吉林省松原市長嶺縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

吉林省松原市長嶺縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)一、選擇題（每小題2分，共20分）1．（2分）冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界上規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，下列四個(gè)圖是歷屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．2．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（a﹣3，1）與點(diǎn)Q（2，b+1），則a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2分）若長度分別為a，3，5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．84．（2分）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，若∠B＝40°，∠C＝60°則∠ADE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．（2分）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，不能證明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D6．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則CF的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于與它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)多邊形是邊形．8．（3分）等腰三角形的兩邊長分別為8，6，這個(gè)三角形的周長為．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝70°，則∠1+∠2＝．10．（3分）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABC的面積是24，AE＝6則點(diǎn)B到ED的距離是．11．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，則∠A＝．12．（3分）如圖，某輪船以20海里/時(shí)的速度自西向東航行，在A處測得有一小島P在北偏東60°的方向上，這時(shí)間得該小島P在北偏東30°的方向上，則輪船在B處時(shí)與小島P的距離是海里．13．（3分）如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，5），則線段DE的長為．14．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E、F，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)，△ABC的面積為10，則BM+MD的最小值是．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）如圖，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°求∠DAE的度數(shù)．16．（5分）已知：如圖，點(diǎn)A，D，C在同一直線上，AC＝CE，∠B+∠ADE＝180°．求證：BC＝DE．17．（5分）如圖，六邊形ABCDEF是軸對(duì)稱圖形，CF所在的直線是它的對(duì)稱軸，求∠D+∠E的度數(shù)．18．（5分）如圖，已知D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足，∠BDE＝30°，求證：△ABC是等邊三角形．四、解答題（每選題7分，共28分）19．（7分）如圖，把△ABC放置在4×4的正方形網(wǎng)格紙中，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．在網(wǎng)格紙中用三種不同的方法畫出與△ABC有一條公共邊且與△ABC成軸對(duì)稱的三角形（要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．20．（7分）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度數(shù)．21．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝CB，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE、DE、DC．①求證：△ABE≌△CBD；②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．22．（7分）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F（1）求證：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝10，BE＝2，求AB的長．五、解答題（每題題8分，共16分）23．（8分）如圖所示，在等邊三角形ABC中，P、Q是BC邊上的兩點(diǎn)，∠BAP＝20°．（1）求∠AQB的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的時(shí)稱點(diǎn)為M，求證：AP＝PM．24．（8分）特例探究：如圖1，已知在△ABC中，AB＝CB，D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD歸納證明：如圖2，已知在△ABC中，AB＝CB，D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD，DE交AB于M，DF交BC于N．證明：DM＝DN．拓展應(yīng)用：如圖2，AC＝2m（m＞0）其他條件都不發(fā)生變化（用含m的代數(shù)式表示）．六、解答題（每道題10分，共20分）25．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，DE交線段AC于E．（1）當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠EDC＝，∠DEC＝；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以26．（10分）如圖①，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，且它們的速度都為1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t＝s時(shí)，△PBQ是等邊三角形；（2）連接AQ、CP，交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，說明理由；若不變；（3）求t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形；（4）如圖②，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上向前運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交于點(diǎn)M

參考答案與試題解析一、選擇題（每小題2分，共20分）1．（2分）冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界上規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，下列四個(gè)圖是歷屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項(xiàng)B、C、D不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合，選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對(duì)稱圖形，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（a﹣3，1）與點(diǎn)Q（2，b+1），則a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出a，b的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)P（a﹣3，1）與點(diǎn)Q（4，∴a﹣3＝2，b+7＝﹣1，∴a＝5，b＝﹣3，則a+b＝5﹣2＝8．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的符號(hào)關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2分）若長度分別為a，3，5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．8【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：5﹣3＜a＜2+3，即2＜a＜7，即符合的只有3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，能根據(jù)定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊．4．（2分）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，若∠B＝40°，∠C＝60°則∠ADE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義和已知得到∠BAD＝∠DAC，由此解答即可．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝50°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2分）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，不能證明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D【分析】根據(jù)證明三角形全等的條件AAS，SAS，ASA，SSS逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可．【解答】解：在△ABC和△DCB中，∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，A：當(dāng)∠ABC＝∠DCB時(shí)，△ABC≌△DCB（ASA），故A能證明；B：當(dāng)AB＝DC時(shí)，不能證明兩三角形全等，故B不能證明；C：當(dāng)AC＝DB時(shí)，△ABC≌△DCB（SAS），故C能證明；D：當(dāng)∠A＝∠D時(shí)，△ABC≌△DCB（AAS），故D能證明；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．6．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則CF的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】連接AF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求解∠B＝∠C＝30°，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解CF的長．【解答】解：連接AF，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，∴CF＝2AF＝2BF，∵BF＝2，∴CF＝4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求解CF＝2BF是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于與它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)多邊形是四邊形．【分析】首先求得外角的度數(shù)，根據(jù)正多邊形外角和＝360°，利用360°除以外角的度數(shù)即可解決問題．【解答】解：∵每個(gè)外角都等于與它相鄰的內(nèi)角，∴每個(gè)外角的度數(shù)是：90°，則邊數(shù)是：＝4．故答案為：四．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和等于360度，難度適中．8．（3分）等腰三角形的兩邊長分別為8，6，這個(gè)三角形的周長為20或22．【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系分類計(jì)算周長即可．【解答】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，①當(dāng)8為腰時(shí)，周長＝8+8+6＝22；②當(dāng)6位腰時(shí)，周長＝4+6+8＝20；故答案為：20或22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝70°，則∠1+∠2＝250°．【分析】首先求得∠B+∠A，然后利用四邊形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：∵∠B+∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣110°＝250°．故答案為：250°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和，理解定理是關(guān)鍵．10．（3分）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABC的面積是24，AE＝6則點(diǎn)B到ED的距離是2．【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分，求出面積，即可解答．【解答】解：∵AD是BC上的中線，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵BE是△ABD中AD邊上的中線，∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，∴S△ABE＝S△ABC，∵△ABC的面積是24，∴S△ABE＝×24＝5．∵AE＝6，∴點(diǎn)B到ED的距離＝2，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積的求法，掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，是解答本題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，則∠A＝80°．【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠BOC＝90°+∠A，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，又∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴2∠OBC+2∠OCB+∠A＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，又∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，∴90°﹣∠A+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝90°+∠A，∵∠BOC＝130°，∴90°+∠A＝130°，解得：∠A＝80°．故答案為：80°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，正確得出∠BOC＝90°+∠A是解題關(guān)鍵．12．（3分）如圖，某輪船以20海里/時(shí)的速度自西向東航行，在A處測得有一小島P在北偏東60°的方向上，這時(shí)間得該小島P在北偏東30°的方向上，則輪船在B處時(shí)與小島P的距離是40海里．【分析】首先根據(jù)題意可得∠PAB的度數(shù)為30°，∠ABP的度數(shù)為120°，由三角形的內(nèi)角和定理可得∠APB的度數(shù)；利用等腰三角形的性質(zhì)可得PB＝AB，易得結(jié)果．【解答】解：∵∠DAP＝60°，∴∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∵∠PBE＝30°，∴∠ABP＝90°+30°＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∵∠PAB＝∠APB＝30°，∴△PAB為等腰三角形，∴PB＝AB＝20×2＝40（海里）∴B處時(shí)與小島P的距離為40海里．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角，等腰三角形的性質(zhì)，證得△PAB為等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，5），則線段DE的長為7．【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OA＝BO，∠AOB＝90°，證明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，則可得出答案．【解答】解：∵A（﹣2，5），∴AD＝6，OD＝2，∵△ABO為等腰直角三角形，∴OA＝BO，∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝∠AOD+∠BOE＝90°，∴∠DAO＝∠BOE，在△ADO和△OEB中，，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴AD＝OE＝5，OD＝BE＝3，∴DE＝OD+OE＝5+2＝3，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E、F，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)，△ABC的面積為10，則BM+MD的最小值是5．【分析】連接AD，AM，如圖，先利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，則可根據(jù)三角形面積公式求出AD＝5，利用基本作圖得到EF垂直平分AB，則MA＝MB，所以MB+MD＝MA+MD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、M、D共線，即M點(diǎn)為EF與AD的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），從而得到BM+MD的最小值．【解答】解：連接AD，AM，∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵△ABC的面積為10，∴×2×AD＝10，由作法得EF垂直平分AB，∴MA＝MB，∵M(jìn)B+MD＝MA+MD，而MA+MD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、M、D共線，∴MA+MD的最小值為5，∴BM+MD的最小值是5．故答案為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和最短路徑問題．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）如圖，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°求∠DAE的度數(shù)．【分析】由三角形的內(nèi)角和可得∠BAC＝70°，再由角平分線可求得∠BAE＝∠EAC＝35°，從而可得∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，結(jié)合AD⊥BC，即可求∠DAE的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝35°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝15°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂直的定義，解答的關(guān)鍵是熟記三角形內(nèi)角和為180°．16．（5分）已知：如圖，點(diǎn)A，D，C在同一直線上，AC＝CE，∠B+∠ADE＝180°．求證：BC＝DE．【分析】由AB與EC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用同角的補(bǔ)角相等得到一對(duì)角相等，利用AAS得到三角形ABC與三角形CDE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．【解答】證明：∵AB∥EC，∴∠A＝∠DCE，∵∠B+∠ADE＝180°，又∵∠ADE+∠EDC＝180°，∴∠B＝∠EDC，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC＝DE．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17．（5分）如圖，六邊形ABCDEF是軸對(duì)稱圖形，CF所在的直線是它的對(duì)稱軸，求∠D+∠E的度數(shù)．【分析】首先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求得∠A+∠B的度數(shù)，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求得∠E+∠D的度數(shù)即可．【解答】解：∵六邊形ABCDEF是軸對(duì)稱圖形，CF所在的直線是它的對(duì)稱軸，∴∠A＝∠E，∠B＝∠D，∵∠AFC+∠BCF＝150°，∴∠A+∠B＝360°﹣150°＝210°∴∠E+∠D＝∠A+∠B＝210°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩邊的圖形能完全重合．18．（5分）如圖，已知D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足，∠BDE＝30°，求證：△ABC是等邊三角形．【分析】利用“HL”證明△BED和△CFD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠B＝∠C，然后根據(jù)等角對(duì)等邊得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．【解答】證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角對(duì)等邊）．∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是證明△BED≌△CFD．四、解答題（每選題7分，共28分）19．（7分）如圖，把△ABC放置在4×4的正方形網(wǎng)格紙中，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．在網(wǎng)格紙中用三種不同的方法畫出與△ABC有一條公共邊且與△ABC成軸對(duì)稱的三角形（要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及題目要求作出圖形即可．【解答】解：如圖，三角形即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，軸對(duì)稱圖形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．20．（7分）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法AAS，即可判斷△AEC≌△BED；（2）由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】證明：（1）∵∠ADE＝∠1+∠C∴∠2+∠BDE＝∠7+∠C，且∠1＝∠2，∴∠C＝∠BDE，且AE＝BE，∴△AEC≌△BED（AAS）；（2）∵△AEC≌△BED，∴ED＝EC，∠BDE＝∠C，∴∠EDC＝∠C＝＝66°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△AEC≌△BED是本題的關(guān)鍵．21．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝CB，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE、DE、DC．①求證：△ABE≌△CBD；②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．【分析】①利用SAS即可得證；②由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定出∠BDC的度數(shù)．【解答】①證明：在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；②解：∵在△ABC中，AB＝CB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，由①得：△ABE≌△CBD，∴∠AEB＝∠BDC，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝30°+45°＝75°，則∠BDC＝75°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．22．（7分）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F（1）求證：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝10，BE＝2，求AB的長．【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝AF，由線段的和差關(guān)系求出答案．【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE與Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，BE＝2，∴CF＝BE＝2，∵AC＝10，∴AF＝AC﹣CF＝10﹣5＝8，在Rt△ADE與Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF＝8，∴AB＝AE﹣BE＝7﹣2＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．五、解答題（每題題8分，共16分）23．（8分）如圖所示，在等邊三角形ABC中，P、Q是BC邊上的兩點(diǎn)，∠BAP＝20°．（1）求∠AQB的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的時(shí)稱點(diǎn)為M，求證：AP＝PM．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠APB，進(jìn)而解答即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和等腰三角形的判定得出△APM是等腰三角形，進(jìn)而解答即可．【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝60°，∵∠BAP＝20°，∴∠APB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，∴∠APQ＝180°﹣100°＝80°，∵AP＝AQ，∴∠AQB＝∠APQ＝80°；（2）證明：∵點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的時(shí)稱點(diǎn)為M，∴AC垂直平分QM，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠CAM，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等腰三角形，在△APQ中，∠APQ＝∠AQP＝80°，∴∠PAQ＝20°，∴∠PAQ＝∠QAC＝∠CAM＝20°，∴∠PAM＝60°，∴△APM是等邊三角形，∴AP＝PM．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠APB解答．24．（8分）特例探究：如圖1，已知在△ABC中，AB＝CB，D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD歸納證明：如圖2，已知在△ABC中，AB＝CB，D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD，DE交AB于M，DF交BC于N．證明：DM＝DN．拓展應(yīng)用：如圖2，AC＝2m（m＞0）其他條件都不發(fā)生變化（用含m的代數(shù)式表示）．【分析】特例探究：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三線合一，直接證得△ABD是等腰直角三角形即可；歸納證明：證得△DMA≌△DNB（ASA），即可得出答案；拓展應(yīng)用：由歸納證明可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），由此得出Rt△DEF與△ABC的重疊部分（四邊形DMBN）的面積是△ABC面積的一半，得出結(jié)論．【解答】特例探究：解：△ABD是等腰直角三角形．理由：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∵D為AC邊的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，AD＝CD＝，BD＝，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形．歸納證明：證明：∵AB＝CB，∴∠A＝∠C＝45°，∵D是AC的中點(diǎn)，∴DA＝DC＝BD，∠DBN＝45°∴∠ADB＝∠ADM+∠BDM＝90°，∴∠A＝∠DBN．∵∠EDF＝90°，∴∠BDN+∠BDM＝90°，∴∠ADM＝∠BDN在△DMA和△DBN中，∴△DMA≌△DBN（ASA），∴DM＝DN．拓展應(yīng)用：解：∵AC＝2m，△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝m，由歸納證明，可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），∴S四邊形DMBN＝S△BDM+S△DBN＝S△ABC＝××m×，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，理解定理是解答此題的關(guān)鍵．六、解答題（每道題10分，共20分）25．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，DE交線段AC于E．（1）當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以【分析】（1）利用平角的定義和三角形外角的性質(zhì)可得答案；（2）當(dāng)DC＝2時(shí)，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形．【解答】解：（1）∵∠BDA＝115°，∠ADE＝40°，∴∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180﹣25°﹣40°＝115°，故答案為：25°，115°；（2）當(dāng)DC＝2時(shí)，△ABD≌△DCE∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，∵∠B＝∠C，AB＝DC，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）△ADE的形狀可以是等腰三角形；當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，理由如下：∵∠