透鏡成像公式

本節(jié)前言第四節(jié)透鏡成像公式公元前3世紀，我國晉代《博物志》記有：“削冰令圓，舉以向日，以艾于后成其影，則得火?！蹦菚r還未發(fā)明玻璃，我們的祖先就知道用冰做成凸透鏡來會聚太陽光再用艾草取火了。從古到今，透鏡一直有著廣泛的應用，就連現(xiàn)在高科技的光纖通信設備中也離不開透鏡。為了把一路光信號輸進極細的光導纖維中，必須用凸透鏡使光線會聚才行。象顯微鏡、望遠鏡及照相機中的重要部件就是透鏡。本節(jié)中運用動畫演示蠟燭經(jīng)透鏡的成像過程，總結透鏡成像規(guī)律，重在透鏡成像公式理解和應用，透鏡成像放大率。大家在學習過程中要循序漸進，逐步掌握?！?.4透鏡成像公式透鏡是利用光的折射定律控制光路和成像的光學器件，透鏡分為凸透鏡和凹透鏡兩種，透鏡的兩個面為球面，中間厚邊緣薄的透鏡為凸透鏡，中間薄邊緣厚的透鏡為凹透鏡，兩個面所在球面的球心的連線稱為透鏡的主軸，凸透鏡對光線有匯聚作用，凹透鏡對光線有發(fā)散作用。所以我們通常稱凸透鏡為會聚透鏡，稱凹透鏡為發(fā)散透鏡。?I)雙凸平凸凹凸透筐透筐凌鐐會聚透鏡發(fā)散透鏡會聚透鏡薄透鏡薄透鏡是物理上建立的一個理想化的實體模型，在研究問題時，將透鏡的厚度忽略不計。透鏡的光軸、光心、焦點、焦距通過透鏡兩球面球心的直線叫透鏡的主光軸。主光軸與透鏡兩球面的交點，對薄透鏡而言，可看成是重合在一起的，該點稱為光心。通過光心的光線叫光軸，除主光軸而外，其它光軸叫副光軸。平行于主光軸的光線，經(jīng)凸透鏡后會聚于一點，這個點叫焦點，用F表示，它是由實光線會聚而成的，又叫實焦點。平行于主光軸的光線經(jīng)凹透鏡后被發(fā)散，發(fā)散光線的反向延長線也交于主光軸的一點，這個點也叫焦點，因為不是光線的實際會聚點，所以又叫虛焦點。透鏡的焦點與光心的距離叫焦距，用f表示。透鏡成像現(xiàn)在我們通過實驗來研究透鏡成像的規(guī)律。如圖：把蠟燭、透鏡、光屏安裝在光具座上，蠟燭和光屏距透鏡的距離都可以從光具座導軌刻度尺上讀出。大家可通過做透鏡的成像實驗來掌握其成像規(guī)律。下面的動畫是模擬透鏡成像的情況。（1）先做凸透鏡成像，拖動左邊的蠟燭，仔細觀察成像情況。（2）再做凹透鏡成像觀察所成像的情況。進行對比總結。物體到透鏡的距離稱為物距，用p表示；像到透鏡的距離稱為像距，用p'表示。焦距用f表示?！就哥R成像】表：透鏡成像規(guī)律分類物的位置像的位置像的大小像的性質(zhì)

分類物的位置像的位置像的大小像的性質(zhì)凸透鏡U一8異側(cè)，v=f會聚于一點實像u>2f異側(cè)，f<v<2f縮小倒立的實像u=2f異側(cè)，v=2f等大倒立的實像f<u<2f異側(cè)，v>2f放大倒立的實像u=fv—8平行光線u<f同側(cè)，v<0,Iv|>u放大正立的虛像凹透鏡0<u<8同側(cè)，v<0,Iv|<u縮小正立的虛像由表我們可以看出：對于凸透鏡，f是成虛、實像的分界點；2f是成放大、縮小像的分界點。當物沿主光軸8—f時，物像在透鏡異側(cè)且同向移動，像距增大，像變大，當u=v=2f時，物與實像間距離達最小為4f，當物沿主光軸由f—0時，物像在透鏡同側(cè)且同向移動，像距減小，像變小。實像與物異側(cè)，是倒立的；虛像與物同側(cè)，是正立的。凹透鏡只能成縮小的虛像，且像的位置只能在焦點和透鏡之間。開普勒開普勒德國天文學家、光學家。1571年12月27日生于德國魏爾，父親早年棄家出走，母親脾氣極壞。他是個早產(chǎn)兒，從小體弱多病，高度近視，一只手半殘，且又瘦又矮。但他勤奮努力，智力過人，一直靠獎學金求學。1587年進入蒂賓根大學學習神學與數(shù)學。他是熱心宣傳哥白尼學說的天文學教授M.麥斯大林特林的得意門生，1591年他取得碩士學位。1594年，應奧地利南部格拉茲的路德派高校的聘請講授數(shù)學。1600年被聘請到布拉格近郊的邦拉基堡天文臺，任第谷的助手。1601年第谷去世后，開普照勒繼承了宮廷數(shù)學家的職位和第谷末完成的工作。1612年移居到奧地利的林茨，繼續(xù)研究天文學。晚年生活極度貧困，1630年11月15日，年近花甲的他去索要人家欠他的薪金，以便開展一項研究項目，奔走的結果，處處碰壁。在歸途中，病倒在客棧里，第二天，便悄悄離別了世界。開普勒在大學學習時就對托密勒和哥白尼體系進行了深入地對比研究，并力求進一步找出宇宙中當時已知的六大行星與太陽之間可以體現(xiàn)“數(shù)的和諧”規(guī)律。1596年他的處女作《宇宙的神秘》出版，他的數(shù)學才能和豐富的想象力，引起了第谷和伽利略的贊許。開普勒對第谷交辦的編制魯?shù)婪蛐潜砣蝿?，并不是機械的完成它，而是在他自己視力不強的條件下又做了不少觀測工作，如：1604年9月30日發(fā)現(xiàn)超新星爆發(fā)，并做了長達17個月的觀測。1607年觀測到慧星即后來的哈雷慧星等。他將伽利略望遠鏡中的凹透鏡目鏡改為小凸透鏡，后人稱之為開普勒望遠鏡。1611出版《屈光學》一書闡述望遠鏡理論，還清晰地引入了光線概念，研究大氣的折射，提出小角度情況下折射角與入射角成正比，提出光的照度定律、視覺理論等，這些不僅有利于積累與核實觀測資料，也是光學發(fā)展的重要收獲。笛卡爾曾說過：開普勒是我的主要的光學老師，勝過所有其他的人。在繼續(xù)找尋火星的軌道時，他在一年半時間里經(jīng)過70多次艱苦思索、計算，按照“勻速圓周運動”的傳統(tǒng)思路反復比較了托勒密、哥白尼、第谷的理論路徑與第谷的實測數(shù)據(jù)，提出各種偏心圓形軌道的設想方案，但是最好的結果誤差仍達8角分之多。而第谷的最大誤差只有2角分。他把這次艱苦的計算愉快地比作為“征服與戰(zhàn)勝火星的戰(zhàn)斗”，他說“這個詭計多端的敵人出乎意料地扯斷了我用方程式制成的鎖鏈'，使我“那些物理因素編成的部隊倍受創(chuàng)傷”，它卻“逃之夭夭?！边@8角分之差便導致了天文學的革新。開普勒忠于實測數(shù)據(jù)，一絲不茍，以不屈不撓的精神，去找尋新的道路：只有放棄，圓形”、“勻速”。考慮和計算這件事差不多弄得我發(fā)瘋。我實在不能明白為什么竟是橢圓？真是荒謬絕倫！難道解決直徑的矛盾問題非得通過橢圓這條路不可嗎？通過推理得出的物理原則必須和經(jīng)驗相吻合，除了承認行星的軌道是完全橢圓之外別無他途。開普勒于1609年在《新天文學》一書中發(fā)表了他的第一、第二行星定律（橢圓軌道定律和等面積定律）。但他仍不滿足于此而繼續(xù)尋求各行星之間的軌道參數(shù)的規(guī)律性，經(jīng)過無數(shù)的試驗，失敗后再不斷總結，繼續(xù)試驗，在1619年出版的《宇宙的和諧》中他終于發(fā)現(xiàn)了宇宙的第定律（周期定律）。這樣，簡明的數(shù)學結論終于代替了過去的復雜體模型，使哥白尼日心說取得了徹底勝利。開普勒通過數(shù)學規(guī)律和“魯?shù)婪蛐潜怼笔褂钪嫦但@得了一個有序的圖景。他還進一步尋求行星繞日體系的形成原因，提出磁力說。他在《哥白尼天文學概論》一書中根據(jù)吉伯的地球是大磁體的觀點，提出了自己的設想來解釋行星繞日橢圓形軌道的物理原因，從太陽的'運動精靈”處發(fā)出輪輻式力線，由于太陽繞其軸自轉(zhuǎn)，這些直的力線對各行星施加一種“推力”。每個行星猶如一塊大磁體，其磁軸在空中運動時始終不變，即太陽排斥其中一極而又吸引另一極。他認為“重力是趨于結合或合并的同類物體之間的相互作用，類似于磁”。這些對于萬有引力與重力的物理性質(zhì)的早期思考，推動了萬有引力的研究。開普勒的一生，除得到第谷的短期幫助外，幾乎都是生活在逆境之中，有人這樣評說：第谷的后面有國王，伽利略的后面有公爵，牛頓的后面有政府，而開普勒所有的只是疾病和貧困。然而他對逆境的回答是奮斗，最終獲得了“天空立法者”的稱號。透鏡和蝴蝶杯折射面是兩個球面，或者一個是球面，另一個是平面的透明體，稱為透鏡。因為燒制玻璃最早的是阿拉伯人，因此科學界公認透鏡也是由阿拉伯人首先發(fā)明的。關于光線穿過透明體的折射現(xiàn)象，中國古代人們也早有所知。在春秋戰(zhàn)國時期，就知道利用大自然存在的石英一類的透明體來向日取火。中國最早記載透鏡的文獻是《淮南萬畢術》，其后是晉朝張華的《博物志》也有記載，此即為本節(jié)開始提及的冰透鏡。冰冷的冰透鏡，以其對著太陽光折射聚焦，居然能使艾草燃燒，確實令人稱奇。在此一千多年后，即1663年，著名英國物理學家胡克也做過同樣實驗。清代科學家鄭復光根據(jù)《淮南萬畢術》的記載，于1819年親自動手作過此實驗，完全證實了冰透鏡確可取火。但是由于冰作成的透鏡不能長久，幫無什么實用價值。我國水晶透鏡和玻璃透鏡出現(xiàn)在何時？東漢王充在《論衡?亂龍篇》中記載有“消煉五石”制成的透鏡陽燧。1974-1979年間，在安徽縣出土的五件東漢末年(164-170年)的聚光玻璃凸透鏡，證明王充的記載是可靠的。凸透鏡的另一功用是映物放大，增大人們的視角。在東漢和東晉墓葬中均發(fā)現(xiàn)圓形水晶透鏡片，可見，中國發(fā)明放大鏡的年代遠在公元2世紀以前。至叮南唐，我國古代透鏡有了科學的分類，據(jù)五代(907-960年)時期譚峭在《化書》卷中記載：“小人常見舊鏡：一名圭，一名珠，一名砥，一名盂，圭視者大，珠視者小，砥視者正，盂視者倒?！边@里所說的圭、珠、砥、盂應分別是雙凹、雙凸、平凹、平凸透鏡，可見當時人們已掌握了各種透鏡的成像性質(zhì)。子我國有一出流傳很廣的傳統(tǒng)劇目《蝴蝶杯》。它描寫了一段明代發(fā)生的愛情故事，劇中男主角有個傳家寶“蝴蝶杯”，非常奇異，只要斟酒入杯，就可見蝴蝶在杯中翩翩起舞，杯中酒干，蝴蝶就會隱去。 人民日報在1980年1月9日報到了山西省侯馬市仿制成功傳統(tǒng)的蝴蝶杯，其外形像個小巧玲瓏的反口金鈴，杯口截面比較大。這個反口金鈴安在細腳座上，杯外壁繪上二龍戲珠等圖案，杯口用金絲鑲飾，杯內(nèi)繪有幾朵紅花，杯底中央嵌裝一枚凸透鏡。其原理是：在杯腳里以細彈簧裝上一個彩蝶，只要杯受微小騷動，彩蝶就會舞動。彩蝶的位置是在杯底凸透鏡焦點外，所以在杯中無酒時，造成與人眼同側(cè)的實像，人眼視之很模糊，當斟酒入杯時，酒與杯沿形成了一枚凹透鏡，凸透鏡和凹透鏡組合為一復合透鏡，復合透鏡的焦距比凸透鏡的焦距大，彩蝶便落在這復合透鏡的焦距之內(nèi)，造成放大的虛像，大約位于明視距離處，在此時，復合透鏡起放大作用，故人眼能看清楚看到放大了的蝴蝶。又因杯拿在手中，總會受到點振動，這樣，彩蝶就翩翩起舞了。象這蝴蝶杯一類的器具，在我國宋代、清代古籍中均有記載。透鏡成像公式從透鏡成像實驗可以看出：物和像存在一一對應關系。我們可以把物體看成是由無數(shù)個物點組成的，物體上的任一點所成的像是該點射到透鏡上所有光線經(jīng)過折射后重新會聚于一點而成的。這樣我們就可以用幾何作圖的方法作出具體物點對應的像點，從而確定出物體所成的像?！鞠旅嬗蓜赢媮硌菔救绾斡脦缀巫鲌D的方法來確定出物點s對應的像點s'】作圖中采用了三條特殊光線跟主軸平行的光線，折射后經(jīng)過焦點。經(jīng)過焦點的光線，折射后跟主光軸平行。經(jīng)過光心的光線，通過透鏡后方向不變。說明：運用這三條中的任意兩條就可求出發(fā)光點的像點。

補充：凹透鏡成像作圖作圖中采用了三條特殊光線（1） 跟主軸平行的光線，以透鏡折射后反向延長線通過和物同側(cè)的虛焦點。（2） 射向透鏡另一側(cè)虛焦點的光線，經(jīng)透鏡折射后跟主光軸平行。（3） 經(jīng)過光心的光線，通過透鏡后方向不變。說明：運用這三條中的任意兩條就可求出發(fā)光點的像點。透鏡成像公式我們學習了運用三條特殊光線來確定物體經(jīng)透鏡后的成像情況，可利用右圖用幾何方法來推導透鏡成像公式。書中對透鏡的成像公式作了詳細推導，在此不再重復。要求掌握住透鏡的成像公式及其各量正負情況的確定該公式為透鏡成像公式。不論是凸透鏡還是凹透鏡都適用。（值得注意的是透鏡必須是薄透鏡）注意點：在運用透鏡成像公式時，要注意各項的正負情況。透鏡符號規(guī)定凸透鏡凹透鏡物距（P）p>0p>0焦距成）f>0f<0像距頃）實像p'>0p'<0虛像pf<0透鏡成像放大率像的放大率：像的長度跟物的長度之比叫做像的放大率通常用K表示。由△AgO和^A1B1O相似，所以K=AB/AB\P^P\可見當K>1,成放大的像；當K<1,成縮小的像；當K=1,成等大的像我們對透鏡的成像情況作一下歸納：（1）物體從無窮遠向凸透鏡移動時，2f處是倒立實像縮小放大的轉(zhuǎn)變點，f處是像虛實的轉(zhuǎn)變點。從無窮遠到2f過程中成縮小實像K<1，物在2f處，成等大實像K=1，從2f到f過程中，成放大實像K>1,在一倍焦距之內(nèi)成放大正立的虛像，K>1。（2）物體從無窮遠向凹透鏡移動時，成像情況就是一種，為縮小正立的虛像則K<1。例題【例題】一物體放在距凸透鏡8cm處，成的像距透鏡24cm，（1）求透鏡的焦距（2）若物高4cm，求像高。解：（1）由題意可知：像的放大率為K=\P'/PI=3,成放大3倍的像，則會有兩種可能,我們分別來分析求解：①物像異側(cè)，成放大實像已知P=8cm,P'=24cm，求f由成像公式：代入上述數(shù)據(jù)可求得： f=6cm②物像同側(cè)成放大虛像的情況已知P=8cm,P'=—24cm,求f由成像公式：

代入上述數(shù)據(jù)可求得： f=12cm(2)已知物高為4cm，由像的放大率公式： K=h像/h物=IP'/PI=3,h像=12cm【總結：這一類透鏡的成像問題，一定要根據(jù)題意將各種可能的情況考慮齊全，若不嚴格審題的話，則很容易出現(xiàn)多解和漏解的情況?！孔詼y題單項選擇題1、利用會聚透鏡成像，當物體放在一倍焦距和二倍焦距之間時，它的像的性質(zhì)為A 縮小正立虛像 B 放大正立實像C 放大倒立實像 D 縮小倒立虛像從距離透鏡3f處，沿主光軸逐2、凸透鏡的焦距為/，一個在透鏡主軸上的物體，漸移動到距離透鏡1.5f從距離透鏡3f處，沿主光軸