吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)區(qū)師范高中、實(shí)驗(yàn)高中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)區(qū)師范高中、實(shí)驗(yàn)高中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.2．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為A. B.C. D.3．在空間中，“直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)與異面”的（）A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A. B.C. D.5．橢圓＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF的面積是20，則直線(xiàn)AB的斜率為（）A. B.C. D.6．《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A. B.C. D.7．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的正切值為A. B.C. D.8．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、都有，記，，，則（）A. B.C. D.10．總體有編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取3個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第3個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.1411．已知雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或2312．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.13 B.39C.45 D.21二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)命題：，，則為_(kāi)_____.14．已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比q為正整數(shù)，若，，且是正整數(shù)，則______15．無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：只要必有則稱(chēng)為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”.已知為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，且前四項(xiàng)成等比數(shù)列，，則=_________.16．如圖，在矩形中，，，將沿BD所在的直線(xiàn)進(jìn)行翻折，得到空間四邊形.給出下面三個(gè)結(jié)論：①在翻折過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得；②在翻折過(guò)程中，三棱錐的體積不大于；③在翻折過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得異面直線(xiàn)與所成角45°.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求在處的切線(xiàn)方程；（2）求在上的最大值與最小值18．（12分）已知橢圓E：的離心率，且右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線(xiàn)，過(guò)原點(diǎn)，若，證明：四邊形的面積為定值.19．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.（1）若，，，求邊長(zhǎng)c；（2），，，求角C.20．（12分）已知函數(shù)，且a0（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：21．（12分）自疫情爆發(fā)以來(lái)，由于黨和國(guó)家對(duì)抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國(guó)抗疫工作取得階段性成功，國(guó)家經(jīng)濟(jì)很快得到復(fù)蘇.在餐飲業(yè)恢復(fù)營(yíng)業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計(jì)了近天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)，將前天的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數(shù)頻率第組第組第組第組第組合計(jì)（1）求、、的值，并估計(jì)該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）已知該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的方差為，在后天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為、方差為，估計(jì)這家快餐店這天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.（）22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，，故選：B2、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程知，，故選A.3、A【解析】由于在空間中，若直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與平行或異面，再根據(jù)充分、必要條件的概念判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】在空間中，若直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與平行或異面.故“直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)與異面”的必要不充分條件.故選：A.4、D【解析】由已知條件求出公比的平方，然后利用即可求解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列滿(mǎn)足，，所以，所以，故選：D.5、A【解析】分情況討論當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，可求面積，檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足條件，當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程y＝kx，聯(lián)立橢圓方程，可求△ABF2的面積為S＝2代入可求k【詳解】由橢圓＝1，則焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)①當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x＝0，此時(shí)AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設(shè)直線(xiàn)AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故選：A6、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過(guò)西游記人數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題7、C【解析】利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線(xiàn)與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線(xiàn)與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.【點(diǎn)睛】求異面直線(xiàn)所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線(xiàn)中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線(xiàn)的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€(xiàn)夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線(xiàn)所成角的余弦值.8、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過(guò)來(lái)，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.9、A【解析】由題，可得是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，由題，得，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，因此，，，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小的問(wèn)題，其中涉及到構(gòu)造函數(shù)的運(yùn)用.10、D【解析】由隨機(jī)數(shù)表法抽樣原理即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，依次讀出的數(shù)據(jù)為65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三個(gè)個(gè)體編號(hào)為14.故選：D.11、D【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義知，，而，所以或故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的定義及其應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線(xiàn)的定義，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，【解析】由全稱(chēng)命題的否定即可得到答案【詳解】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定，可得為，【點(diǎn)睛】本題考查了含有量詞的命題否定，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】由已知等差、等比數(shù)列以及，，是正整數(shù)，可得，結(jié)合q為正整數(shù)，進(jìn)而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數(shù)，有，又為正整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得不是正整數(shù)，故答案為：15、7578【解析】根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，∴，又，為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，∴，，，，…，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4∴故答案為：757816、②③【解析】在矩形中，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足分別為，對(duì)于①，連接，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得，則可得到，進(jìn)而得矛盾，可判斷；對(duì)于②在翻折過(guò)程中，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，再根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算即可；對(duì)于③，由題知，，設(shè)平面與平面所成的二面角為，進(jìn)而得，進(jìn)而得異面直線(xiàn)與所成角的余弦值的范圍為，即可判斷.【詳解】解：如圖1，在矩形中，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足分別為，則在在翻折過(guò)程中，形成如圖2的幾何體，故對(duì)于①，連接，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得，由于，，所以平面，所以，這與圖1中的與不垂直矛盾，故錯(cuò)誤；對(duì)于②在翻折過(guò)程中，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，此時(shí)，體積為，故三棱錐的體積不大于，故正確；對(duì)于③，，，由②的討論得，所以，所以，設(shè)翻折過(guò)程中，平面與平面所成的二面角為，所以，故，由于要使直線(xiàn)與為異面直線(xiàn)，所以，所以，所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值的范圍為，由于，所以在翻折過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得異面直線(xiàn)與所成角為45°.故答案為：②③三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2），【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出，，運(yùn)用點(diǎn)斜式即可求出切線(xiàn)方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，即可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值【小問(wèn)1詳解】，，，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)?，所以與同號(hào)，令則，由，得，此時(shí)為減函數(shù)，由，得，此時(shí)為增函數(shù)，則，故，在單調(diào)遞增，所以，18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)設(shè)，代入，利用韋達(dá)定理，通過(guò)，結(jié)合，轉(zhuǎn)化求解即可【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】設(shè)，設(shè)，代入，得，∵，∴，，∵，得，即，解得，∵，且，又，，整理得，∴為定值19、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)余弦定理可求得答案；（2）根據(jù)正弦定理和三角形的內(nèi)角和可求得答案.【小問(wèn)1詳解】解：由余弦定理得：，所以.【小問(wèn)2詳解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，又因?yàn)椋?，所以或即?20、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)，求解可得導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問(wèn)題得證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】（i）由已知可得方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根記，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是減函數(shù)，所以，故（ii）易知，當(dāng)x1時(shí)，，故．由（1）可知，當(dāng)0x1時(shí)，，所以2lnxx?由，得，所以因?yàn)?，所?1、（1），，，平均數(shù)為；（2）平均數(shù)為，方差為.【解析】（1）計(jì)算出第組的頻數(shù)，可求得的值，利用頻數(shù)、頻率和總數(shù)的關(guān)系可求出的值，求出第組的頻率，除以組距可得的值，利用平均數(shù)公式可求得該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）設(shè)前天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，后天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，利用平均數(shù)公式和方差公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：由表可知第組的頻數(shù)為，所以，，，第組的頻率為，，前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)