河南省新鄉(xiāng)市第七中學2024屆數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題含解析

河南省新鄉(xiāng)市第七中學2024屆數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的焦點為，，其漸近線上橫坐標為的點滿足，則（）A. B.C.2 D.42．已知等差數(shù)列前項和為，且，，則此數(shù)列中絕對值最小的項為A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項3．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.124．在公比為的等比數(shù)列中，前項和，則（）A.1 B.2C.3 D.45．已知點，點在拋物線上，過點的直線與直線垂直相交于點，，則的值為（）A. B.C. D.6．設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A. B.0C.6 D.87．若，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.8．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長為（）A.16 B.8C.2 D.19．與直線關于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.10．若傾斜角為的直線過，兩點，則實數(shù)（）A. B.C. D.11．過雙曲線Ω：(a＞0，b＞0)右焦點F作x軸的垂線，與Ω在第一象限的交點為M，且直線AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)12．在二面角的棱上有兩個點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱，若，，，，則這個二面角的大小為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程表示的曲線是圓，則實數(shù)的k取值范圍是___________.14．已知函數(shù)，若存在唯一零點，則的取值范圍是__________.15．根據(jù)某市有關統(tǒng)計公報顯示，隨著“一帶一路”經貿合作持續(xù)深化，該市對外貿易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進出口總額x，y滿足線性相關關系，則______；若計劃2022年出口總額達到5千億元，預計該年進口總額為______千億元16．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)（1）若在處取得極值，求a的值；（2）若在上單調遞減，求a的取值范圍18．（12分）2017年5月27日當今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機大戰(zhàn)中中盤棄子認輸，至此柯潔與的三場比賽全部結束，柯潔三戰(zhàn)全負，這次人機大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對圍棋的關注，某學校社團為調查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了100名學生進行調查，根據(jù)調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.（1）請根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關？非圍棋迷圍棋迷合計男女1055合計（2）為了進一步了解“圍棋迷”的圍棋水平，從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學生組隊參加校際交流賽，首輪該校需派兩名學生出賽，若從5名學生中隨機抽取2人出賽，求2人恰好一男一女的概率.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）求下列函數(shù)導數(shù)：（1）；（2）；20．（12分）同時擲兩顆質地均勻的骰子（六個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體）（1）求兩顆骰子向上的點數(shù)相等的概率；（2）求兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的整數(shù)倍的概率21．（12分）某話劇表演小組由名學生組成，若從這名學生中任意選取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求該小組中男、女生各有多少人？（2）若這名學生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相鄰的概率.22．（10分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意可設，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，故設，設，則，因為，所以，即，所以，因為，所以，因為，所以，故選：B2、C【解析】設等差數(shù)列的首項為，公差為，，則，又，則，說明數(shù)列為遞減數(shù)列，前6項為正，第7項及后面的項為負，又，則，則在數(shù)列中絕對值最小的項為，選C.3、D【解析】設，，，由向量關系化為坐標關系，再結合拋物線的焦半徑公式即可計算【詳解】由得焦點，準線方程為，設，，由得則，化簡得所以故選：D4、C【解析】先利用和的關系求出和，再求其公比.【詳解】由，得，，所以，，則.故選：C.5、D【解析】由題，由于過拋物線上一點的直線與直線垂直相交于點，可得，又，故，所以的坐標為，由余弦定理可得.故選：D.考點：拋物線的定義、余弦定理【點睛】本題主要考查拋物線的定義與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題6、C【解析】畫出可行域，利用幾何意義求出目標函數(shù)最大值.【詳解】畫出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當目標函數(shù)經過點時，目標函數(shù)取得最大值.故選：C7、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質和基本不等式來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項正確；，B選項錯誤；由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，，則等號不成立，所以，C選項正確；，，D選項正確.故選：B.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎題.8、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的特點，結合虛軸長的定義進行求解即可.【詳解】因為雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長為，故選：C9、D【解析】點關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(x，y)是與直線關于軸對稱的直線上任意一點，則(x，－y)在上，故，∴與直線關于軸對稱的直線的方程為.故選：D.10、C【解析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關系得到直線的斜率為，再根據(jù)兩點的斜率公式計算可得；【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選：C11、B【解析】求點A和M的坐標，進而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.12、C【解析】設這個二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結果.【詳解】設這個二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個二面角的度數(shù)為，故選：C.【點睛】本題考查利用向量的幾何運算以及數(shù)量積研究面面角.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：14、【解析】求得函數(shù)的導數(shù)，得到是的唯一零點，轉化為方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，進而轉化為和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性和最小值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為存在唯一零點，所以是的唯一零點，則關于的方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，所以函數(shù)和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），又由，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，所以，即即的取值范圍是.故答案為：.15、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點，代入即可求得，取可求出該年進口總額.詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點，由，解得，此時，，當時，即，解得，所以，預計該年進口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6516、【解析】設點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)對求導,再根據(jù)題意有,據(jù)此列式求出;(2)由題可知對恒成立,即對恒成立,因此求出在區(qū)間上的最小值即可得出結論.【詳解】(1),則,因為在處取得極值,所以,解得,經檢驗,當時,在處取得極值;(2)因為在上單調遞減,所以對恒成立,則對恒成立,∵當時,,∴,即a的取值范圍為.【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調性與極值求參,需要學生對相關基礎知識牢固掌握且靈活運用.18、(1)沒有95%把握認為“圍棋迷”與性別有關.(2).【解析】（1）由頻率分布直方圖求得頻率與頻數(shù)，填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；（2）根據(jù)分層抽樣原理，用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，所以在抽取的100人中，“圍棋迷”有25人，從而列聯(lián)表如下非圍棋迷圍棋迷合計男301545女451055合計7525100因為，所以沒有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關.（2）由（1）中列聯(lián)表可知25名“圍棋迷”中有男生15名，女生10名，所以從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取的5名學生中，有男生3名，記為，有女生2名，記為.則從5名學生中隨機抽取2人出賽，基本事件有：，，，，，，，，，，共10種；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6種；故2人恰好一男一女的概率為.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖、獨立性檢驗和列舉法求概率的應用問題，是基礎題19、（1）；（2）【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及導數(shù)的運算法則計算可得；【詳解】解：（1）因為所以，即（2）因為所以，即20、（1）；（2）.【解析】（1）求出同時擲兩顆骰子的基本事件數(shù)、及骰子向上的點數(shù)相等的基本事件數(shù)，應用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列舉出兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)的基本事件，應用古典概型的概率求法，求概率即可.【小問1詳解】同時擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子向上的點數(shù)相等包括的基本事件為6種，故所求的概率為；【小問2詳解】兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)時，用坐標記為，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16個基本事件，故兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)有的概率為.21、（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為；（2）.【解析】（1）設男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，根據(jù)組合計數(shù)原理結合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：設男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，由已知可得，即，因為且，解得，所以，該小組中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.【小問2詳解】解：若男生不相鄰，則先將女生全排，然后在女生所形成的個空中選個空插入男生，因此，所有排法中男生不相鄰的概率為.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質定理可證得；由菱形邊長和角度