河南省新鄉(xiāng)市第七中學2023-2024學年數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題含解析

河南省新鄉(xiāng)市第七中學2023-2024學年數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.2．已知圓C過點，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.3．拋物線的焦點為，準線為，焦點在準線上的射影為點，過任作一條直線交拋物線于兩點，則為（）A.銳角 B.直角C.鈍角 D.銳角或直角4．已知雙曲線的左右焦點分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則的漸近線方程為A. B.C. D.5．等差數(shù)列中，,，則當取最大值時，的值為A.6 B.7C.6或7 D.不存在6．，則（）A. B.C. D.7．已知p：，q：，那么p是q的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件8．從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（）A. B.C. D.9．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，10．已知：，直線l：，M為直線l上的動點，過點M作的切線MA，MB，切點為A，B，則四邊形MACB面積的最小值為（）A.1 B.2C. D.411．已知，若與的展開式中的常數(shù)項相等，則（）A.1 B.3C.6 D.912．某中學的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數(shù)為（）A.13 B.14C.15 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.14．已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為___________.15．已知為平面的一個法向量，為直線的方向向量.若，則__________.16．設函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關系為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定點，圓：，點Q為圓上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于點P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過點M與N作平行直線和，分別交曲線C于點A，B和點D，E，求四邊形ABDE面積的最大值18．（12分）某省食品藥品監(jiān)管局對15個大學食堂“進貨渠道合格性”和“食品安全”進行量化評估，滿分為10分，大部分大學食堂的評分在7~10分之間，以下表格記錄了它們的評分情況：分數(shù)段食堂個數(shù)1383（1）現(xiàn)從15個大學食堂中隨機抽取3個，求至多有1個大學食堂的評分不低于9分的概率；（2）以這15個大學食堂的評分數(shù)據(jù)評估全國的大學食堂的評分情況，若從全國的大學食堂中任選3個，記X表示抽到評分不低于9分的食堂個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.19．（12分）已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.（1）求雙曲線C的方程；（2）記O為坐標原點，過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程20．（12分）已知的三個頂點的坐標分別為，，（1）求邊AC上的中線所在直線方程；（2）求的面積21．（12分）已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過，，三點，求橢圓E的標準方程22．（10分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用空間向量基本定理進行計算.【詳解】.故選：A2、C【解析】設出圓的標準方程，將已知點的坐標代入，解方程組即可.【詳解】設圓的標準方程為，將坐標代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.3、D【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理，求得，根據(jù)其結果即可判斷和選擇.【詳解】為說明問題，不妨設拋物線方程，則，直線斜率顯然不為零，故可設直線方程為，聯(lián)立，可得，設坐標為，則，故，當時，，；當時，，；故為銳角或直角.故選：D.4、D【解析】求得，根據(jù)的面積列方程，由此求得，進而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，雙曲線的一條漸近線為，則，所以，所以，所以.所以雙曲線漸近線方程為.故選：D【點睛】本小題主要考查雙曲線漸近線的有關計算，屬于中檔題.5、C【解析】設等差數(shù)列的公差為∵∴∴∴∵∴當取最大值時，的值為或故選C6、B【解析】求出，然后可得答案.【詳解】，所以故選：B7、C【解析】若p成立則q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要條件.【詳解】因為>0,<1,所以若p：成立，一定成立,但q：成立，p：不一定成立,所以p是q的充分不必要條件.故選：C.8、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長，再根據(jù)光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，且，所以，即，所以，即的長軸長與的實軸長之比為，故選：D9、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.10、B【解析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，根據(jù)與直線l：垂直求解.【詳解】：化為標準方程為：,由切線長得：,四邊形MACB的面積為，若四邊形MACB的面積最小，則最小，此時與直線l：垂直，所以，所以四邊形MACB面積的最小值，故選：B11、B【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式即可求出【詳解】的展開式中的常數(shù)項為，而的展開式中的常數(shù)項為，所以，又，所以故選：B12、C【解析】由題意可得募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，設共募捐了天，然后建立關于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，根據(jù)題意，設共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)離心率得出，結合得出關系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.14、【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程【詳解】解：∵，∴，又，∴曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.15、##【解析】根據(jù)線面平行列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故答案為：16、a＞b【解析】構造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調性求解即可.【詳解】設函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理表示弦長，將面積轉化為函數(shù)后求求解【小問1詳解】由題意可得，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問2詳解】由題意可設的方程為，聯(lián)立方程得，設，，則由根與系數(shù)關系有，所以，根據(jù)橢圓的對稱性可得，與的距離即為點M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數(shù)性質可知：當且僅當，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．18、（1）（2）分布列見解析，【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由題設可得，故利用二項分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【小問1詳解】設至多有1個大學食堂的評分不低于9分為事件，則.所以至多有1個大學食堂的評分不低于9分的概率為.【小問2詳解】任意一個大學食堂，其評分不低于9分的概率為，故，所以，，，，的分布列為：0123.19、(1)雙曲線方程為(2)滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和【解析】（1）由雙曲線焦點可得值，進而可得到的關系式，將點P代入雙曲線可得到的關系式，解方程組可求得值，從而確定雙曲線方程；（2）求直線方程采用待定系數(shù)法，首先設出方程的點斜式，與雙曲線聯(lián)立，求得相交的弦長和O到直線的距離，代入面積公式可得到直線的斜率，求得直線方程試題解析：（1）由已知及點在雙曲線上得解得；所以，雙曲線的方程為（2）由題意直線的斜率存在，故設直線的方程為由得設直線與雙曲線交于、，則、是上方程的兩不等實根，且即且①這時，又即所以即又適合①式所以，直線的方程為與20、（1）（2）【解析】（1）先求得的中點，由此求得邊AC上的中線所在直線方程.（2）結合點到直線距離公式求得的面積.【小問1詳解】的中點為，所以邊AC上的中線所在直線方程為.【小問2詳解】直線的方程為，到直線的距離為，，所以.21、【解析】分橢圓的焦點在軸上與焦點在軸上，兩種情況討論，利用待定