用頻率估計概率-教學(xué)設(shè)計及點評

課題：用頻率估計概率授課教師：北京市日壇中學(xué)李巖指導(dǎo)教師：北京市朝陽區(qū)教育研究中心謝慧萬書河曹自由2019年10月25.3用頻率估計概率一、內(nèi)容和內(nèi)容分析1．內(nèi)容：人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊“25.3用頻率估計概率”第一課時．2．內(nèi)容解析：用頻率估計概率屬于“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，統(tǒng)計的學(xué)習(xí)是在實際問題中通過經(jīng)歷統(tǒng)計全過程，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果做出簡單的判斷和預(yù)測．概率是刻畫隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，通過獲得隨機事件發(fā)生的概率可以解決一些實際問題．通過下面的知識結(jié)構(gòu)圖可以看出，隨機事件發(fā)生的頻數(shù)和頻率是可以通過統(tǒng)計的方法得到的，需要統(tǒng)計的知識，本節(jié)內(nèi)容就是在運用統(tǒng)計的方法進一步研究概率．本節(jié)課是《概率初步》這一章的第三節(jié)，從整個單元的教學(xué)上看是學(xué)生學(xué)習(xí)了隨機事件與概率，初步了解了概率的意義，能用列舉法求一些簡單等可能事件的概率之后，對概率的進一步研究．本節(jié)課將從統(tǒng)計試驗結(jié)果頻率的角度研究一些隨機試驗中事件的概率，讓學(xué)生從頻率的角度進一步認識概率的意義，概率反映的規(guī)律是針對大量重復(fù)試驗而言．用頻率估計概率不受隨機試驗中結(jié)果種數(shù)有限和各種結(jié)果發(fā)生等可能的限制，適用的范圍比列舉法更廣．本節(jié)的研究內(nèi)容是頻率和概率，頻率是隨機的，在試驗前不能確定，概率是確定的數(shù)，是客觀存在的．隨機事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出規(guī)律性，隨著試驗次數(shù)的增加．一個事件出現(xiàn)的頻率總是在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性．因此，可以通過大量的重復(fù)試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率．從知識類型上看屬于原理性知識，頻率與概率的關(guān)系是學(xué)生認同能夠用頻率估計概率，并能夠在遇到簡單問題時主動想到要用頻率估計概率解決問題的基礎(chǔ)．基于此分析本節(jié)的教學(xué)重點是：探究頻率與概率的關(guān)系．二、目標和目標解析1．目標（1）通過拋擲硬幣、摸球等隨機試驗，了解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別，知道通過大量重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率．（2）會用頻率估計概率的方法解決簡單問題．2．目標解析達成目標（1）的標志是：學(xué)生能夠運用統(tǒng)計知識分析數(shù)據(jù)，感受頻率具有隨機性，在大量重復(fù)試驗時顯示出穩(wěn)定性；結(jié)合具體試驗感受頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系．明確地知道除了用列舉法求概率，還可以用頻率估計概率，這種方法得出的概率與用列舉法求出的概率不矛盾，并且相對于列舉法適用范圍更廣．達成目標（2）的標志是：學(xué)生在面對無法直接求得概率的問題時，能主動想到通過試驗用頻率估計概率，在設(shè)計試驗并實施的過程中能關(guān)注到大量、重復(fù)這兩個關(guān)鍵點，并能根據(jù)統(tǒng)計的頻率合理地估計概率．三、學(xué)生學(xué)情分析知識儲備：學(xué)生已經(jīng)了解了隨機事件和概率的有關(guān)概念，能用列舉法求試驗結(jié)果種數(shù)有限且各種結(jié)果等可能的隨機事件的概率．學(xué)習(xí)情況調(diào)查：對往屆九年級學(xué)生進行調(diào)研．（問卷后附）從學(xué)習(xí)效果的測試結(jié)果看，發(fā)現(xiàn)約70%的學(xué)生對于概率的含義，頻率的特點，頻率與概率的關(guān)系認識不清，導(dǎo)致此現(xiàn)象的原因在于學(xué)生經(jīng)歷的試驗不夠充分，對兩個概念的關(guān)系討論不足．本節(jié)內(nèi)容的難點來自兩個角度，一是知識本身，頻率的隨機性和穩(wěn)定性并存，學(xué)生同時理解存在障礙；二是學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，以往的學(xué)習(xí)都是對確定性的分析，此內(nèi)容是對不確定性的分析，學(xué)生的認知方式需要轉(zhuǎn)變．基于此教學(xué)中學(xué)生在對試驗數(shù)據(jù)進行分析的基礎(chǔ)上，參與合作討論探究問題，對于頻率和概率反復(fù)交替認識，逐層對頻率的隨機性和穩(wěn)定性進行分析，進而強化對概率含義的認識．充分經(jīng)歷各種簡單試驗，在過程中加深對用頻率估計概率方法的理解．基于以上分析本節(jié)課的教學(xué)難點設(shè)定為：正確理解頻率和概率的關(guān)系．四、教學(xué)策略分析學(xué)生經(jīng)歷拋硬幣的試驗，通過概率含義的追問引出通過試驗探索頻率與概率的關(guān)系，學(xué)生親自動手試驗獲得數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步感受頻率呈現(xiàn)的隨機性和規(guī)律性（圍繞概率值波動）．通過隨機模擬大量重復(fù)試驗，試驗次數(shù)增加頻率越來越穩(wěn)定，進一發(fā)現(xiàn)頻率與概率的關(guān)系．通過比對試驗結(jié)果，加深對穩(wěn)定性和隨機性的理解．頻率與概率兩個概念始終交替出現(xiàn)，分散難點，達成目標．通過設(shè)計試驗解決摸球的問題，加深認同頻率與概率的關(guān)系，又能進一步理解用頻率估計概率的過程，對于這個未知概率的問題試驗次數(shù)少時頻率波動大，試驗次數(shù)增加穩(wěn)定性出現(xiàn)的可能性較大，檢驗結(jié)果后發(fā)現(xiàn)概率與估計值相同，進而形成用頻率估計概率的方法．在理性分析的前提下進行試驗操作，再回歸到理性分析，既有思考又有實踐，動手與動腦相結(jié)合更有助于學(xué)生理解頻率與概率的關(guān)系．設(shè)計投擲圖釘?shù)脑囼灲鉀Q問題，對于這個未知概率的問題，且概率不能通過列舉法求出，學(xué)生能夠主動應(yīng)用新學(xué)習(xí)的方法，獨立設(shè)計試驗解決問題，進一步培養(yǎng)學(xué)生的隨機觀念和統(tǒng)計意識．五、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)流程：分析數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，探索關(guān)系設(shè)計試驗，認同關(guān)系解決問題，應(yīng)用關(guān)系歸納小結(jié)，提升認識＼分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)關(guān)系活動1收集各組課前預(yù)習(xí)作業(yè)的數(shù)據(jù)并進行整理分析．作業(yè)要求：作業(yè)要求：1號同學(xué)拋擲硬幣，約達1臂高度，硬幣落地靜止，報告試驗結(jié)果2號同學(xué)用劃記法記錄試驗結(jié)果3號同學(xué)監(jiān)督，盡可能保證每次試驗條件相同，確保試驗的隨機性，填寫表格．課前作業(yè)：拋擲一枚硬幣課前作業(yè)：拋擲一枚硬幣100次，分別統(tǒng)計拋擲50次，100次和200次時“正面向上”出現(xiàn)的頻數(shù)，計算頻率，填寫表格．問題1拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面向上”的概率為0.5，是否意味著拋擲一枚硬幣50次時，就會有25次“正面向上”呢？拋擲一枚硬幣100次時，各組的“正面向上”的頻數(shù)是50嗎？請各組匯報試驗數(shù)據(jù)．師生活動：統(tǒng)計各組試驗數(shù)據(jù)，利用Excel形成各組拋一枚硬幣50次和100次“正面向上”的頻率散點圖．分析統(tǒng)計圖，體會頻率與概率的區(qū)別并能夠初步感受頻率可能與概率存在關(guān)系．設(shè)計意圖：對已有數(shù)據(jù)進行收集和描述，體會頻率的隨機性，培養(yǎng)隨機觀念．活動2增加數(shù)據(jù)，初步發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定性問題2如果重復(fù)試驗次數(shù)增多，結(jié)果會如何呢?拋擲次數(shù)n501001502003004006008001000“正面向上”的頻數(shù)m“正面向上”的頻率師生活動：師生討論，由于試驗條件基本相同，可以用逐步累加各組數(shù)據(jù)的方法近似地模擬重復(fù)試驗次數(shù)不斷增多的情況，教師組織學(xué)生整理試驗數(shù)據(jù)，并對生成的頻率統(tǒng)計圖進行分析．設(shè)計意圖：全班合作對分組試驗獲得的數(shù)據(jù)進行整理和分析，鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生初步探索數(shù)據(jù)中隱藏的規(guī)律，提高學(xué)生的統(tǒng)計意識，進一步理解概率的意義．活動3軟件模擬，完善關(guān)系問題3隨著重復(fù)試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率的變化趨勢是什么？師生活動：教師利用投硬幣模擬軟件演示一組投硬幣2000次的模擬試驗，學(xué)生將模擬試驗的結(jié)果與全班真實試驗的結(jié)果做比較，歸納發(fā)現(xiàn)：正面向上的頻率在0.5左右擺動，隨著拋擲次數(shù)的增加，在0.5左右擺動的幅度越來越小的可能性變大．學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由于隨機事件的隨機性，每組試驗得到的頻率分布都不盡相同，但都無一例外的顯示出，在做大量重復(fù)試驗時頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性；試驗次數(shù)較少時，頻率表現(xiàn)出隨機性的可能性很大，隨著重復(fù)試驗次數(shù)的不斷增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性的可能性越來越大．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生進一步理解，頻率具有隨機性，在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸能夠完整表述頻率與概率的關(guān)系．問題4閱讀另外四次模擬拋擲硬幣2000次的試驗數(shù)據(jù)圖表（見附錄），你讀出哪些信息？師生活動：學(xué)生閱讀圖表，驗證頻率與概率的關(guān)系，進一步認可，在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性．由于隨機事件的隨機性，各次模擬的頻率分布圖均有不同，但都顯示出在做大量重復(fù)試驗時頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性．設(shè)計意圖：通過多次模擬試驗，進一步驗證頻率與概率的關(guān)系是正確的，發(fā)現(xiàn)試驗次數(shù)多時頻率更多的呈現(xiàn)穩(wěn)定性．同時感受不論試驗次數(shù)是多少，都存在頻率偏離概率較大的可能性，只是這種可能性在多次重復(fù)試驗的前提下變?。醪叫纬闪藢τ谶@個拋擲硬幣的簡單試驗的概率可以通過頻率進行估計的觀念．師生活動：擦除模擬拋一枚硬幣2000次“正面向上”的頻率散點圖中表示概率的直線，基于現(xiàn)有的頻率分布情況，學(xué)生能夠估計此未知概率事件發(fā)生的概率是0.5，再擦除學(xué)生拋擲硬幣100次中表示概率的直線，學(xué)生的估計并不是0.5，分析估計不準確的原因，是試驗次數(shù)少，頻率分布不穩(wěn)定，大量重復(fù)試驗當頻率穩(wěn)定時才能夠估計得相對準確．設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)通過對拋擲硬幣這個已知概率的試驗獲得頻率的分析，引導(dǎo)學(xué)生形成用頻率估計概率的方法．通過兩次“擦線”的對比，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)對于此隨機試驗，可以用頻率估計概率，并且隨著試驗次數(shù)的增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性時所估計的概率相對準確．教師出示歷史上一些拋擲硬幣試驗的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)家反復(fù)進行拋硬幣試驗的原因在于對沒有證明過的結(jié)論需要反復(fù)驗證其真實性．設(shè)計意圖：學(xué)生逐漸認識到即使是科學(xué)家在沒能準確證明的情況下也需要進行大量重復(fù)試驗來驗證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．學(xué)生課堂經(jīng)歷的發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程與數(shù)學(xué)發(fā)展的真實過程是一致的，學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)家研究問題的過程，了解證明的必要性．【環(huán)節(jié)二】設(shè)計試驗，認同關(guān)系活動4摸球問題活動4.1問題呈現(xiàn)：在不透明的箱子中，有紅色和黃色兩種除顏色外無其他差別的5個小球．在不打開箱子的前提下，每次隨機摸出一個小球后放回，你能說出箱子里面有幾個黃球嗎？摸球試驗任務(wù)：1各小組重復(fù)、隨機摸球，統(tǒng)計得到“摸出黃球”的頻率2檢驗頻率能否達到穩(wěn)定3用頻率估計概率4檢驗估計是否正確活動4.2試驗設(shè)計：摸球試驗任務(wù)：1各小組重復(fù)、隨機摸球，統(tǒng)計得到“摸出黃球”的頻率2檢驗頻率能否達到穩(wěn)定3用頻率估計概率4檢驗估計是否正確活動4.3實施試驗：在試驗過程中知道需要大量重復(fù)試驗，可以累加數(shù)據(jù)得到較大試驗次數(shù)，對于數(shù)據(jù)是否穩(wěn)定需要檢驗．活動4.4問題解決：通過頻率估計摸出黃球的概率從而求得黃球的個數(shù)．師生活動：學(xué)生小組合作設(shè)計試驗，分享交流后執(zhí)行試驗，利用圖形計算器統(tǒng)計試驗結(jié)果，繪制頻率分布圖，利用頻率估計概率，從而解決問題．進一步發(fā)現(xiàn)對于此概率未知的問題也可以利用頻率估計概率，形成用頻率估計概率的方法．學(xué)生總結(jié)歸納獲得概率的方法，教師給出：對一般的隨機事件，在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總是在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性．頻率穩(wěn)定性規(guī)律不但由人們大量的生活實踐所驗證，還由數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利給出了嚴格的證明．設(shè)計意圖：通過分析摸球問題，發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵是獲得事件的概率，經(jīng)歷解決問題的過程，學(xué)生進一步認同用頻率估計概率的方法．體會到對于概率未知的隨機事件仍然可以使用頻率估計概率的方法解決．通過設(shè)計試驗方案，更加明確“重復(fù)”與“大量”的含義．兩個環(huán)節(jié)分別從學(xué)生已知概率的問題，和未知概率（但是概率可計算）的兩個角度讓學(xué)生逐步認同用頻率估計概率的方法．【環(huán)節(jié)三】解決問題，應(yīng)用關(guān)系問題5投一枚圖釘，你能估計出“釘尖朝上”的概率嗎？師生活動：學(xué)生討論，發(fā)現(xiàn)由于無法確定“釘尖朝上”、“釘尖朝下”的可能性是否相等，不能用列舉法求這個隨機事件的概率，有必要采用新學(xué)的方法——用頻率估計概率．設(shè)計意圖：對于未知概率的事件（概率不可計算求得），學(xué)生進一步意識到用頻率估計概率是一種獲得隨機事件的概率的新方法，它的適用范圍比用列舉法求概率更廣．對于這個不能求出概率的問題，學(xué)生能夠獨立設(shè)計試驗，完整的說明運用頻率估計概率的全過程，加深對規(guī)律和方法的理解．【環(huán)節(jié)四】總結(jié)反思，加深認識教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1．目前我們學(xué)習(xí)了哪些求隨機事件概率的方法？2．說說你對頻率與概率之間關(guān)系的認識．設(shè)計意圖：歸納小結(jié)，鞏固頻率的穩(wěn)定性規(guī)律和用頻率估計概率的方法．作業(yè)任務(wù)單1．用頻率估計概率：完成投圖釘試驗作業(yè)任務(wù)單1．用頻率估計概率：完成投圖釘試驗試驗設(shè)計：人員分工：數(shù)據(jù)統(tǒng)計：試驗次數(shù)事件發(fā)生的頻數(shù)m事件發(fā)生的頻率結(jié)論：2．說一說生活中利用頻率估計概率的具體事件．設(shè)計意圖：鞏固用頻率估計概率的方法，解決實際問題．激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣，再次體會“用頻率估計概率”的方法在非古典概型問題中的應(yīng)用價值．六、目標檢測設(shè)計下表是某班同學(xué)隨機投擲一枚硬幣的試驗結(jié)果．拋擲次數(shù)50100150200250300350400450500“正面向上”次數(shù)22527195116138160187214238“正面向上”頻率0.440.520.470.480.460.460.460.470.480.48下面有三個推斷：=1\*GB3①表中沒有出現(xiàn)“正面向上”的頻率是0.5的情況，所以不能估計“正面向上”的概率是0.5；=2\*GB3②這些次試驗投擲次數(shù)的最大值是500，此時“正面向上”的頻率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48；=3\*GB3③投擲硬幣“正面向上”的概率應(yīng)該是確定的，但是大量重復(fù)試驗反映的規(guī)律并非在每一次試驗中都發(fā)生；其中合理的是.設(shè)計意圖：考查學(xué)生對頻率與概率的關(guān)系的理解，以及用頻率估計概率含義及方法的理解.附錄1：學(xué)情調(diào)研卷問題1你在初中的學(xué)習(xí)中是否知道數(shù)學(xué)實驗？在初中數(shù)學(xué)課堂上是否經(jīng)歷過數(shù)學(xué)實驗？設(shè)計意圖：考查對數(shù)學(xué)實驗的知曉，是否經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗，對于本課選擇運用試驗的方式逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律做準備．問題2如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y(jié)果．下面有三個推斷：①當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308，所以“釘尖向上”的概率是0.616；②隨著實驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“釘尖向上”的概率是0.618；③若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是．并試說明理由．設(shè)計意圖：來源自2017年北京中考試題選擇題，改成填空題后，對于頻率與概率意義的理解以及頻率估計概率方法的意義的理解進行測試．問題3某射手進行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n20100200500800命中靶心次數(shù)m1358104255404命中靶心頻率（1）這個射手射擊一次，命中靶心的概率是多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）這個射手射擊1600次，命中靶心的次數(shù)大約是．設(shè)計意圖：在這道題的設(shè)計中，數(shù)據(jù)是來源于某幾個班各個小組實際扔硬幣出現(xiàn)正反面的數(shù)據(jù)，然后進行了分別匯總，對于已知拋硬幣事件學(xué)生固有觀念概率一定是0.5，在測試題的題目中，把背景轉(zhuǎn)化成射擊命中與否，是不可求得概率的問題．雖然給定數(shù)據(jù)與拋硬幣相同，但學(xué)生呈現(xiàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，題目背景或數(shù)據(jù)發(fā)生變化時，只有部分學(xué)生理解了問題本質(zhì)，知道在大量重復(fù)的基礎(chǔ)上可以用頻率來估計概率．往屆九年級（86人）學(xué)生問題分析：調(diào)研目的作答情況人數(shù)百分比簡單分析問題1對數(shù)學(xué)實驗的知曉，是否經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗．不了解，沒有做過89.38%沒有經(jīng)歷過實驗得出結(jié)論的過程知道，很少5362.5%在數(shù)學(xué)課上通過實驗得到結(jié)論有過感知，經(jīng)歷過一些操作的過程，但次數(shù)較少問題2對概率的理解，對頻率估計概率的理解．選①2023.25%認為概率是計算的結(jié)果，對頻率的隨機性與概率的確定性不明確選①②2427.90%對于計算概率有較深刻的印象，認同頻率可以估計概率，但對頻率與概率的關(guān)系不明確選③78.13%對概率的意義不理解選②3540.69%明確頻率與概率的關(guān)系，會用頻率估計概率問題3是否會求頻率，能否用頻率估計概率，能否利用概率解決問題．空白不回答33.48%頻率的計算是錯誤的，直接導(dǎo)致后兩問無法作答會計算頻率但不能估計概率3130.05%掌握概率的計算公式，但是對于頻率與概率的關(guān)系不清，后問空白錯誤的估計了不恰當?shù)母怕?326.74%能夠熟練正確的計算頻率，但不清楚頻率與概率之間的關(guān)系，不理解概率是頻率在大量重復(fù)后的穩(wěn)定值能夠正確解決問題2933.72%知道用頻率估計概率，知大量重復(fù)試驗時頻率會穩(wěn)定于概率，能夠理解和解釋在試驗次數(shù)太少的情況下，兩者會出現(xiàn)相差較多的情況附錄2：四次模擬拋擲硬幣2000次試驗的數(shù)據(jù)第一次試驗第二次試驗第三次試驗第四次試驗《用頻率估計概率》評析《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》提出“知道通過大量地重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率”的要求.實際上，概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的；頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定；頻率圍繞概率波動，隨著試驗次數(shù)增加，頻率接近概率的可能性越來越大.這里既有隨機性，又有隨機性表現(xiàn)出來的規(guī)律性，學(xué)生理解起來比較困難.李巖老師的《用頻率估計概率》一課做了精心設(shè)計與積極實踐，幫助學(xué)生正確認識頻率與概率的關(guān)系，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念.一、學(xué)情分析精準，教學(xué)設(shè)計嚴謹李老師分別對當前九年級學(xué)生和已經(jīng)畢業(yè)的往屆學(xué)生進行學(xué)情調(diào)查，分析數(shù)據(jù)，精準定位，根據(jù)當前學(xué)生的認知基礎(chǔ)和認知規(guī)律，往屆學(xué)生學(xué)習(xí)的問題或薄弱環(huán)節(jié)，有針對性地設(shè)計教學(xué).從本節(jié)課的整體結(jié)構(gòu)上看，教師按照“分析數(shù)據(jù)－發(fā)現(xiàn)關(guān)系，設(shè)計試驗－認同關(guān)系，解決問題－應(yīng)用關(guān)系，歸納小結(jié)－提升認識”四個環(huán)節(jié)展開的.學(xué)生經(jīng)歷對兩個特殊隨機事件的分析，即已知概率的拋擲硬幣和概率“未知”（可求）的摸球試驗獲得頻率的分析，歸納并認同頻率與概率之間的關(guān)系，通