定積分學(xué)習(xí)要點(diǎn)

定積分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要(一)學(xué)習(xí)要求1．理解定積分的概念及其性質(zhì)．2．了解定積分的幾何意義．3．了解變上限的定積分的性質(zhì)，熟練掌握牛頓萊布尼茨公式．4．掌握定積分的換元法和分部積分法．了解無窮區(qū)間上的廣義定積分的幾何意義，牛頓-萊布尼茨公式，定各分的換元法和分部積分法．重點(diǎn)定積分的概念及定積分的幾何意義，牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法.難點(diǎn)變上限的定積分，定積分的換元法和分部積分法.(二)內(nèi)容提要1.曲邊梯形所謂曲邊梯形是指由曲線、直線和數(shù)軸所圍成的平面圖形.2.定積分的概念與定積分的幾何意義定積分的概念設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上有定義，任取分點(diǎn)a=x<x<x<A<x<xTOC\o"1-5"\h\z0 12 n-1 n把區(qū)間［a,b］分成n個(gè)小區(qū)間［x x］(i=1,2A,n)，記為max1<i<max1<i<nAx=x一x(i=1,2,A,n),九\o"CurrentDocument"ii i-1再在每個(gè)小區(qū)間［x,x］上，任取一點(diǎn)E，取乘積f憶)Ax的和式，即i-1i i ii￡f(E)Ax.iii=1如果九T0時(shí)上述極限存在(即這個(gè)極限值與［a,b］的分割及點(diǎn)E的取法均無關(guān))，則i稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上可積，并且稱此極限值為函數(shù)f(x)在［a,b］上的定積分，記做Jbf(x)dx，即aJbf(x)dx=lim工f(g)Ax,iia 尢一0.i=1其中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，［a，b］稱為積分區(qū)間，a與b分別稱為積分下限與積分上限，符號(hào)Jbf(x)dx讀做函數(shù)f(x)從a到b的定a積分．關(guān)于定積分定義的說明：①定積分是特定和式的極限，它表示一個(gè)數(shù).它只取決于被積函數(shù)與積分下限、積分上限，而與積分變量采用什么字母無關(guān)，例如Jn/2sinxdx=Jn/2sintdt，一般地有00Jbf(x)dx=Jbf(t)dtaa②定積分的存在定理：如果f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),則f(x)在［a,b］上可積.定積分的幾何意義設(shè)f(x)在［a,b］上的定積分為Jbf(x)dx，其積分值等于曲線y=f(x)、直線ax=a,x=b和y=0所圍成的在x軸上方部分與下方部分面積的代數(shù)和.3．定積分的性質(zhì)積分對(duì)函數(shù)的可加性，即Jb[f(x)土g(x)dx]=Jbf(x)dx±Jbg(x)dx,a a a可推廣到有限項(xiàng)的情況，即Jb[f(x)±f(x)±A土f(x)]dx=Jbf(x)dx±A±Jbf(x)dx.a12na1an積分對(duì)函數(shù)的齊次性，即Jbkf(x)dx=kJbf(x)dx (k為常數(shù)).aa如果在區(qū)間[a,b]上f(x)三1，貝yJb1dx=b—a.a(積分對(duì)區(qū)間的可加性)如果a<c<b，貝yJbf(x)dx=Jcf(x)dx+Jbf(x)dx.

注意：對(duì)于a,b,c三點(diǎn)的任何其他相對(duì)位置，上述性質(zhì)仍成立，仍有Jbf(x)dx二Jcf(x)dx+fbf(x)dx.a a c(積分的比較性質(zhì))如果在區(qū)間［a,b］上有f(x)<g(x)，則Jbf(x)dx<Jbg(x)dx.aa(積分的估值性質(zhì))設(shè)M與m分別是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值與最小值，則m(b—a)<Jbf(x)dx<M(b—a).a(積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則在區(qū)間［a,b］上至少存在一點(diǎn)E，使得Jbf(x)dx二f(Q(b—a).a4．變上限的定積分(1)變上限的定積分當(dāng)x在［a,b］上變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)x值，積分Jxf(t)dt就有一個(gè)確定的值,aJxf(t)dt因此是變上限的一個(gè)函數(shù)，記作a①(x)二Jxf(t)dt (a<x<b)，a稱函數(shù)①(x)為變上限的定積分.(2)變上限的定積分的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則變上限定積分①(x)=Jxa［a,b］上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，即(a<x<b)．d① (a<x<b)．—"'(x)=—Jxf(t)dt=f(x)dx dxa5．無窮區(qū)間上的廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在［a,+8)上連續(xù)，任取實(shí)數(shù)b>a，把極限limJbf(x)dx稱為函數(shù)f(x)b-+x>a在無窮區(qū)間上的廣義積分，記做

J+8f(x)dx二limJbf(x)dx,a bsa若極限存在,則稱廣義積分J+8f(x)dx收斂;若極限不存在，則稱廣義積分J+8f(x)dxaa發(fā)散．類似地，可定義函數(shù)f(x)在(-8,b上的廣義積分為Jbf(x)dx二limJbf(x)dx.—8> a—y—8>a函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,+8)上的廣義積分為J+8f(x)dx二Jcf(x)dx+J+8f(x)dx,—8 —8 c其中c為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)右端兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)，廣義積分J+8f(x)dx才是收斂的;—8否則廣義積分J+8f(x)dx是發(fā)散的.微積分基本定理(牛頓-萊布尼茨公式)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，如果F(x)是f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，則JbJbf(x)dx二F(x)a二F(b)—F(a)，以上公式稱為微積分基本定理，又稱牛頓-萊布尼茨公式.定積分的計(jì)算(1)定積分的換元法設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，令x=申(t)，則有Jbf(x)dxiz2(t)Jpf叩(t)”(t)dt,aa其中函數(shù)應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：①申(a)=a,申(卩)=b；②p(t)在［a,卩］上單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù);③當(dāng)t在［a,卩］上變化時(shí)，對(duì)應(yīng)x=p(t)值在［a,b］上變化.上述公式稱為定積分換元公式.在應(yīng)用換元x=p(t)公式時(shí)要特別注意：用變換把原來的積分變量x換為新變量t時(shí)，原積分限也要相應(yīng)換成新變量t的積分限，也就是說，換元

的同時(shí)也要換限．原上限對(duì)應(yīng)新上限，原下限對(duì)應(yīng)新下限(2)定積分的分部積分公式設(shè)函數(shù)u(x),v(x)在區(qū)間［a,b］上均有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則JbudvJbudva二(uv)—Jbvdu.a以上公式稱為定積分的分部積分公式，其方法與不定積分類似，但結(jié)果不同，定積分是一個(gè)數(shù)值，而不定積分是一類函數(shù)．偶函數(shù)與奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分設(shè)函數(shù)f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間［—a,a］上連續(xù)，則當(dāng)f當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),f(x)dx二2^af(x)dx,—a 0Jaf(x)dx二0.利用上述結(jié)論，對(duì)奇、偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的定積分計(jì)算帶來方便．二、主要解題方法1．變上限的定積分對(duì)上限的求導(dǎo)方法TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".sinx, ,例1已知F(x)=J v'1+1dt ,求F(x).x2解F(x)二Jsinx\；TT7dt=J^vT^dt+fsindt\o"CurrentDocument"x2 x2 c=—fx dt+fsin.TT7dt,cc\o"CurrentDocument"- |! I1F(x)=—v'1+x2(2x)+、1+sinx-cosx=—2xY1+x2+\-1+sinx?cosx.小結(jié)如果定積分上限是x的函數(shù)，那么利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式對(duì)上限求導(dǎo)；如果定積分的下限是x的函數(shù)，那么將定積分的下限變?yōu)樽兩舷薜亩ǚe分，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式對(duì)上限求導(dǎo)；如果復(fù)合函數(shù)的上限、下限都是x的函數(shù)，那么利用區(qū)間可加性將定積分寫成兩個(gè)定積分的和，其中一個(gè)定積分的上限是x的函數(shù)，另一個(gè)定積分的下限也是x的函數(shù)，都可以化為變上限的定積分來求導(dǎo)．2．利用換元積分法計(jì)算定積分的方法

例2計(jì)算(1)f4 ",dx,o1+屮x(2)J4sec4xtanxdx.0例2計(jì)算(1)f4 ",dx,o1+屮x(2)J4sec4xtanxdx.0解（1）利用換元積分法，注意在換元時(shí)必須同時(shí)換限令T=-Jx,x=T2 dx二2tdt當(dāng)x=0時(shí)，T=0，當(dāng)x=4時(shí)，T=2，于是dx=J2上2TdT=J2[4-2t-—]dTo1+\/xo1+T o 1+TLt—T2-41n|l+t|P=4-41n3.n n(2)J4sec4xtanxdx=J4sec3xd(secx)001=—sec4x4小結(jié)用換元積分法計(jì)算定積分，如果引入新的變量，那么求得關(guān)于新變量的原函數(shù)后，不必回代，直接將新的積分上下限代入計(jì)算就可以了．如果不引入新的變量，那么也就不需要換積分限，直接計(jì)算就可以得出結(jié)果．3．利用分部積分法計(jì)算定積分的方法JBudv=uv|B-JBvdu.A A例3計(jì)算（1）J1arctanxdx，0分部積分公式為2)J；2x|lnxdx.e解(1)J10arctanxdx=xarctanx10-J101+x2—dx=4-2ln(1+x2)0=---ln2.4 2（2）由于在丄，1］上lnx<0；在［l,e2］上lnx>0，所以eJ：2x|lnx|dx=J；(一xlnx)dx+Je2xlnxdxe e

=-11lnxd(9+1 xd與ex2 x2 x2 x2=[一Inx+ ]i+[Inx一]4丄2 4e=-11lnxd(9+1 xd與ex2 x2 x2 x2=[一Inx+ ]i+[Inx一]4丄2 4e11111+ )+(e4一 e4+)4e22e2 4 413

+e4.2 4e241 "4

=1-e21小結(jié)被積函數(shù)中出現(xiàn)絕對(duì)值時(shí)必須去掉絕對(duì)值符號(hào),這就要注意正負(fù)號(hào),有時(shí)需要分段進(jìn)行積分.4．廣義積分的計(jì)算方法例4判別下列廣義積分的斂散性，如果收斂計(jì)算其值.(1)I+gx dx , (2)I3丄 dx.0(1+x2)2 0(x-2)2解(1)因?yàn)榉e分區(qū)間為無窮區(qū)間，所以原式二limIb dx=lim丄Ibd(丄 >=lim[丄]bbT+g0(丄+x2)2 bT+g20(丄+x2)2bT+g2(丄+x2)0=lim[—一丄 +丄]bT+s2(1+b2) 21=2'故所給廣義積分收斂，且其值為2?(2)因?yàn)閤T2時(shí),1Tg，所以x=2為間斷點(diǎn).(x-2)2dx原式二lim12-6161T0+0 (x-2)2+limI362T0+2+62dx(x-2)2lim ]2巧+lim ]3x—20 「T0+x—22+62丄丄 丄=lim[--—]+lim[-1+—]=s,61T0+61 2 -2T0+ 62故廣義積分發(fā)散．小結(jié)由上例可見,對(duì)于積分區(qū)間是有限的積分,首先要判斷是定積分(稱常義積分)

3 d3 dx0(x—2)21 1 3x—23一1-2一2錯(cuò)誤結(jié)果?三、學(xué)法建議i.本章的重點(diǎn)是定積分的概念及幾何意義.牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元積分法與分部積分法．2．學(xué)好本章內(nèi)容，首先要理解定積分的概念，掌握用定積分的思想分析問題解決問題的方法．要深刻理解微積分基本定理：牛頓-萊布尼茨公式。微積分基本定理，一方面揭