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文檔簡介
2023屆湖北省棗陽市第七中學高三下學期期中試卷數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若的展開式中含有常數(shù)項,且的最小值為,則()A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.3.把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,再將圖象向右平移個單位,那么所得圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.4.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.5.中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當該量器口密閉時其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.46.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,則的最小值為A. B. C. D.7.已知直線過圓的圓心,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.48.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對稱,則下述四個結(jié)論:①②③④點為函數(shù)的一個對稱中心其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④9.過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點,若為線段的中點,且(為坐標原點),則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知隨機變量的分布列是則()A. B. C. D.11.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點到達點的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.12.已知向量,夾角為,,,則()A.2 B.4 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,所有的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為-64,則實數(shù)的值為__________.14.已知,,,的夾角為30°,,則_________.15.某校名學生參加軍事冬令營活動,活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲,角色按級別從小到大共種,分別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式,可以人一組或者人一組.如果人一組,則必須角色相同;如果人一組,則人角色相同或者人為級別連續(xù)的個不同角色.已知這名學生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,現(xiàn)在新加入名學生,將這名學生分成組進行游戲,則新加入的學生可以扮演的角色的種數(shù)為________.16.已知曲線,點,在曲線上,且以為直徑的圓的方程是.則_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點.(1)求證:平面;(2)(文科)求三棱錐的體積;(理科)求二面角的正切值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導數(shù).(1)若,證明在區(qū)間上沒有零點;(2)在上恒成立,求的取值范圍.20.(12分)已知,,求證:(1);(2).21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,為的中點,是上的點.(1)若平面,證明:平面.(2)求二面角的余弦值.22.(10分)某工廠,兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知,生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進行返工修復為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回損失元和元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢件產(chǎn)品,以挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復后的合格品)按照一、二、三等級分類后,每件分別獲利元、元、元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測,結(jié)果統(tǒng)計如下圖;用樣本的頻率分布估計總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為,求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】展開式的通項為,因為展開式中含有常數(shù)項,所以,即為整數(shù),故n的最小值為1.所以.故選C點睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項,再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第項,由特定項得出值,最后求出其參數(shù).2、C【解析】
由程序語言依次計算,直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當n=2時,時,,此時輸出.故選:C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】
試題分析:把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍(縱坐標不變),可得的圖象;再將圖象向右平移個單位,可得的圖象,那么所得圖象的一個對稱中心為,故選D.考點:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).4、D【解析】
求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補集運算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點睛】本題考查了集合的交集和補集混合運算,考查了學生概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.5、D【解析】
根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長方體表面積的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.6、C【解析】
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,所以,即,所以,又,所以的最小值為.故選C.7、D【解析】
圓心坐標為,代入直線方程,再由乘1法和基本不等式,展開計算即可得到所求最小值.【詳解】圓的圓心為,由題意可得,即,,,則,當且僅當且即時取等號,故選:.【點睛】本題考查最值的求法,注意運用乘1法和基本不等式,注意滿足的條件:一正二定三等,同時考查直線與圓的關(guān)系,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出,再根據(jù)對稱性求出、,即可求出的解析式,從而驗證可得;【詳解】解:由題意可得,又∵和的圖象都關(guān)于對稱,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正確,②錯誤.故選:B【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用,三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點,∴,則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì),考查了離心率的求解,同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應用,對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).10、C【解析】
利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,得,所以,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法,是基本知識的考查.11、C【解析】
過作于,連接,易知,,從而可證平面,進而可知,當最大時,取得最大值,取的中點,可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因為,所以平面,所以,當最大時,取得最大值,取的中點,則,所以,因為,所以點在以為焦點的橢圓上(不在左右頂點),其中長軸長為10,焦距長為8,所以的最大值為橢圓的短軸長的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學生的空間想象能力與計算求解能力,屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于,故選:A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算,模長的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3或-1【解析】
設(shè),分別令、,兩式相減即可得,即可得解.【詳解】設(shè),令,則①,令,則②,則①-②得,則,解得或.故答案為:3或-1.【點睛】本題考查了二項式定理的應用,考查了運算能力,屬于中檔題.14、1【解析】
由求出,代入,進行數(shù)量積的運算即得.【詳解】,存在實數(shù),使得.不共線,.,,,的夾角為30°,.故答案為:1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論,分析各種情況下個學生所扮演的角色的分組,綜合可得出結(jié)論.【詳解】依題意,名學生分成組,則一定是個人組和個人組.①若新加入的學生是士兵,則可以將這個人分組如下;名士兵;士兵、排長、連長各名;營長、團長、旅長各名;師長、軍長、司令各名;名司令.所以新加入的學生可以是士兵,由對稱性可知也可以是司令;②若新加入的學生是排長,則可以將這個人分組如下:名士兵;連長、營長、團長各名;旅長、師長、軍長各名;名司令;名排長.所以新加入的學生可以是排長,由對稱性可知也可以是軍長;③若新加入的學生是連長,則可以將這個人分組如下:名士兵;士兵、排長、連長各名;連長、營長、團長各名;旅長、師長、軍長各名;名司令.所以新加入的學生可以是連長,由對稱性可知也可以是師長;④若新加入的學生是營長,則可以將這個人分組如下:名士兵;排長、連長、營長各名;營長、團長、旅長各名;師長、軍長、司令各名;名司令.所以新加入的學生可以是營長,由對稱性可知也可以是旅長;⑤若新加入的學生是團長,則可以將這個人分組如下:名士兵;排長、連長、營長各名;旅長、師長、軍長各名;名司令;名團長.所以新加入的學生可以是團長.綜上所述,新加入學生可以扮演種角色.故答案為:.【點睛】本題考查分類計數(shù)原理的應用,解答的關(guān)鍵就是對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論,屬于中等題.16、【解析】
設(shè)所在直線方程為設(shè)?點坐標分別為,,都在上,代入曲線方程,兩式作差可得,從而可得直線的斜率,聯(lián)立直線與的方程,由,利用弦長公式即可求解.【詳解】因為是圓的直徑,必過圓心點,設(shè)所在直線方程為設(shè)?點坐標分別為,,都在上,故兩式相減,可得(因為是的中點),即聯(lián)立直線與的方程:又,即,即又因為,則有即∴.故答案為:【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長公式,考查了學生的計算能力,綜合性比較強,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)(文)(理)【解析】
(1)證明:取PD中點G,連結(jié)GF、AG,∵GF為△PDC的中位線,∴GF∥CD且,又AE∥CD且,∴GF∥AE且GF=AE,∴EFGA是平行四邊形,則EF∥AG,又EF不在平面PAD內(nèi),AG在平面PAD內(nèi),∴EF∥面PAD;(2)(文)解:取AD中點O,連結(jié)PO,∵面PAD⊥面ABCD,△PAD為正三角形,∴PO⊥面ABCD,且,又PC為面ABCD斜線,F(xiàn)為PC中點,∴F到面ABCD距離,故;(理)連OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,∴∠MEB=∠AOB,則∠MEB+∠MBE=90°,即OM⊥EC.連PM,又由(2)知PO⊥EC,可得EC⊥平面POM,則PM⊥EC,即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角,在Rt△EBC中,,∴,∴,即二面角P-EC-D的正切值為.【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.本題(1)是就是利用方法①證明的.18、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)時,根據(jù)絕對值不等式的定義去掉絕對值,求不等式的解集即可;(Ⅱ)不等式的解集為,等價于,求出在的最小值即可.【詳解】(Ⅰ)當時,時,不等式化為,解得,即時,不等式化為,不等式恒成立,即時,不等式化為,解得,即綜上所述,不等式的解集為(Ⅱ)不等式的解集為對任意恒成立當時,取得最小值為實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法與應用問題,也考查了函數(shù)絕對值三角不等式的應用問題,屬于常規(guī)題型.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)先利用導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式求出,再由函數(shù)的導數(shù)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,,可知在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上沒有零點;(2)由題意可將轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性,由,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)若,則,,設(shè),則,,,故函數(shù)是奇函數(shù).當時,,,這時,又函數(shù)是奇函數(shù),所以當時,.綜上,當時,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,函數(shù)單調(diào)遞減.又,,故在區(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上沒有零點.(2),由,所以恒成立,若,則,設(shè),.故當時,,又,所以當時,,滿足題意;當時,有,與條件矛盾,舍去;當時,令,則,又,故在區(qū)間上有無窮多個零點,設(shè)最小的零點為,則當時,,因此在上單調(diào)遞增.,所以.于是,當時,,得,與條件矛盾.故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式的應用,以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,涉及分類討論思想和放縮法的應用,難度較大,意在考查學生的數(shù)學建模能力,數(shù)學運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.20、(1)見解析;(2)見解析.【解析】
(1)結(jié)合基本不等式可證明;(2)利用基本不等式得,即,同理得其他兩個式子,三式相加可證結(jié)論.【詳解】(1)∵,∴,當且僅當a=b=c等號成立,∴;(2)由基本不等式,∴,同理,,∴,當且僅當a=b=c等號成立∴.【點睛】本題考查不等式的證明,考查用基本不等式證明不等式成立.解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式,方法是綜合法.21、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)因為,利用線面平行的判定定理可證出平面,利用點線面的位置關(guān)系,得出和,由于底面,利用線面垂直的性質(zhì),得出,且,最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,即可證出平面.(2)由(1)可知,,兩兩垂直,建立空間直角坐標系,標出點坐標,運用空間向量坐標運算求出所需向量,分別求出平面和平面的法向量,最后利用空間二面角公式,即可求出的余弦值.【詳解】(1)證明:因為,平面,平面,所以平面,因為平面,平面,所以可設(shè)平面平面,
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