《數(shù)學(xué)史》練習(xí)題庫及答案

PAGE6PAGE1《數(shù)學(xué)史論約》試題一、填空1、數(shù)學(xué)史的研究對象是（）；2、數(shù)學(xué)史分期的依據(jù)主要有兩大類，其一是根據(jù)（）來分期，其一是根據(jù)（）來分期；3、17世紀產(chǎn)生了影響深遠的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，它們分別是（）、（）、（）、（）、（）；4、18世紀數(shù)學(xué)的發(fā)展以（）為主線；5、整數(shù)458用古埃及記數(shù)法可以表示為（）。6、研究巴比倫數(shù)學(xué)的主要歷史資料是（），而萊因特紙草書和莫斯科紙草書是研究古代（）的主要歷史資料；7、古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展歷經(jīng)1200多年，可以分為（）時期和（）時期；8、17世紀創(chuàng)立的幾門影響深遠的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，分別是笛卡兒和（）創(chuàng)立了解析幾何，牛頓和（）創(chuàng)立了微積分，（）和帕斯卡創(chuàng)立了射影幾何，（）和費馬創(chuàng)立了概率論，費馬創(chuàng)立了數(shù)論；9、19世紀數(shù)學(xué)發(fā)展的特征是（）精神和（）精神都高度發(fā)揚；10、整數(shù)458用巴比倫的記數(shù)法可以表示為（）。11、數(shù)學(xué)史的研究內(nèi)容，從宏觀上可以分為兩部分，其一是內(nèi)史，即（），其一是外史，即（）；19世紀數(shù)學(xué)發(fā)展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以說明：（1）分析基礎(chǔ)嚴密化和（），（2）（）和射影幾何的完善，（3）群論和（）；13、20世紀數(shù)學(xué)發(fā)展“日新月異，突飛猛進”，其顯著趨勢是：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)公理化，數(shù)學(xué)發(fā)展整體化，（）的挑戰(zhàn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)異軍突起，數(shù)學(xué)傳播與（）的社會化協(xié)作，（）的導(dǎo)向；14、《九章算術(shù)》的內(nèi)容分九章，全書共（）問，魏晉時期的數(shù)學(xué)家（）曾為它作注；15、整數(shù)458用瑪雅記數(shù)法可以表示為（）。16、數(shù)學(xué)史的研究對象是數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史，既要研究其（歷史進程），還要研究其（）；17、古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派有泰勒斯學(xué)派、（畢達哥拉斯學(xué)派）、（厄利亞學(xué)派）、巧辯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、歐多克索學(xué)派和（）；18、阿拉伯數(shù)學(xué)家（）在他的著作（）中，系統(tǒng)地研究了當時對一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世紀數(shù)學(xué)發(fā)展的特點，可以用以下三方面的典型成就加以說明：（1）（）和復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立；（2）非歐幾里得幾何學(xué)問世和（）；（3）在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域（）與非交換代數(shù)的誕生。20、整數(shù)458用古印度記數(shù)法可以表示為（）。選擇數(shù)學(xué)史的研究對象是（）；A、數(shù)學(xué)學(xué)科知識B、歷史學(xué)科知識C、數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史2、中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以（）為基礎(chǔ)，以算為主，寓理于算；A、算籌B、籌算C、珠算3、阿爾-花拉子模稱為“平方和根等于數(shù)”的方程形如（）；A、X2+2X=3B、X2+2=3XC、X2=2X+34、《九章算術(shù)》的作者（）；A、是劉徽B、是楊輝C、不可詳考5、柯西把分析學(xué)的基礎(chǔ)建立在（）之上。A、導(dǎo)數(shù)論B、極限論C、集合論三、解釋古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派阿拉伯數(shù)學(xué)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方程術(shù)印度數(shù)學(xué)6、《幾何原本》7、阿爾-花拉子模8、牟合方蓋9、籌算10、不可分量原理大衍求一術(shù)12、超實數(shù)域13．巴比倫楔形文字泥板14．《海島算經(jīng)》。15．窮竭法原理16．開方術(shù)四、求解用幾何直觀的方法證明：正五邊形的邊與其對角線不可以公度。以X2+8X=84為例，說明阿爾-花拉子模求解一元二次方程正根的方法，并給出相應(yīng)的幾何釋意。3．以為例，說明泰塔格利亞和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。4.曲邊四邊形由XY=k（k0），X=2，Y=0，X=8所圍成，試用不可分量原理求該曲邊四邊形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積。5、用古希臘的“幾何代數(shù)法”求解一元二次方程X2–6X–16=0；6.用秦九韶的“大衍求一術(shù)”求解一次同余式組：N1（mod7）2（mod8）3（mod9）7.用幾何直觀的方法證明：正方形的邊與其對角線不可以公度。8.用古希臘的“幾何代數(shù)法”求解并給出相應(yīng)的幾何釋意。五、注釋1、“對于給定的兩個數(shù)分別加上某個數(shù)，使它們成為兩個平方數(shù)?！盵丟番圖方法]用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號可以表示為：丟番圖的解題方法是：??；構(gòu)成差3-2=1；取兩數(shù)積等于該差：；設(shè)；解得。要求：分析丟番圖解法的要點，并論證其合理性。2、《張丘建算經(jīng)》卷上第23問：“今有女善織日益功疾初日織五尺今一月日織九匹三丈問日益幾何答曰五寸二十九分寸之十五術(shù)曰置今織尺數(shù)以一月日而一所得倍之又倍初日尺數(shù)減之余為實以一月日數(shù)初一日減之余為法實如法而一”將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語，注釋題文、術(shù)文，論述其造術(shù)原理。3、“求四個數(shù)，使這四個數(shù)之和的平方加上或減去這四個數(shù)中的任意一個數(shù)，所得的仍然是一個平方數(shù)?！盵丟番圖解法]取四組數(shù)（65，52，39）、（65，56，33）、（65，60，25）、（65，63，16），令將x1=40562代入，解得，故(j=1、2、3、4)可求得。要求：分析丟番圖解法的要點，并說明其合理性?！敖裼腥顺置壮鋈P(guān)外關(guān)三而取一中關(guān)五而取一內(nèi)關(guān)七而取一余米五斗問持米幾何答曰十斗九升八分升之三術(shù)曰置米五斗以所稅者三之五之七之為實以余不稅者二之四之六之為法實如法而一”要求：將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語，論述其造術(shù)原理。5、“已知一個數(shù)為兩個平方數(shù)之和，把它分成另外兩個平方數(shù)之和?！盵丟番圖解法]x2+y2=m2+n2取13=22+32，令x2=(+2)2，y2=(2-3)2，由(+2)2+(2-3)2=13，解得=8/5，故x2=324/25，y2=1/25。要求：分析丟番圖的解法原理，并探討其解法的變化；6、“今有與人錢初一人與三錢次一人與四錢次一人與五錢以次與之轉(zhuǎn)多一錢與訖還斂聚與均分之人得一百錢問人幾何答曰一百九十五人術(shù)曰置人得錢數(shù)以減初錢數(shù)余倍之以轉(zhuǎn)多錢數(shù)加之得人數(shù)”要求：將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語，分析其造術(shù)原理。7．如圖，取KL上任一點Z，使，由于NO非常小，設(shè)，則有(1)有，即；類似地，可以得到曲邊四邊形面積(2)要求：用上例說明巴羅已經(jīng)認識到微分與積分的互逆關(guān)系。8、《九章算術(shù)》均輸?shù)?6問“今有客馬日行三百里?？腿ネ忠拢找讶种?，主人乃覺。持衣追及與之而還，至家視日四分之三。問主人馬不休，日行幾何。答曰：七百八十里。術(shù)曰：置四分日之三，除三分日之一，半其余以為法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，為實。實如法得主人馬一日行?！币螅簩㈩}文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語，注釋題文、術(shù)文，論述其造術(shù)原理。《數(shù)學(xué)史論約》復(fù)習(xí)題參考答案一、填空（22分）1、數(shù)學(xué)史的研究對象是（數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史），既要研究其歷史進程，還要研究其（一般規(guī)律）；2、數(shù)學(xué)史分期的依據(jù)主要有兩大類，其一是根據(jù)（數(shù)學(xué)學(xué)科自身的研究對象、內(nèi)容結(jié)構(gòu)、知識領(lǐng)域的演進）來分期，其一是根據(jù)（數(shù)學(xué)學(xué)科所處的社會、政治、經(jīng)濟、文化環(huán)境的變遷）來分期；3、17世紀產(chǎn)生了影響深遠的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，它們分別是（解析幾何）、（微積分）、（射影幾何）、（概率論）、（數(shù)論）；4、18世紀數(shù)學(xué)的發(fā)展以（微積分的深入發(fā)展）為主線；5、整數(shù)458用古埃及記數(shù)法可以表示為（）。6、研究巴比倫數(shù)學(xué)的主要歷史資料是（契形文字泥板），而萊因特紙草書和莫斯科紙草書是研究古代（埃及數(shù)學(xué)）的主要歷史資料；7、古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展歷經(jīng)1200多年，可以分為（古典）時期和（亞歷山大里亞）時期；8、17世紀創(chuàng)立的幾門影響深遠的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，分別是笛卡兒和（費馬）創(chuàng)立了解析幾何，牛頓和（萊布尼茨）創(chuàng)立了微積分，（笛沙格）和帕斯卡創(chuàng)立了射影幾何，（帕斯卡）和費馬創(chuàng)立了概率論，費馬創(chuàng)立了數(shù)論；9、19世紀數(shù)學(xué)發(fā)展的特征是（創(chuàng)造）精神和（嚴格）精神都高度發(fā)揚；10、整數(shù)458用巴比倫的記數(shù)法可以表示為（）。11、數(shù)學(xué)史的研究內(nèi)容，從宏觀上可以分為兩部分，其一是內(nèi)史，即（數(shù)學(xué)內(nèi)在學(xué)科因素促使其發(fā)展），其一是外史，即（數(shù)學(xué)外在的似乎因素影響其發(fā)展）；19世紀數(shù)學(xué)發(fā)展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以說明：（1）分析基礎(chǔ)嚴密化和（復(fù)變函數(shù)論創(chuàng)立），（2）（非歐幾里得幾何學(xué)問世）和射影幾何的完善，（3）群論和（非交換代數(shù)誕生）；13、20世紀數(shù)學(xué)發(fā)展“日新月異，突飛猛進”，其顯著趨勢是：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)公理化，數(shù)學(xué)發(fā)展整體化，（電子計算機）的挑戰(zhàn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)異軍突起，數(shù)學(xué)傳播與（研究）的社會化協(xié)作，（新理論）的導(dǎo)向；14、《九章算術(shù)》的內(nèi)容分九章，全書共（246）問，魏晉時期的數(shù)學(xué)家（劉徽）曾為它作注；15、整數(shù)458用瑪雅記數(shù)法可以表示為（）。16、數(shù)學(xué)史的研究對象是數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史，既要研究其（歷史進程），還要研究其（一般規(guī)律）；17、古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派有泰勒斯學(xué)派、（畢達哥拉斯學(xué)派）、（厄利亞學(xué)派）、巧辯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、歐多克索學(xué)派和（亞里士多德學(xué)派）；18、阿拉伯數(shù)學(xué)家（阿爾-花拉子模）在他的著作（《代數(shù)學(xué)》）中，系統(tǒng)地研究了當時對一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世紀數(shù)學(xué)發(fā)展的特點，可以用以下三方面的典型成就加以說明：（1）（分析基礎(chǔ)嚴密化）和復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立；（2）非歐幾里得幾何學(xué)問世和（射影幾何的完善）；（3）在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域（群論）與非交換代數(shù)的誕生。20、整數(shù)458用古印度記數(shù)法可以表示為（）。二、選擇題數(shù)學(xué)史的研究對象是（C）；A、數(shù)學(xué)學(xué)科知識B、歷史學(xué)科知識C、數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史2、中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以（B）為基礎(chǔ)，以算為主，寓理于算；A、算籌B、籌算C、珠算3、阿爾-花拉子模稱為“平方和根等于數(shù)”的方程形如（A）；A、X2+2X=3B、X2+2=3XC、X2=2X+34、《九章算術(shù)》的作者（C）；A、是劉徽B、是楊輝C、不可詳考5、柯西把分析學(xué)的基礎(chǔ)建立在（B）之上。A、導(dǎo)數(shù)論B、極限論C、集合論三、解釋（28分）古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派——公元前6世紀~公元前3世紀，是古希臘的古典時期，當時的哲學(xué)家也是數(shù)學(xué)家，先后形成以一兩位杰出人物為中心的組織，開展學(xué)術(shù)、或政治、或宗教活動，這類組織被稱為古希臘哲學(xué)學(xué)派，亦即古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派。他們相繼是泰勒斯學(xué)派、畢達哥拉斯學(xué)派、厄利亞學(xué)派、巧辯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、歐多克索學(xué)派和亞里士多德學(xué)派，他們?yōu)槌醯葦?shù)學(xué)的開創(chuàng)作出重要貢獻。阿拉伯數(shù)學(xué)——公元8世紀~15世紀，在中東、北非和西班牙等地的伊斯蘭國家，以阿拉伯文字書寫為主的數(shù)學(xué)著作所代表的數(shù)學(xué)；為阿拉伯數(shù)學(xué)作出貢獻的人，不止于阿拉伯人，還有希臘人、波斯人、猶太人、甚至有基督徒。阿拉伯數(shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)史上有承前啟后的作用，有人稱之為歐洲近代數(shù)學(xué)的“繼父”。阿拉伯數(shù)學(xué)的興衰經(jīng)歷了8~9世紀的初創(chuàng)、9~13世紀的興盛、14世紀以后外傳三個階段。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)——從遠古到明代，在中國獨立產(chǎn)生、發(fā)展起來的數(shù)學(xué)知識體系。它以籌算為基礎(chǔ)，以算為主，寓理于算，廣泛應(yīng)用。它有明顯的算法化、模型化、程序化、機械化的特征。方程術(shù)——載于《九章算術(shù)》卷八方程章，按現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點，方程術(shù)是指多元線性方程組的求解方法。方程術(shù)采用線性方程組系數(shù)的增廣矩陣，通過“遍乘”、“直除”的方法，即矩陣的初等行變換，將矩陣化為三角陣，逐一求解各變量的值。這種方法與19世紀德國數(shù)學(xué)家高斯的方法完全一致，只是矩陣的書寫是豎式，轉(zhuǎn)置后與現(xiàn)代的表達完全一樣。而且，3世紀的劉徽在注釋方程術(shù)時，還明確指出方程組有解的條件，即“行之左右無所同存，且為有所據(jù)而言耳。”印度數(shù)學(xué)——6世紀—12世紀，印度文明古國的數(shù)學(xué)與歷法都受婆羅門宗教的影響而發(fā)展起來，同阿拉伯、中國都有來往，但記載不詳。在印度ganita(計算）載于宗教書，年代不詳，公元后該字被分為Pati-ganita(算術(shù))，Bija-ganita(代數(shù))，Krestra-ganita(幾何)?！耙蛎鳌彼婆c邏輯學(xué)同義，與數(shù)學(xué)關(guān)系不明，古希臘似的幾何論證并不發(fā)展，先進的十進位值制，使用記號的代數(shù)卻發(fā)展起來。這個時期有著名的數(shù)學(xué)家：Arya-Bhatta（476~550）阿利阿伯哈塔Brahmagupta（598~660）婆羅摩及多“梵藏”Bhaskara—Acharya（1114~1185）婆什迦羅6、《幾何原本》——公元前3世紀，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的巨著。版本：目前可見最早的是888年希臘文抄本，最早的中譯本是1607年徐光啟筆譯，后來1857年李善蘭續(xù)中譯本，1925年T.LHeath英譯本比較權(quán)威，1990年有中譯本。內(nèi)容：原版13卷，后人有擴充成15卷的版本。13卷的內(nèi)容包括：[1]直線形，[2]幾何代數(shù)法，[3]圓，[4]多邊形，[5]比例論[6]相似形，[7][8][9]數(shù)論，[10]不可公度比，[11]立體圖形，[12]求積術(shù)，[13]正多面體；這些數(shù)學(xué)知識可以追溯到古希臘古典時期的數(shù)學(xué)學(xué)派，乃至巴比倫和古埃及。特征：1．大量引用古希臘古典時期數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)成就；2．采用獨特的編寫方式：先給出定義，公設(shè)，公理，再由簡到繁，由易到難地證明一系列命題；首次用公理化方法建立數(shù)學(xué)知識邏輯演繹體系，成為后世西方數(shù)學(xué)的典范。7、阿爾-花拉子模——(約780~840，一說850)(A-Khowarizmi，MohammedibnMusa)曾擔任巴格達“智慧宮”的主持人，著有《代數(shù)學(xué)》、《Al-jabrW`almuqabala》《Algebra》，意為“復(fù)原”與“化簡”；其中，討論一元一次、二次方程求解：用“數(shù)”、“根”、“平方”分別表示：常數(shù)、x、x2，研究以下形式的方程：ax2=bxax2=cbx=cax2=bx+cax2+bx=cax2+c=bx譬如x2+10x=39稱之為“平方和根等于數(shù)”型，對于每一種方程給出解法，求出“根”和“平方”兩個結(jié)果，但是一般只有正根，另外給出幾何“證明”，以示其解法的合理性。8、牟合方蓋——一個正方體用它的兩個中心軸線互相垂直的內(nèi)切圓柱貫穿，所得到的相貫體；它是公元3世紀的劉徽在注“開立圓術(shù)”時提出的概念，并認識到它與其內(nèi)切球的體積之比為4：，但是不會計算它的體積；6世紀的祖暅用“緣冪勢既同，則積不容異”的原理，求出了它的體積，進而求出了球體積。9、籌算——在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，把生產(chǎn)、生活中的實際問題轉(zhuǎn)換成一定的數(shù)學(xué)模型，采用算籌表示數(shù)，按照特定“術(shù)文”進行運算，從而解決實際問題。籌算具有明顯的算法化、模型化、程序化、機械化的特征?；I算以算為主，寓理于算，廣泛應(yīng)用。10、不可分量原理——意大利數(shù)學(xué)家Cavalieri，F(xiàn)rancescoBonaventure（1598~1647）在《用新的方法推進連續(xù)體的不可分量的幾何學(xué)》（1635）提出“不可分量原理”：線段是無數(shù)個等距點構(gòu)成，面積是無數(shù)個等距平行線段構(gòu)成，體積是無數(shù)個等距平行平面構(gòu)成，這些點、線段、平面是長度、面積、體積的“不可分量”。Cavalieri利用這種“不可分量”，進行長度、面積、體積的計算及其相關(guān)的推理，但是，他未能對“不可分量”作出嚴格的論述。數(shù)學(xué)家們對此褒貶不一。1644年，Cavalieri本人發(fā)現(xiàn)了關(guān)于“不可分量”的悖論。大衍求一術(shù)——“大衍求一術(shù)”起源于5世紀的《孫子算經(jīng)》卷下第26問“物不知其數(shù)”，世紀秦九韶的《數(shù)書九章》（1247年）總結(jié)出該算法，現(xiàn)在國際上稱之為“中國剩余定理”。秦九韶的工作可以用現(xiàn)代數(shù)學(xué)術(shù)語表示如下：對于一般的一次同余式組NRi(modAi)i=1,2,3,…n，給出“大衍總數(shù)術(shù)”，它包括兩部分：1）將{Ai}，化為{ai}，使(ai,aj)=1,ij，得到等價問題NRi(modai)i=1,2,3,…n；此為化“問數(shù)”為“定數(shù)”。2）求解ki×gi1(modai)i=1,2,3,…n；得到ki。從而，N=RiKi(M/ai)-pM，i=1,2,3,…n；其中M=ai，giai，為mI=M/aI累減ai所得余，p為適當?shù)姆秦撜麛?shù)，使NM；此為“大衍求一術(shù)”。12、超實數(shù)域——在美國數(shù)學(xué)家Robinson，Abraham（1918~1974）創(chuàng)立非標準分析中，假設(shè)存在實數(shù)域R的一個有序域正真擴張R*，R*的元素稱之為超實數(shù)。若xR*，r0rR，有|x|r，則x稱為無窮?。蝗魓、yR*，x-y是無窮小，則x、y為無限接近，記為xy。對于每一個有限超實數(shù)x，存在唯一實數(shù)r，使rx，則這個唯一的r為x的標準部分，記為r=St(x)。xR*，在r=St(x)周圍有與x相差為無窮小的單子的集合。在此基礎(chǔ)之上，建立超實數(shù)域上的微積分，把無窮小作為一個邏輯實體，又有求標準部分的方法，為微積分的運算和推理帶來了方便。13．巴比倫楔形文字泥板——現(xiàn)在我們研究巴比倫數(shù)學(xué)知識的積累最可靠的資料，它是用截面呈三角形的利器作筆，在將干而未干的膠泥板上斜刻寫而成的，由于字體為楔形筆畫，故稱之為楔形文字泥板書。從19世紀前期至今，相繼出土了這種泥板有50萬塊之多。其中，大約有300至400塊是數(shù)學(xué)泥板，數(shù)學(xué)泥板中又以數(shù)表居多，據(jù)推測這些數(shù)表是用來運算和解題的。這些古老的泥板，現(xiàn)在散藏于世界各地許多博物館內(nèi)，并且被一一編號。在這些泥板書中，記錄了巴比倫人當時的數(shù)學(xué)成就。14．《海島算經(jīng)》——劉徽注釋《九章算術(shù)》勾股之后，感到意猶未盡，又自撰了九問附于勾股之后，皆為重差術(shù)之題。因此，有的《九章算術(shù)》版本把它作為第十章，稱為重差。后來，還是將它獨立出來成為《海島算經(jīng)》。15．窮竭法原理——如果從任何量中減去不小于其一半的量，從余下的量中再減去不小于其一半的量，如此類推，那么最后余下的量將小于任何事先給定的同類量。16．開方術(shù)——最早載于《九章算術(shù)》少廣第12問的開平方術(shù)，還有開帶從平方，以及開立方和開帶從立方術(shù)，后來又演變成增乘開方法，可以開任意次方，并且算法規(guī)范，人們都認為，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“開方術(shù)”與高次方程數(shù)值解相關(guān)。四、求解（24分）用幾何直觀的方法證明：正五邊形的邊與其對角線不可以公度。解：abr3r1r2b=a+r1，a=r1+r2，r1=r2+r3，r2=r3+r4，······，rn=rn+1+rn+2······，只有當rn=0時，a與b才能公度，而這是不可能的。以X2+8X=84為例，說明阿爾-花拉子模求解一元二次方程正根的方法，并給出相應(yīng)的幾何釋意。解：[解法步驟]_______________________8/2(8/2)2(8/2)2+84(8/2)2+84(8/2)2+84-(8/2)10–4=662=364x424x424x4x4xx24xx23．以為例，說明泰塔格利亞和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。泰塔格利亞的解法：設(shè)，則有對于這個方程組用巴比倫人的方法可以求解：即可求出，開立方后，即得?？ǖさ墓ぷ鳎河米儞Q，化為型三次方程，再用泰塔格利亞的方法求解，此后他還對這種方法給出了幾何證明。如圖，考慮兩個正方體AE，CL，其體積之差值為20。若令A(yù)C×CK=2，能作出BC=CK，則AB=AC-BC為所求。為此，在正方體AE中劃分出正方體DC，使VDC=VCL，于是產(chǎn)生以下分割：VDC=BC3，VDF=AB3，VDE=BC×AB2，VDA=AB×BC2，VAE=AC3，BC3=CK3。由圖，可見AC3-BC3=3VDA+3VDE+VDF(1)由于AC×CK=2，所以AC×3CK=6，即有AB×AC×3CK=6AB，3AB×AC×BC=6AB(2)而AB×AC×BC=VDA+VDE，所以6AB=3AB×AC×BC=3×DA+3×DE(3)將(3)代入(1)得AC3-BC3=6AB+VDF，即有AB3+6AB=20，故AB=AC-BC．4.曲邊四邊形由XY=k（k0），X=2，Y=0，X=8所圍成，試用不可分量原理求該曲邊四邊形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積。解:__取OA=22k,任取垂直于y軸的截面MN，可有：S側(cè)=2·OL·LM=2k·，S截=·(OA/2)2=2k·；一一對應(yīng)，兩兩相等，由不可分量原理，得V=2k·m·。5、用古希臘的“幾何代數(shù)法”求解一元二次方程X2–6X–16=0；解：將方程化為X2–6X–42=0；如圖，取AB=6，AP=PB，作BC垂直于AB，取BC=4，以P為圓心，以PC為半徑，劃弧，交AB的延長線于D，則有向線段AD或DB為所求的解。用秦九韶的“大衍求一術(shù)”求解一次同余式組：N1（mod7）2（mod8）3（mod9）解：求“定數(shù)”：789a1=7a2=8aa1a2a3為Ai的最小公倍數(shù)，且ai|AN1(mod7)2(mod8)3(mod9)求“衍母”：M=7×8×9=504求“衍數(shù)”：m1=72m2求“奇數(shù)”：g1=2g2=7求“乘率”：k1×21(mod7)k2×71(mod8)k3×21(mod9)k1=4k2=7k3=5求“泛用”：k1m1=288k2m2=441故得N1×288+2×441+3×280(mod7×8×9)N=2010-3×504=498．用幾何直觀的方法證明：正方形的邊與其對角線不可以公度。如上圖，正方形ABDC的邊，對角線，由A作∠BAD的平分線交BD于E，過E作EB′⊥AD，交AD于B′，過E作∠B′ED的平分線交B′D于E′，過E′作E′B"⊥BD，交BC于B"，過E′作∠B"E′D的平分線交B"D于E"，BE=r1，B′E′=r2。通過簡單的幾何證明，就可以得到如下的關(guān)系式：，其中的rn可以無窮無盡地寫下去，所以正方形的邊與對角線之比成為不可公度比，即無法找到一個單位能夠分別把和量盡。用古希臘的“幾何代數(shù)法”求解并給出相應(yīng)的幾何釋意。如圖，設(shè)，即解方程。滿足。五、注釋（26分）1、“對于給定的兩個數(shù)分別加上某個數(shù)，使它們成為兩個平方數(shù)?！盵丟番圖方法]用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號可以表示為：丟番圖的解題方法是：??；構(gòu)成差3-2=1；取兩數(shù)積等于該差：；設(shè)；解得。要求：分析丟番圖解法的要點，并論證其合理性。[分析]上面我們看到的是不定方程，如何求解？上述解法合理嗎？我們知道解方程一般原理是消元、降次，但是丟番圖是如何消元、降次的呢，他確實是很有講究的。[評論]我們不妨設(shè)，?。涣?，則；得。關(guān)鍵在于。2、《張丘建算經(jīng)》卷上第23問：“今有女善織日益功疾初日織五尺今一月日織九匹三丈問日益幾何答曰五寸二十九分寸之十五術(shù)曰置今織尺數(shù)以一月日而一所得倍之又倍初日尺數(shù)減之余為實以一月日數(shù)初一日減之余為法實如法而一”將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語，注釋題文、術(shù)文，論述其造術(shù)原理。[譯文]今有一女子善長織布，一天比一天快。第一天織5尺，一個月織9匹3丈。問：她每天比前一天多織多少？答：5寸15/29寸。[解法]（9匹3丈/30）2，5尺2，（9匹3丈/30）2-5尺2，30–1，[（9匹3丈/30）2-5尺2]/（30-1）[造術(shù)原理]按現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點，這是關(guān)于等差數(shù)列的問題。已知：首項a1，前n項的和Sn，求：公差d；解法：Sn=[（a1+an）n]/2，而an=a1+（n-1）d，Sn=[（a1+a1+（n-1）d）]/2，d=（Sn2-2a1）/（n-1）這與以上解法的表達完全一樣，可見中國古代數(shù)學(xué)中已經(jīng)有關(guān)于等差數(shù)列的求解問題。3、“求四個數(shù)，使這四個數(shù)之和的平方加上或減去這四個數(shù)中的任意一個數(shù)，所得的仍然是一個平方數(shù)?！盵丟番圖解法]取四組數(shù)（65，52，39）、（65，56，33）、（65，60，25）、（65，63，16），令將x1=40562代入，解得，故(j=1、2、3、4)可求得。要求：分析丟番圖解法的要點，并說明其合理性。[分析]丟番圖解法的合理性，關(guān)鍵在于巧妙地取了四組勾股數(shù)。在直角三角形中，斜邊與兩直角邊有，故能滿足。所以，能確保結(jié)論的正確。“今有人持米出三關(guān)外關(guān)三而取一中關(guān)五而取一內(nèi)關(guān)七而取一余米五斗問持米幾何答曰十斗九升八分升之三術(shù)曰置米五斗以所稅者三之五之七之為實以余不稅者二之四之六之為法實如法而一”要求：將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語，論述其造術(shù)原理。[譯文]今有一人帶米出關(guān)，外關(guān)收取所帶米的三分之一，中關(guān)收取五分之一，內(nèi)關(guān)收取七分之一，最后剩米五斗。問：原帶米多少？答：10斗9升3/8升。[解法]5斗357，246，（5斗357）/（246）[造術(shù)原理]按現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點，可以列方程如下：設(shè)原帶米x，則有：x（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）=5斗即：x（2/3）（4/5）（6/7）=5斗x=（5斗357）/（246）