高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）選修1 1.2 空間向量基本定理章節(jié)綜合練習(xí)題（答案+解析）

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1.2空間向量基本定理

一、選擇題

1．（2023高二上·臨安開學(xué)考）已知向量在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為（）

A．B．C．D．

2．（2023高三上·深圳月考）如圖，在△ABC中，，，P為CD上一點，且滿足，若，，則的值為（）

A．B．C．D．

3．（2023高一下·湖南期末）已知是空間的一個基底，若，，則下列與，構(gòu)成一組空間基底的是（）

A．B．

C．D．

4．在平行六面體中，AC，BD相交于，為的中點，設(shè)，，，則（）

A．B．

C．D．

5．（2023高二上·鄠邑期末）已知是空間的一個基底，則下列說法錯誤的是（）

A．若，則

B．兩兩共面，但不共面

C．一定存在x，y，使得

D．一定能構(gòu)成空間的一個基底

6．（2023高二上·汕尾期末）已知矩形為平面外一點，且平面，分別為上的點，，則（）

A．B．C．1D．

7．（2022高二上·信陽期中）設(shè)向量，，不共面，空間一點P滿足，則A，B，C，P四點共面的一組數(shù)對是（）

A．B．

C．D．

8．（2022高二上·房山期中）如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（）

A．B．

C．D．

9．（2022高二上·遼寧月考）已知四棱錐的底面為平行四邊形，M，N分別為棱，上的點，，N是的中點，向量，則（）

A．，B．，

C．，D．，

10．（2022高二上·紹興月考）在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）

A．B．

C．D．

11．（2022高二上·滄州月考）如圖所示，E，F(xiàn)分別是四面體OABC的棱OA、BC的中點，D是線段EF的一個四等分點（靠近E點），設(shè)，則（）

A．B．

C．D．

12．（2022高二上·河南月考）已知A，B，C，D四點在平面內(nèi)，且任意三點都不共線，點P為平面外的一點，滿足，則z＝（）

A．2B．1C．－1D．－2

13．（2022高二上·滄州月考）已知是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）

A．B．

C．D．

14．（2022高二下·鹽城月考）如圖，在三棱錐中，E為OA的中點，點F在BC上，滿足，記，，分別為，，，則（）

A．B．

C．D．

15．（2022高二下·河南月考）如圖，在四面體中，，，，點M、N分別在線段OA、BC上，且，，則等于（）

A．B．

C．D．

16．（2022高二上·臨湘期末）如圖，在四面體中，，分別是，的中點，則（）

A．B．

C．D．

17．（2022高二上·大連月考）若構(gòu)成空間的一組基底，則下列向量不共面的是（）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

18．（2023高二上·河北期中）下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是（）

①若是空間的一個基底，則對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得；

②若兩條不同直線l，m的方向向量分別是，，則l∥m；

③若是空間的一個基底，且，則A，B，C，D四點共面；

④若兩個不同平面α，β的法向量分別是，且，，則α∥β．

A．1B．2C．3D．4

19．（2023高二上·河?xùn)|期中）在長方體中，可以作為空間向量一個基底的是（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

20．（2023高二上·山東月考）已知空間四點，，，共面，則的值為（）

A．1B．3C．11D．5

21．在以下三個命題中，真命題的個數(shù)是（）.

①若三個非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則，，共面；②若兩個非零向量，與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則，共線；③若，是兩個不共線的向量，而（且），則構(gòu)成空間的一個基底.

A．0B．1C．2D．3

22．若向量、、的起點與終點、、、互不重合且無三點共線，且滿足下列關(guān)系（是空間任一點），則能使向量、、成為空間一組基底的關(guān)系是（）

A．B．

C．D．

23．設(shè)，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

24．（2023高二上·魚臺月考）已知O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量=，向量，則不能與構(gòu)成空間的一個基底的是（）

A．B．

C．D．或

25．（2023·萍鄉(xiāng)模擬）如圖，已知，，，，，則等于（）

A．B．C．D．

26．若是空間的一個基底，，，，，，則x，y，z的值分別為（）

A．，-1，-B．,1，

C．-，1，-D．，1，-

27．在以下三個命題中，真命題的個數(shù)是（）

①三個非零向量a、b、c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a、b、c共面；

②若兩個非零向量a、b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則a、b共線；

③若a、b是兩個不共線的向量，且，則構(gòu)成空間的一個基底．

A．0B．1C．2D．3

28．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知=，=，=，O為底面ABCD中心，G為△D1C1O重心，則=（）（用表示）

A．B．

C．D．

29．已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，點F是側(cè)面CDD′C′的中心，若=+x+y，則x﹣y等于（）

A．0B．1C．D．﹣

30．（2023高二上·黃陵期中）（理）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2．給出以下結(jié)論：

①+++=；

②+﹣﹣=；

③﹣+﹣=；

④=；

⑤=0，

其中正確結(jié)論是（）

A．①②③B．④⑤C．②④D．③④

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】解：由題意可知：，

所以在基底下的坐標為.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量基本定理運算求解.

2．【答案】C

【解析】【解答】解：由，，得，即，

由于P、C、D在一條直線上，故，解得，

又因為，，所以，

，

即

故答案為：C.

【分析】由平面向量的線性運算和平面向量基本定理可求出m，再利用向量數(shù)量積的運算求出，再由向量模的公式直接計算即可得答案.

3．【答案】A

【解析】【解答】解：若，，不能構(gòu)成一組空間基底，則，，共面，

所以存在唯一實數(shù)，使得，

對A：因為，則，

整理得，所以，無解.

即，，不共面，所以與構(gòu)成一個基底，故A正確；

對B：因為，所以，故B錯誤；

對C：因為，所以，故C錯誤；

對D：因為，所以，故D錯誤.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量基底的概念和共面向量的性質(zhì)逐項分析判斷.

4．【答案】C

【解析】【解答】如圖所示：

因為為的中點，

所以.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)，結(jié)合空間向量的線性運算求解.

5．【答案】C

【解析】【解答】對于A，若不全為0，則共面，與題意矛盾，A符合題意；

對于B，是空間的一個基底，則兩兩共面，但不共面，B符合題意；

對于C，不共面，則不存在實數(shù)，使得，C不符合題意；

對于D，若共面，，無解，

故不共面，一定能構(gòu)成空間的一個基底，D符合題意

故答案為：C．

【分析】由不全為0，得到共面，可判定A正確；根據(jù)空間向量的基底的定義，可判定B正確；由不共面，得到不存在實數(shù)，使得，可判定C錯誤；設(shè)向量共面，列出方程組無解，可判定D正確.

6．【答案】B

【解析】【解答】因為，

所以

，

故，故.

故答案為：B

【分析】根據(jù)空間向量基本定理求出，求出答案.

7．【答案】B

【解析】【解答】因為向量，，不共面，，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時，A，B，C，P四點共面，

對于A，，A不符合題意；

對于B，，B符合題意；

對于C，，C不符合題意；

對于D，，D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】由題設(shè)條件可知，A，B，C，P四點共面等價于，由此對選項逐一檢驗即可.

8．【答案】C

【解析】【解答】由題意可知空間向量不共線，且，即，

則，即，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意，化簡得到，進而的方程組，即可求解.

9．【答案】B

【解析】【解答】解：因為，所以，

，

又，

所以.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)向量的線性運算，化簡得到，結(jié)合題意，即可求得的值.

10．【答案】C

【解析】【解答】由底面是正方形，E為的中點，且，

根據(jù)向量的運算法則，可得

.

故答案為：C.

【分析】由E為的中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，即可求解.

11．【答案】C

【解析】【解答】解：如圖所示，連接，

.

故答案為：C．

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，即可求出相應(yīng)的向量。

12．【答案】A

【解析】【解答】因為四點在平面內(nèi)，且點為平面外的一點，

而，所以，

所以，所以

所以，解得.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，表示出相應(yīng)的向量，即可求出參數(shù)z的值。

13．【答案】B

【解析】【解答】對于A.，A不符合題意；

對于B.不共面，B符合題意；

對于C.，C不符合題意

對于D.，D不符合題意

故答案為：B

【分析】根據(jù)不共面的向量可以作為空間向量的一組基底，逐一判斷即可。

14．【答案】A

【解析】【解答】解：在三棱錐O-ABC中，

∵，E為OA的中點，

，，

所以.

故選：A

【分析】根據(jù)空間向量的加、減、以及數(shù)乘運算進行求解.

15．【答案】D

【解析】【解答】根據(jù)題意可得：

故答案為：D.

【分析】利用空間向量的線性運算，空間向量基本定理求解即可.

16．【答案】A

【解析】【解答】∵在四面體中，，分別是，的中點，

故答案為：A．

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解.

17．【答案】C

【解析】【解答】A：，所以，，共面；

B：，所以，，共面；

C：不能用，表示，所以，，不共面；

D：，共線，則，，共面．

故答案為：C

【分析】根據(jù)題意由空間向量共面定理，對選項逐一判斷即可得出答案。

18．【答案】D

【解析】【解答】①若是空間的一個基底，則對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得，由空間向量基本定理知，正確；

②若兩條不同直線l，m的方向向量分別是，，則l∥m，由方向向量的定義知，正確；

③若是空間的一個基底，且，則A，B，C，D四點共面，由空間向量共面定理知，正確；

④若兩個不同平面α，β的法向量分別是，且，，則α∥β．由法向量的定義知，正確.

故答案為：D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量的基本定理，由此判斷出①正確；由直線的方向向量與向量共線的關(guān)系，由此判斷出②正確；由空間向量共面定理即可判斷出③正確；由平面的法向量的定義，結(jié)合平面平行的性質(zhì)即可判斷出④正確，從而即可得出答案。

19．【答案】C

【解析】【解答】如圖所示：

A.因為，，，所以，，共面，故錯誤；

B.因為=+，所以，，共面，故錯誤；

C.因為，，不共面，故正確；

D.因為，，共面，故錯誤；

故答案為：C

【分析】根據(jù)題意由空間向量基底的定義，對選項逐一判斷即可得出答案。

20．【答案】C

【解析】【解答】由于，，，，

所以，，，

而空間四點，，，共面，

所以結(jié)合空間向量基本定理可知，

故，故，解得。

故答案為：C

【分析】利用點的坐標結(jié)合已知條件和向量的坐標表示，從而求出向量的坐標，再結(jié)合空間四點，，，共面，所以結(jié)合空間向量基本定理可知，再利用向量的坐標運算，從而解方程組求出m，n，z的值。

21．【答案】C

【解析】【解答】①正確，作為基底的向量必須不共面；

②正確；

③錯誤，因為，，共面，所以不能構(gòu)成基底.

故只有①②正確.

故答案為：C.

【分析】由空間向量基底的定義：三個向量不共面即可判斷出①②正確由此得到答案。

22．【答案】C

【解析】【解答】A中，因為，所以、、、共面，所以向量、、不能成為空間的一組基底；

B中，，但可能，即、、、可能共面，所以向量、、不一定能成為空間的一組基底；

D中，∵，∴、、、共面，所以向量、、不能成為空間的一組基底，

故答案為：C．

【分析】由空間向量基底的定義：三個向量不共線對選項逐一判斷即可得出答案。

23．【答案】C

【解析】【解答】，，，共面，

①，，不能作為空間向量的一個基底．

，，，，，不共面，

②，，可作為空間向量的一個基底．

同理，，，不共面，，，不共面，

③，，；④，，都可作為空間向量的一個基底．

故答案為：C．

【分析】由空間向量基底的定義即三個向量不共面對選項逐一判斷即可得出答案。

24．【答案】C

【解析】【解答】因為=，=，

故()，所以與向量共面，

故，，不能構(gòu)成空間的一個基底.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意，尋找與共面的向量即可.

25．【答案】A

【解析】【解答】以O(shè)A所在的直線為x軸，過O作與OA垂直的直線為y軸，建立直角坐標系如圖所示：

因為，且，∴，

∴A（1，0），B（），又令，則=，∴=7，

又如圖點C在∠AOB內(nèi)，∴=，sin=,又，∴C（），

∵，（m，n∈R），∴（）=（m,0）+（）=(m，）

即m，，解得n=，m=，∴，

故答案為：A．

【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，表示相應(yīng)的向量，結(jié)合空間向量的線性運算，解方程求出m和n，即可得到式子的值.

26．【答案】A

【解析】【解答】=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3=e1+2e2+3e3，

由空間向量基本定理，得∴x=，y=-1，z=-.

【分析】將，，代入=x+y+z中并整理，可得到關(guān)于x，y，z的三個方程，聯(lián)立方程即可求解.

27．【答案】C

【解析】【解答】①正確，表示基底的向量必須不共面；②正確；③不對，a，b不共線．

當(dāng)時，a、b、c