學(xué)習數(shù)分體會

學(xué)習數(shù)學(xué)分析的體會數(shù)學(xué)分為代數(shù)、幾何、分析三大類，《數(shù)學(xué)分析》當然講的是分析數(shù)學(xué)，確切的說它講的是分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識?！稊?shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)系最重要的基礎(chǔ)課之一，幾乎所有的后續(xù)課程，如常微分方程、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)、偏微分方程、微分幾何、泛函分析、概率統(tǒng)計等課程都與之有密切的關(guān)系，學(xué)好數(shù)學(xué)分析是學(xué)好其他后繼數(shù)學(xué)課程的必備的基礎(chǔ)。經(jīng)過三個學(xué)期的學(xué)習，我已學(xué)完了兩本數(shù)分書，共二十三章，可分為四個方面的內(nèi)容：極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)以及級數(shù)?；仡櫸疫@三個學(xué)期對于《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習的改變，發(fā)現(xiàn)自己進步了許多。從剛開始對于老師所講的知識雖然表面上能聽懂但卻不能夠完全理解真正的原因、總是感覺學(xué)到的東西不實在而且課后習題都沒幾個會做的，到后來能大致理解所學(xué)的內(nèi)容、從容的應(yīng)對考試。我在這一過程中慢慢總結(jié)出學(xué)習經(jīng)驗，體會頗多。一、 抓住所學(xué)的重點、難點和關(guān)鍵。在這三個學(xué)期的學(xué)習中，我并不能掌握所有《數(shù)學(xué)分析》的知識，因此明白我所需學(xué)習的內(nèi)容是非常重要的，這樣才能更好地去掌握理解更具體的內(nèi)容。在我看來，這兩本《數(shù)學(xué)分析》需要我學(xué)到的重點、難點和關(guān)鍵分別是：（一） 、重點：數(shù)列極限、函數(shù)極限、積分（包括：不定積分、定積分、二重積分、曲線積分、曲面積分）（二） 、難點：極限的概念、級數(shù)（包括：函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)、幕級數(shù)、傅里葉級數(shù)）、微分中值定理及其應(yīng)用（三） 、關(guān)鍵：極限的《￡—N》、《￡—6》語言、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、微分中值定理（包括：羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理）、積分法（包括：換元積分法、分部積分法以及利用各種公式求積分）二、 把握三個環(huán)節(jié)，提高學(xué)習效率在了解所學(xué)內(nèi)容之后，就是我對過去三個學(xué)期學(xué)習安排的回顧和總結(jié)學(xué)習經(jīng)驗。高中學(xué)習時養(yǎng)成了“課前預(yù)習、課上認真聽講、課后復(fù)習”的習慣，盡管到了大學(xué)我已經(jīng)沒有從前學(xué)習的那股勁但這習慣仍然不變，對于《數(shù)學(xué)分析》我也如此學(xué)習，但偶爾還是會偷偷懶。（一） 、課前預(yù)習課本中每節(jié)的內(nèi)容構(gòu)架都是相似的，大都為引言、定理、定理的證明、例題和課后習題。通常情況下我只預(yù)習定理和定理的證明部分，時間充裕時，還會看看例題。我在預(yù)習時會遇到困難，這些難點在老師講解的時候用心去聽，能夠讓我的注意力集中在課堂上。同時，老師講課一般都用不到書，在課前預(yù)習一下即將學(xué)的內(nèi)容可以幫助我更好的理解以及跟上老師的思路，因此課前的預(yù)習對我掌握知識有很大的幫助。（二） 、認真聽講老師在有限的教學(xué)時間中，只能講思路，講重點，講難點。我只有認真聽講，注意老師的講解方法、思路和分析問題、解決問題的過程，認真記好筆記，才能在課后自學(xué)時對所學(xué)知識的理解更深入。同樣在緊張的課堂學(xué)習中，要記好自己的筆記并讓它清晰工整是不容易的。因為在記筆記的同時還在用心聽老師講課，所以我有自己的方法來記筆記。（1）學(xué)會省略，減輕課堂負擔，在課后補充。如寫定理時可以把定理的內(nèi)容在課本上畫下來，在筆記中留出適當?shù)目瞻?，課后再補全，那么我就可以用這段時間來認真聽老師的講解并理解記憶。學(xué)會縮寫。在數(shù)學(xué)分析中，有很多符號語言口：工(加和)、8(無窮大)、Df(定義)、Th(定理)等。、課后復(fù)習我的復(fù)習不是簡單的重復(fù)，不是再讀一遍書或者筆記，而是根據(jù)書本和筆記來總結(jié)自己的表達。我的課后復(fù)習從兩方面出發(fā)：一方面是老師要求掌握的內(nèi)容，這些內(nèi)容是考試內(nèi)容，為期末復(fù)習打下良好的基礎(chǔ)。另一方面是自己難以掌握的內(nèi)容，這些內(nèi)容是最容易忘記的也是應(yīng)用熟練程度最差的，所以我會作為重點復(fù)習。三、掌握方法，全面學(xué)習學(xué)習要有側(cè)重點，比如數(shù)學(xué)分析中的定理，有的是著重看它的證明方法，它的方法是獨特的，可以給自己以借鑒；有的是著重看定理的內(nèi)容，它的定理應(yīng)用，推廣會更多一些；有的則僅當做了解內(nèi)容，因為它可能是為其它定理作鋪墊的。所以在學(xué)習一定要掌握方法，從而做到全面學(xué)習。、概念的學(xué)習方法閱讀概念，記住名稱或符號；(2)背誦定義，掌握特性；(3)舉出正反實例，體會概念反映的范圍；(4)與其它概念進行比較，弄清概念間的關(guān)系。如隱函數(shù)的定義：設(shè)EuR2,函數(shù)F：E—R。對于方程F(x,y)=O，如果存在集合I、JuR，對任何xUI,有唯一確定的yUJ，使得(x,y)UE,且滿足方程F(x,y)=O，則稱方程F(x,y)=O確定了一個定義在I上，值域含于J的隱函數(shù)。若把它記為：y=f(x),xUI,yUJ,則成立恒等式：F(x,f(x))=0,xUI。名稱：隱函數(shù)，符號：集合I、J隱函數(shù)y=f(x)。特性：對任何xUI,有唯一確定的yUJ，使得(x,y)UE,且滿足方程F(x,y)=0。例：xy+y-l=O能確定一個定義在(-^,-1)U(-1,+8)上的隱函數(shù)y=f(x)，把y解出得顯函數(shù)形式：y=1—；x2+y2+c=0，當c>0時，不能確定任何函數(shù)f(x)，使得：1+xx2+[f(x)]2+c=0。與顯函數(shù)的定義比較：表達式大多是自變量的某個算式的函數(shù)稱為顯函數(shù)。在學(xué)習概念時，最重要的就是掌握該概念的特性，因為它的特性是區(qū)別其他概念的主要依據(jù)。我通常會把幾個相似的概念整理歸納在一起,在作了對比分析之后就會比較容易記憶。、定理的學(xué)習方法背誦定理；(2)分清定理的條件和結(jié)論；(3)了解定理的證明過程；(4)應(yīng)用定理證明有關(guān)問題；(5)體會定理與逆否定理、逆命題的聯(lián)系。如確界原理：設(shè)S為非空的數(shù)集，若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。背誦：設(shè)S為非空的數(shù)集，若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。條件：S為非空的數(shù)集，S有上界，S有下界。結(jié)論：S必有上確界，S必有下確界。證明過程分析：這里我們給一個可以接受的說明SuR,S非空，3xus,我們可以找到一個整數(shù)p,使得p不是S上界，而p+1是S的上界然后我們遍查p1，p2，p3， ?p9和p+1,我們可以找到一個q0，0<q0<9，使得p?q0不是S上界，p?(q°+1)是S上界，如果再找第二位小數(shù)q1, ?如此下去，最后得到p?q0q]q2?…，它是一個實數(shù)，即為S的上確界。同樣可證明下確界。在學(xué)習定理時，最重要的就是熟記該定理，因為它可能在之后的學(xué)習中有著很多的應(yīng)用。當然，某些定理的證明也是必要的，我們不能做那種只會死記硬背的孩子，真正理解它才是我們學(xué)習的主要目的。和概念一樣，我也會把幾個相似的定理整理歸納在一起記憶，相似的定理證明過程也類似，可以通過一個定理來理解其他的。公式的學(xué)習方法(1)書寫公式，記住公式中字母間的關(guān)系；(2)懂得公式的來龍去脈，了解推導(dǎo)過；驗算公式，在公式具體化過程中體會公式中反映的規(guī)律；(4)將公式進行各種變換，了解其不同的變化形式。如牛頓萊布尼茨公式：若函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，且存在原函數(shù)F(x)，則f(x)在［a,b］上可積，且Jbf(x)dx=F(b)-F(a)。a公式：Jbf(X)dx=F(b)-F(a)。a證明過程分析分析：對函數(shù)f(x)于區(qū)間［a,b］上的定積分表達為:Jbf(X)dx?，F(xiàn)在我們a把積分區(qū)間的上限作為一個變量，這樣我們就定義了一個新的函數(shù)：0(x)=Jxf(x)dx。但a是這里x出現(xiàn)了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數(shù)的自變量，但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個定值是沒意義的。為了只表示積分上限的變動，我們把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t,這樣意義就非常清楚了：0(x)=Jxf(t)dt，貝g'(x)=f(x)，故0a(x)+C=F(X)。但0(a)=0(積分區(qū)間變?yōu)椋踑,a］，故面積為0),所以F(a)=C，于是有0(x)+F(a)=F(x)，當x=b時，0(b)=F(b)-F(a)，而0(b)=Jbf(t)dt，所以Jbf(t)dt=F(b)-F(a)，a a把t再寫成x,就變成了開頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。在學(xué)習公式時，重要的不僅是公式本身，該公式的條件也尤為重要，因為條件決定著公式是否可用。所以我在記憶公式時，一定會去了解公式的推導(dǎo)過程，那樣就不會有條件被遺漏了。四、對比相似定義、定理，熟記內(nèi)容對于定義、定理和公式的學(xué)習除了上述方法之外，我還會用另一種方法來記憶加深對它們的理解，就是把相近或類似的放在一起，對比找出它們的異同。下面是我給出的一些例子:、函數(shù)極限與定積分的定義函數(shù)極限：設(shè)f是定義在［a,+R)上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對任給的正數(shù)￡>0,3正數(shù)M(三a)，使得當x>M時，有|f(x)-A|v￡，則稱函數(shù)f當x趨于時以A為極限,記作：limf(x)=A或f(x)—A(X—+8)。xf+<x定積分:設(shè)f是定義在［a,b］的一個函數(shù),J是一個確定的實數(shù)。若對任給的正數(shù)￡>0,3某一正數(shù)&>0,使得對［a,b］的任何分割T,以及在其上任意選取的點集{§)},只要IIT||<6，就有|￡f憶)Ax-J|<￡,則稱函數(shù)f在區(qū)間［a,b］上可積或黎曼可積;數(shù)J稱為f在［a,b］iii=1上的定積分或黎曼積分，記作：J=Jbf(x)dxoa①相同點：a.函數(shù)在某個區(qū)間上有定義；b.有一個確定的實數(shù)；c.任給一正數(shù)；d.存在另一正數(shù)。②不同點：a.函數(shù)極限：當x>M時，有|f(x)-A|<￡；定積分：對［a,b］的任何分割T,只要IITH<6，就有|ff憶)Ax-J|〈￡。b.函數(shù)極限：稱為極限；定積分：稱可積或黎曼iii二1可積。在已經(jīng)學(xué)了函數(shù)極限后學(xué)定積分，我可以更快的理解什么是定積分以及定積分的形式，為之后學(xué)習定積分的運算留出更多的時間，對于重積分、曲線曲面積分也同樣如此。對于下面定理、公式的比較，同樣可以找到異同點，且不只是內(nèi)容上有，證明過程也類似，掌握了這種比較記憶的方法，學(xué)習《數(shù)學(xué)分析》會更得心應(yīng)手。、柯西收斂準則數(shù)列的柯西收斂準則：數(shù)列｛an｝收斂o對任給的正數(shù)￡>0,3正整數(shù)N,使得當n，m>N時，有：|a-a|<￡。nm函數(shù)極限的柯西收斂準則：設(shè)函數(shù)f在U0(x0；6)內(nèi)有定義，limf(x)存在o對XTg任給的正數(shù)￡>0，3正數(shù)6>0，使得對任何x'、x"￡U0(x0；6)有：|f(x')-f(x”)|<￡。級數(shù)的柯西收斂準則：級數(shù)｛uj收斂o對任給的正數(shù)￡>0，3正數(shù)N,使得當m>N以及對任意的正數(shù)p,都有：|u+u+ u|<￡。m+1 m+2 m+p函數(shù)列一致收斂的柯西準則：函數(shù)列｛fn｝在數(shù)集D上一致收斂o對任給的正數(shù)￡>0，3正數(shù)N,使得當n,m>N時，對一切x^D都有：f(x)-f(x)|<￡。n m含參量反常積分的一致收斂的柯西準則：含參量反常積分「8f(x,y)dy在［a,b］上c一致收斂O對任給正數(shù)￡,3某一實數(shù)M>c，使得當A］,A2>M時，對一切xU［a,b］，都有：IIA 無窮積分收斂的判別法f(x,y)dyI<￡ 無窮積分收斂的判別法A1柯西收斂準則中最重要的是對任給正數(shù)￡，存在一正數(shù)6，其￡--6語言的描述類似但也有差別，記憶時需要細心觀察，以免出錯。、迫斂性收斂數(shù)列的迫斂性：設(shè)收斂數(shù)列｛a｝、｛b｝都以a為極限，數(shù)列｛C｝滿足：存n n n在正整數(shù)N，當n>N時有：a^cMb，則數(shù)列｛c｝收斂，且limc=a。0 0 nnn n nnt+8函數(shù)極限的迫斂性：設(shè)limf(x)=limg(x)=A,且在某U0(x0；6)內(nèi)有：f(x)Mh(x)=xTx0 xTx0g(x)，則limh(x)=A0xTx0迫斂性是證明極限收斂的一種重要方法，有些數(shù)列或函數(shù)從它的本身不易證明其收斂的，用迫斂性證明會更易理解。、狄利克雷判別法與阿貝爾判別法級數(shù)收斂的判別法狄利克雷判別法： 若｛a｝為單調(diào)遞減數(shù)列，且lima=0,又級數(shù)工b的部分和數(shù)n n nnT8列有界，則級數(shù)工ab=ab+ab+???+ab+???收斂。nn11 22 nn阿貝爾判別法：若｛a｝為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)工b收斂，則級數(shù)工n nab=ab+ab+???+ab+???收斂。nn11 22 nn①狄利克雷判別法：若F(u)=Juf(x)dx在［a,+e)上有界，g幺)在［a,+^)上當xf+8時單調(diào)趨于0，則J*?f(x)g(x)dx收斂。a②阿貝爾判別法：若J+8f(x)dx收斂，g(x、在上單調(diào)有界，則J+8f(x)g(x)dx收斂。a a狄利克雷判別法的關(guān)鍵在于一單調(diào)遞減一有界，阿貝爾判別法的關(guān)鍵在于一收斂一單調(diào)有界，狄利克雷判別法比阿貝爾判別法的條件要求度低。、微分中值定理羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足①在［a,b］上連續(xù)；②在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；③f(a)=f(b)；那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點g(a<§<b),使得：f'(§)=0。拉格朗日定理：如果函數(shù)f(x)滿足①在［a,b］上連續(xù)；②在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點§(a<§<b),使得：f崔)=f(b)-f(a)。b一a柯西中值定理：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足①在［a,b］上都連續(xù)；②在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；③(x)和g(x)不同時為零；(4)g(a)Hg(b)；則存在§u(a,b),使得： =f(b)—f(")。g'憶)g(b)-g(a)微分中值定理從羅爾定理到拉格朗日定理到柯西中值定理它們從特殊到一般，有前面定理可推導(dǎo)得后面定理。(六)、第一、第二型曲線、曲面的計算(1)曲線積分①第一型曲線積分(可化為定積分計算)：設(shè)有光滑曲線L：<x=9⑴,tg［a,卩］，函y=屮(t),數(shù)f(x,y)為定義在L上的連續(xù)函數(shù)，則：Jf(x,y)ds=J卩f(9(t),屮(t))^9'2(t)+屮'2(t)dt。L a②第二型曲線積分(可化為定積分計算)：設(shè)平面曲線L：〈X=9")，tg［a,卩］，其中y二屮(t),9(t),屮(t)在［a，B］上具有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且點A與B的坐標分別為(9(a)，屮(a))與⑷(卩)，屮(卩));又設(shè)P(x,y)與Q(x,y)為L上的連續(xù)函數(shù)，則沿L從A到B的第二型曲線積分：JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J3［P(9(t)，屮(t))9‘(t)+Q(9(t)，屮(t))9‘(t)］dt。L a(2)曲面積分①第一型曲面積分(可化為二重積分計算)：設(shè)有光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)UD,f(x,y,z)為S上的連續(xù)函數(shù)，貝I」： f(X,y,z)dS=JJf(x,y,z(x,y))寸1+z2+z2dxdy。S D②第二型曲面積分(可化為二重積分計算)：設(shè)R是定義在光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)UDxy上的連續(xù)函數(shù)，以S的上側(cè)為正側(cè)(這時S的法線方向與z軸正向成銳角)，則有：JJR(x,y.z)dxdy=ffR(x,y,z(x,y))dxdy。Dxy積分的計算是《數(shù)學(xué)分析》最重要的計算，計算時一定要看清它是什么類型的積分，曲線、曲面很容易混攪。五、掌握解題方法，牢記所學(xué)知識在我學(xué)習數(shù)學(xué)分析的過程中，更多的困難來自于習題。雖然每次寫作業(yè)都感覺很費勁，但我始終不放棄，因為這種狀態(tài)是學(xué)習數(shù)學(xué)分析的一個必經(jīng)之路，必須克服這個困難才能學(xué)好數(shù)學(xué)分析理論知識。除了要堅持外，還要注意不要在某些問題的解決上花費過多的時間。因為數(shù)學(xué)分析理論十分嚴謹，教科書在講解初步知識時，有時會不可避免地用到一些以后才能學(xué)到的理論思想，因而在初步學(xué)習時就對著這種問題不放是十分不劃算的。因此我們需要掌握一些必要的解題方法，只有在做題的過程中我們才能完全的掌握基本概念和基本原理。下面是一些數(shù)學(xué)中一般采用的解題思路：從特殊到一般的思維方法從一般到特殊和從特殊到一般乃是人類認識客觀世界的一個普遍規(guī)律。一方面一般概括了特殊，普遍比特殊更能反映事物的本質(zhì)；另一方面事物的特殊性中包含著普遍性，即共性存在于個性之中，微積分中一些概念和定理的獲得也是通過從特殊到一般的思想。從一個特殊問題出發(fā)，我們可以討論它的一般性問題。如在微積分中，微分中值定理一羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明充分體現(xiàn)了這種“由特殊到一般”的思想。又如通過直線上的牛頓一萊布尼茲公式，可以得到平面上的格林公式，以至空間中的奧高公式，斯托克斯公式。反過來，我們也可以從一般問題考查其特殊情形。如微積分中常利用函數(shù)項級數(shù)的求和得到一些數(shù)項級數(shù)的求和。對習題也可以做一些形式上的從特殊到一般的推廣。例：若f(x)為[0,+R)上的周期函數(shù)，且limf(x)=0，則f(x)=0，xU[0,+g)。xf+<x推廣：若f(x)為(-g,+g)上的周期函數(shù)，且limf(x)=A，則f(x)=A，XU(-g,xf+<x+g。證明：因為limf(x)=A，故對任意的｛x｝，只要xf+g，nf+g,就有J n nxf+<xlimf(x)=A。nnfg設(shè)f(x)的周期為T，若結(jié)論不成立，則存在x0U(-g,+g)使得：f(x0)HA。令x=x+nT，nUR，貝I」xf+g，nfg，并且f(x)=f(x+nT)=f(x)HA，此式與n0 n n 0 0limf(x)=A矛盾。nnfg矛盾轉(zhuǎn)化的思維方法轉(zhuǎn)化思想是在處理數(shù)學(xué)問題時，使一種數(shù)學(xué)對象在一定條件下轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N數(shù)學(xué)對象的指導(dǎo)思想。轉(zhuǎn)化思想的精髓在于對各種數(shù)學(xué)問題進行合理變換，從而達到化陌生為熟悉，化未知為已知，化繁為簡，化抽象為具體，即解決問題的策略思想，是從未知領(lǐng)域出發(fā)，通過數(shù)學(xué)元素之間的固有聯(lián)系，向已知領(lǐng)域轉(zhuǎn)化。各種轉(zhuǎn)化的共同本質(zhì)是變中有不變。轉(zhuǎn)化是手段，揭示其中不變的東西才是目的。如通過歸結(jié)原則，數(shù)列極限與函數(shù)極限可以相互轉(zhuǎn)化；

通過變量代換，可以簡化積分的計算;求由數(shù)列所組成的數(shù)集的確界可以利用單調(diào)有界原理;利用級數(shù)的性質(zhì)及定積分可以較方便地求出某些數(shù)列的極限等等。例:+(-1)1

-例:+(-1)n解:1=(1++31 1 1+)—2(++2n 2 41)

n1+故limS2ntg故limS2ntg=「1dx=ln2，乂limS=lim(S2nTg1+ )=ln22n證明：S+a證明：S+a2+a+a+....—1 2 n-1n—1a +—nnn1+(—1)n-1 ]=ln2n逆向思維方法命題與逆命題是矛盾相互對立的兩個方面，考慮逆命題是否成立可以加深對原命題的理解，進一步得到原命題結(jié)論成立的必要條件。當逆命題不成立時要進行辯證的否定。例：設(shè)lima=a，貝Ulim————=a。nnTg分析：上述命題的逆命題不成立，即若對數(shù)列｛an｝有l(wèi)im"1+"2+……+an=a，貝味ntg n必有l(wèi)ima=a，甚至lima可能不存在。n nnTg nTg如an=(-1)n，lim"1+"2++"n=lim二^=0，但｛(-1)n｝的極限不存在，但我們ntg n ntgn=a，貝Ulima=