河北省唐山市玉田縣高級中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

河北省唐山市玉田縣高級中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線的焦點與橢圓的下焦點重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.2．若拋物線的準線方程是，則拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.3．某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對應數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說法正確的是（）x23456y1925★4044A.看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B.回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應的生產(chǎn)能耗實際增加6.3噸C.據(jù)此模型預測產(chǎn)量為8噸時，相應的生產(chǎn)能耗為50.9噸D.回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過樣本點（4，★）4．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，．若雙曲線右支上存在點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．已知空間向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A.1 B.C. D.6．已知集合，，則（）A. B.C. D.7．已知橢圓的短軸長和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.8．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B.C. D.9．已知橢圓的左右焦點分別為、，點在橢圓上，若、、是一個直角三角形的三個頂點，則點到軸的距離為A B.4C. D.10．某地為響應總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線距離約為（參考數(shù)據(jù)）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米11．已知集合，從集合A中任取一點P，則點P滿足約束條件的概率為（）A. B.C. D.12．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為F，若拋物線上一點P到x軸的距離為2，則|PF|的值為___________.14．在空間直角坐標系中，經(jīng)過且法向量的平面方程為，經(jīng)過且方向向量的直線方程為閱讀上面材料，并解決下列問題：給出平面的方程，經(jīng)過點的直線的方程為，則直線l與平面所成角的余弦值為___________.15．在空間直角坐標系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.16．函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的值域.18．（12分）已知命題實數(shù)滿足不等式，命題實數(shù)滿足不等式.（1）當時，命題，均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知圓.（1）若直線與圓相交于兩點，弦的中點為，求直線的方程；（2）若斜率為1的直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過圓的圓心，求直線的方程.20．（12分）已知中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.21．（12分）設(shè)橢圓：（）的離心率為，橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4.（1）求橢圓的方程；（2）已知過的直線與橢圓交于、兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.22．（10分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出橢圓的下焦點，即拋物線的焦點，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點為，即為拋物線焦點，∴，∴.故選：D.2、D【解析】根據(jù)拋物線的準線方程，可直接得出拋物線的焦點，進而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標準方程【詳解】準線方程為，則說明拋物線的焦點在軸的正半軸則其標準方程可設(shè)為：則準線方程為：解得：則拋物線的標準方程為：故選：D3、D【解析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)和應用，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：因為，將代入，故，∴，故A錯誤；對，回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸，故錯誤；對，當時，，故錯誤；對，因為，故必經(jīng)過，故正確.故選：.4、B【解析】利用漸近線方程和直線解出Q點坐標，再由得P點坐標，代入雙曲線方程得到a、b、c的齊次式可解.【詳解】如圖，因為與漸近線垂直所以的斜率為，方程為解的Q的坐標為設(shè)P點坐標為則，因為，所以，得點P坐標為，代入得：所以，即所以漸近線方程為故選：B.5、D【解析】由＝0可求解【詳解】由題意，故選：D6、B【解析】根據(jù)根式、分式的性質(zhì)求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運算求.【詳解】∵，，∴故選：B7、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A8、C【解析】，故，即，故漸近線方程為.【考點】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.9、D【解析】設(shè)橢圓短軸的一個端點為根據(jù)橢圓方程求得c，進而判斷出，即得或令，進而可得點P到x軸的距離【詳解】解：設(shè)橢圓短軸的一個端點為M由于，，；，只能或令，得，故選D【點睛】本題主要考查了橢圓的基本應用考查了學生推理和實際運算能力是基礎(chǔ)題10、C【解析】應用正弦定理有，結(jié)合已知條件即可求A，B間的直線距離.【詳解】由題設(shè)，，在△中，，即，所以米.故選：C11、C【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩條直線的位置關(guān)系、幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】，圓心坐標為，半徑為，直線互相垂直，且交點為，由圓的性質(zhì)可知：點P滿足約束條件的概率為，故選：C12、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標準方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】先求出拋物線的焦點坐標和準線方程，再利用拋物線的定義可求得答案【詳解】拋物線的焦點為，準線為，因為拋物線上一點P到x軸的距離為2，所以由拋物線的定義可得，故答案為：314、##【解析】根據(jù)材料結(jié)合已知條件求得平面的法向量以及直線的方向向量，即可用向量法求得線面角.【詳解】因為平面的方程，不妨令，則，故其過點,設(shè)其法向量為，根據(jù)題意則，即，又平面的方程為，則，不妨取，則，則平面的法向量；經(jīng)過點的直線的方程為，不妨取，則，則該直線過點，則直線的方向向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.又，故，即直線l與平面所成角的余弦值為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)向量坐標意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:16、【解析】對求導，由題設(shè)有恒成立，再利用導數(shù)求的最小值，即可求a的范圍.【詳解】由題設(shè)，，又在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴恒成立，令，則，∴當時，則遞減；當時，則遞增.∴，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間（?∞，?1）和（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間（?1，4）（2）【解析】（1）求出，令，由導數(shù)的正負即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）求出函數(shù)在區(qū)間中的單調(diào)性，求出極大值和極小值以及區(qū)間端點的函數(shù)值，比較大小即可得到答案【小問1詳解】由函數(shù)得，令，解得x＜?1或x＞4，；令，解得?1＜x＜4，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（?∞，?1）和（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（?1，4）；【小問2詳解】由（1）可知，當x∈[?3，?1）時，，f（x）單調(diào)遞增，當x∈（?1，4）時，，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（4，6]時，，f（x）單調(diào)遞增，所以當x＝?1時，函數(shù)f（x）取得極大值f（?1）＝，當x＝4時，函數(shù)f（x）取得極小值f（4）＝，又，所以當x∈[?3，6]時，函數(shù)f（x）的值域為18、（1）；（2）.【解析】（1）分別求出命題，均為真命題時的取值范圍，再求交集即可.（2）利用集合間的關(guān)系求解即可.【詳解】實數(shù)滿足不等式，即命題實數(shù)滿足不等式，即（1）當時，命題，均為真命題，則且則實數(shù)的取值范圍為；（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集則且解得故的取值范圍為.【點睛】判斷充分條件與必要條件應注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.19、（1）（或（2）或【解析】(1)由條件可得，由此可求直線的斜率，由點斜式求直線的方程；(2)由條件可求到直線的距離，利用待定系數(shù)法求直線的方程.【小問1詳解】圓，得圓心，半徑，直線的斜率：，設(shè)直線的斜率為，有，解得.所求直線的方程為：.（或【小問2詳解】直線m被圓C截得的弦EF為直徑的圓經(jīng)過圓心C，∴圓心C到直線的距離為.設(shè)直線方?為，則解得或直線的方程為：或20、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用兩角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根據(jù)題意，由余弦定理得，再根據(jù)基本不等式求得，當且僅當時取得等號，即可求出面積的最大值.【小問1詳解】解：由題意得，由正弦定理得：，即，即，因為，所以【小問2詳解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，當且僅當時取得等號，，所以面積的最大值為21、（1）；（2）6.【解析】（1）本小題根據(jù)題意先求，，，再求橢圓的標準方程；（2）本小題先設(shè)過的直線的方程，再根據(jù)題意表示出四邊形的面積，最后求最值即可.【詳解】解：（1）∵橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴橢圓的標準方程為；（2）設(shè)點、的坐標為，，因為直線過點，所以可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，消去可得：，化簡整理得，其中，所以，，因為，所以四邊形是平行四邊形，設(shè)平面四邊形的面積為，則，設(shè)，則（），所以，因為，所以，，所以四邊形面積的最大值為6.【點睛】本題考查橢圓的標準方程，相交弦等問題，是偏難題.22、（1）證明見解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如