帶鋸條弦振動(dòng)的行波解

帶鋸條弦振動(dòng)的行波解

鋸屑機(jī)是木材加工行業(yè)中應(yīng)用最廣泛的設(shè)備。帶鋸條的受力極其復(fù)雜，鋸解作業(yè)時(shí)極易產(chǎn)生橫向抖動(dòng)或晃動(dòng)，當(dāng)干擾頻率與固有頻率發(fā)生耦合時(shí)，將導(dǎo)致共振現(xiàn)象，嚴(yán)重影響鋸解質(zhì)量，易損壞鋸條(Mote,1984;1990;Yangetal.，1991)。帶鋸條的張緊力是帶鋸機(jī)設(shè)計(jì)與制造的重要參數(shù)(Mote,1990)。為保證鋸材質(zhì)量，提高鋸切效率，有效措施之一就是提高帶鋸條張緊力。因此，研究帶鋸條振動(dòng)特性尤為重要。Mote等國外學(xué)者對帶鋸條振動(dòng)作了許多工作，國內(nèi)研究相對較少，主要難點(diǎn)體現(xiàn)在支座的簡化、作用力的假設(shè)和轉(zhuǎn)動(dòng)的影響等方面(馬巖，1998)。本文將帶鋸條的振動(dòng)簡化為弦的振動(dòng)，應(yīng)用振動(dòng)理論(清華大學(xué)工程力學(xué)系，1980;季文美等，1985;梁昆淼，1995)和行波解，對帶鋸條的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性進(jìn)行研究。1波機(jī)1.1y1、fps1、at1-x0的移動(dòng)設(shè)弦的長度為l、橫截面積為A、密度為ρ、張力為T，弦的振動(dòng)微分方程(清華大學(xué)工程力學(xué)系，1980;莫爾斯等，1984;徐兀，1987;杜功煥等，2001):稱波動(dòng)方程，式中a=ρ槡AT稱波速。它是一個(gè)二階偏微分方程，該方程的解可以寫成下列形式:F1(at-x)與F2(at+x)分別為任意函數(shù)(莫爾斯等，1984)。函數(shù)F1(at-x)的物理意義:設(shè)y1=F1(atx)，當(dāng)t=0時(shí)，y1=F1(-x)。如果觀察的位置為x=x0，那么y1=F1(-x0)，如圖1a所示，經(jīng)過t=t1的時(shí)間，弦的位移就變成了y1=F1(at1-x1);如果觀察的位置在x1處，將觀察到和原來(t=0,x=x0)的狀態(tài)一樣，F(xiàn)1(at1-x1)=F1(-x0)，如圖1b所示。這時(shí)應(yīng)該滿足at1-x1=-x0，它表示經(jīng)過t=t1的時(shí)間，波形沿x正方向移動(dòng)到了x1點(diǎn)，其移動(dòng)速度為a。F1(at-x)稱波函數(shù)，它表示以波速a向x正方向傳播的波動(dòng)過程。如果t1正好是弦的振動(dòng)周期，即t1=T，那么x1與x0相隔的距離就是一個(gè)波長λ=aTㄢ函數(shù)F2(at+x)代表的是一種以傳播速度a向負(fù)x方向傳播的波動(dòng)過程。若弦的兩端固定，弦的長度為l，其邊界條件為:代入式(2)，可得:由式(3)可推知:將式(5)代入式(4)，可得:作變量代換，令z=at-l，則式(5)可改為:式(6)表示函數(shù)F1是以2l為空間周期的周期函數(shù)。由于弦的兩端固定，F(xiàn)1(at+x)為左行波，它由右向左行進(jìn)，遇到左端點(diǎn)，行波將要反射回來，于是，行波將由左向右行進(jìn)，遇到右端點(diǎn)行波又將反射回來，改向左行進(jìn)，波行進(jìn)的空間周期為2l(紀(jì)多輒，2003;馬大遒等，2006)，如圖2所示。有界弦的2個(gè)行波F1(at-x)和F2(at+x)迭加，將會(huì)形成駐波，如圖3所示，振動(dòng)固有頻率公式:1.2靜止不動(dòng)的帶鋸條振動(dòng)頻率把張緊的帶鋸條的振動(dòng)看成為受拉伸弦的振動(dòng)，借助經(jīng)典的弦振動(dòng)理論研究帶鋸條的振動(dòng)，再考慮帶鋸條的轉(zhuǎn)速和慣性力對頻率的影響。圖4中，a為帶鋸條行波的波速(m·s-1);v為帶鋸條的運(yùn)行線速度(m·s-1)。靜止時(shí)，帶鋸條固有頻率公式為:當(dāng)帶鋸條運(yùn)動(dòng)時(shí)，駐波將隨帶鋸條運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，這樣鋸條就會(huì)出現(xiàn)抖動(dòng)或晃動(dòng)現(xiàn)象，見圖5ㄢ靜止不動(dòng)的帶鋸條的橫向振動(dòng)頻率同弦振動(dòng)的固有頻率的計(jì)算公式一樣，即當(dāng)帶鋸條轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，行波與轉(zhuǎn)動(dòng)的方向一致稱前行波;行波與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反稱后行波。行波沿著帶鋸條傳播的時(shí)間將是:1前波2行波所需要的時(shí)間式中:t1,t2表示完成空間周期2l、前行波和后行波所需要的時(shí)間。振動(dòng)的周期為:行波基頻為:式中:a=ρ槡TA,T表示運(yùn)動(dòng)帶鋸條的張力，v=2πRω表示帶鋸條線速度。對于n階諧波，頻率方程式為:2鋸屑動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型1tt=t0時(shí)帶鋸輪靜止時(shí)，鋸條張緊力(初拉力)為T0，如圖6a所示。帶鋸條振動(dòng)頻率計(jì)算公式為:當(dāng)n=1時(shí)，稱基頻。2常用的三大張力張力圖ΔT為鋸條轉(zhuǎn)動(dòng)引起的松緊邊張力差。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，鋸條兩邊的張力不再相等，T1為緊邊張力，T2為松邊張力，張力差ΔT=T1-T2，如圖6b所示。緊邊波速:松邊波速:基頻為:3常用的常用計(jì)算Qn為帶鋸條離心作用所引起的慣性力。圖7中:D為鋸輪直徑(m);R為鋸輪半徑(m);ω為鋸輪角速度(rad·s-1);ρ為鋸條密度(kg·m-3);dm為單元質(zhì)量(kg);dα為單元角度(rad);qn為單位長度上的慣性力(N·m-1);A為鋸條橫截面積(m2);Qn為慣性力(N)。離心力(慣性力)對張緊力的貢獻(xiàn):緊邊波速:松邊波速:基頻為:3動(dòng)頻率理論計(jì)算1固有頻率測量在靜止時(shí)，實(shí)測鋸條預(yù)緊力T0=3412Nㄢ固有頻率計(jì)算公式為:本試驗(yàn)根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論(戴詩亮，1984)，采用橡膠錘激振帶鋸條，應(yīng)用頻譜分析法測量帶鋸條系統(tǒng)的固有頻率，其主要儀器包括南京安正CRAS振動(dòng)及動(dòng)態(tài)信號(hào)采集分析系統(tǒng)、CA-YD-185壓電式內(nèi)置IC加速度計(jì)等(王正等，2008a;2008b)。靜止時(shí)，帶鋸條系統(tǒng)前6階固有頻率理論解見表1ㄢ2帶鋸條系統(tǒng)前6階動(dòng)頻率理論解驅(qū)動(dòng)帶鋸輪扭矩Me的計(jì)算式為:由式(16)得:將T0=3412N,P=7.5kW和鋸輪轉(zhuǎn)速n=970r·min-1代入ΔT公式計(jì)算如下:緊邊波速:松邊波速:根據(jù)基頻公式:f1=a2l(1-a2v2)，得緊邊基頻:松邊基頻:張力T=T0±ΔT/2時(shí)，帶鋸條系統(tǒng)前6階動(dòng)頻率理論解見表2ㄢ3帶鋸條系統(tǒng)載荷慣性力Qn的計(jì)算。鋸條的線密度:ρ珋=ρA=7800×7.65×10-5=0.60kg·m-1,慣性力:張緊力(初拉力)T0=3412N時(shí)，緊邊波速:松邊波速:緊邊頻率:松邊頻率:張力T=T0±ΔT/2+Qn時(shí)，帶鋸條系統(tǒng)空載時(shí)的前6階動(dòng)頻率理論解見表3ㄢ4帶鋸條振動(dòng)的特性1)緊邊固有頻率的理論值為(fT)1=21.8Hz、松邊固有頻率的理論值為(fT)2=21.0Hz，而應(yīng)用頻譜分析得出的(fR)1=24.9Hz、(fR)2=21.6Hz，兩者比較一致(表3)。說明用行波理論研究和分析帶鋸機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的固有頻率特性是完全可行的，精度也相當(dāng)滿意。2)帶鋸條動(dòng)頻不僅與張緊力有關(guān)，而且與鋸條的線速度有關(guān)。理論分析(表3)表明;考慮線速度影響時(shí)，緊松邊的基頻均小于不考慮轉(zhuǎn)速v的頻率。帶鋸機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的實(shí)測結(jié)果也驗(yàn)證其理論分析，由于動(dòng)頻率變小，相當(dāng)于轉(zhuǎn)動(dòng)的帶鋸條的張緊力降低，俗稱“松”了，因而產(chǎn)生晃動(dòng)或抖動(dòng)現(xiàn)象;同時(shí)由于帶鋸條轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)弦駐波向前運(yùn)動(dòng)，弦除上下振動(dòng)而且還向前運(yùn)動(dòng)，形成蛇形運(yùn)動(dòng)，這種蛇形運(yùn)動(dòng)也使帶鋸條出現(xiàn)晃動(dòng)或抖動(dòng)現(xiàn)象。3)計(jì)算松緊邊拉力差時(shí)，本研究用的是全功率，而空載時(shí)，消耗的功率小于全功率，即使按全功率計(jì)算，ΔT/2=106N，僅占張