0度；（2）在三角尺SKIPIF1<0繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，分別作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．（3）三角尺SKIPIF1<0繞著點C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間有什么關(guān)系？請說明理由．

5．已知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，直線l過點A．（1）如圖1，SKIPIF1<0，分別過點B，C作直線l的垂線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為D，E．①依題意補全圖1；②用等式表示線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，點D，E在直線l上，直接用等式表示線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系為．6．已知，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，A，E三點都在直線m上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）如圖①，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系為，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說明線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點A在線段SKIPIF1<0上以2cm/s的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段SKIPIF1<0上以xcm/s的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為t（s）．是否存在x，使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等？若存在，求出相應的t的值；若不存在，請說明理由．7．在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．（1）如圖1，當SKIPIF1<0時，猜想線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當SKIPIF1<0時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應用：如圖3，當SKIPIF1<0時，點F為SKIPIF1<0平分線上的一點，且SKIPIF1<0，分別連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0