湘教版（2023）必修第二冊 2.3簡單的三角恒等變換 課件+學(xué)案（共6份打包）

第第頁湘教版（2023）必修第二冊2.3簡單的三角恒等變換課件+學(xué)案（共6份打包）第1課時半角公式

教材要點

要點一半角公式

狀元隨筆巧記“半角公式”

無理半角常戴帽，象限確定帽前號；

數(shù)1余弦加減連，角小值大用加號．

“角小值大用加號”即y＝1＋cosα(α是銳角)是減函數(shù)，角小值大，因此用“＋”號，而y＝1－cosα為增函數(shù)，角大值大，因此用“－”號．

要點二萬能公式

sinα＝，cosα＝，tanα＝.

狀元隨筆(1)萬能公式是恒等式，只要使等式兩邊都有意義的角都成立．

(2)萬能公式的“萬能”在于它能將角α的所有三角函數(shù)值用tan來表示，是處理三角函數(shù)問題的一個重要公式．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)cos＝.()

(2)存在α∈R，使得cos＝cosα.()

(3)對于任意α∈R，sin＝sinα都不成立．()

(4)若α是第一象限角，則tan＝.()

2．sin＝()

A．B．

C．2－D．

3．若cosα＝，且α∈(0，π)，則cos的值為()

A．B．－

C．±D．±

4．已知sinx＝＜x＜π，則tan＝________．

題型1半角公式的應(yīng)用

例1已知cosα＝，α為第四象限角，求sin，cos，tan.

方法歸納

利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系．

(2)明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號作準(zhǔn)備．

(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常利用tan＝＝計算，涉及半角公式的正、余弦值時，常利用sin2＝，cos2＝計算．

(4)下結(jié)論：結(jié)合(2)求值．

跟蹤訓(xùn)練1已知sinα＝－，π＜α＜，則sin＝________，cos＝________．

題型2萬能公式的應(yīng)用

例2若cosα＝－，α是第三象限角，則＝()

A．－B．

C．2D．－2

方法歸納

利用萬能公式求得tan，這是解題的關(guān)鍵．

跟蹤訓(xùn)練2若tanα＝－，則sin＝________．

題型3三角恒等式的證明

例3求證：＝sin2α.

方法歸納

三角恒等式證明的思路

通過觀察分析等式兩端的結(jié)構(gòu)，從兩端角的差異、三角函數(shù)名稱及結(jié)構(gòu)的差異入手，尋求證明途徑，左右歸一；或消除等式兩端的差異，達(dá)到形式上的統(tǒng)一．

跟蹤訓(xùn)練3求證：－tanθ·tan2θ＝1.

易錯辨析忽視角的范圍，錯選公式致誤

例4已知sinα＝－，則tan＝________.

解析：因為sinα＝－，所以cosα＝±.

若cosα＝，則tan＝＝＝－；

若cosα＝－，則tan＝＝＝－2.

答案：－或－2

易錯警示

易錯原因糾錯心得

由半角公式tan＝＝可知，tan和sinα的符號相同．本題若直接運用半角公式tan＝±就會得到下面的錯解：因為sinα＝－，所以cosα＝±.若cosα＝，則tan＝±＝±＝±；若cosα＝－，則tan＝±＝±＝±2.在已知α的某個三角函數(shù)值求tan時，直接運用tan＝＝可回避運用公式tan＝±時對“±”的取舍問題．在解決有關(guān)三角函數(shù)求值問題時，不同的思路與方法求出的值可能不同，但最終結(jié)果應(yīng)該是相同的，因此靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的公式是解決此類題目的關(guān)鍵．

課堂十分鐘

1．已知180°＜α＜360°，則cos的值等于()

A．－B.

C．－D.

2．已知cosθ＝－，π＜θ＜，則tan＝()

A．－B．

C．－D．

3．若sin74°＝m，則cos8°＝()

A.B．±

C.D．±

4．已知sinθ＝，θ∈，則cos＝________．

5．已知＝，求cosθ的值．

第1課時半角公式

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點一

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√

2．解析：因為sin＝±，

所以sin＝＝＝.

答案：B

3．解析：因為α∈(0，π)，所以∈.

所以cos＝＝＝.

答案：A

4．解析：由已知得cosx＝－＝－，

所以tan＝＝＝5＋2.

答案：5＋2

題型探究·課堂解透

例1解析：∵α為第四象限角，∴為第二、四象限角．當(dāng)為第二象限角時，

sin＝＝，

cos＝－＝－，

tan＝－＝－；

當(dāng)為第四象限角時，

sin＝－＝－，

cos＝＝，

tan＝－＝－.

跟蹤訓(xùn)練1解析：∵π<α<，sinα＝－，

∴cosα＝－，且<<，

∴sin＝＝，cos＝－＝－.

答案：－

例2解析：∵α是第三象限角，

∴是第二、四象限角，

∴tan＜0.

∵cosα＝＝－，

∴tan＝－3，

∴＝＝－.

答案：A

跟蹤訓(xùn)練2解析：sin2α＝＝＝－，

cos2α＝＝＝，

所以sin＝(sin2α＋cos2α)＝－.

答案：－

例3證明：方法一左邊＝

＝＝＝cosαsincos

＝sinαcosα＝sin2α＝右邊．所以原式成立．

方法二左邊＝＝cos2α·＝

cos2αtanα＝cosαsinα＝sin2α＝右邊．

所以原式成立．

方法三左邊＝＝＝sinαcosα＝sin2α＝右邊．

跟蹤訓(xùn)練3證明：方法一－tanθ·tan2θ

＝

＝

＝

＝＝＝1.

方法二左邊＝－tanθ·

＝＝1＝右邊

所以原等式成立．

[課堂十分鐘]

1．解析：因為180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°，

所以cos＝－.

答案：C

2．解析：由已知得sinθ＝－＝－，

則tan＝＝＝－.

答案：C

3．解析：因為sin74°＝m＝cos16°，所以cos8°＝

＝.

答案：C

4．解析：因為θ∈，所以∈.

所以cosθ＝－＝－.

所以cos＝＝.

答案：

5．解析：由題意可得＝，解得tan＝－4.

由萬能公式有cosθ＝＝－.(共29張PPT)

第1課時半角公式

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點

要點一半角公式

狀元隨筆

巧記“半角公式”

無理半角常戴帽，象限確定帽前號；

數(shù)1余弦加減連，角小值大用加號．

“角小值大用加號”即y＝1＋cosα(α是銳角)是減函數(shù)，角小值大，因此用“＋”號，而y＝1－cosα為增函數(shù)，角大值大，因此用“－”號．

要點二萬能公式

sinα＝，cosα＝，tanα＝.

狀元隨筆(1)萬能公式是恒等式，只要使等式兩邊都有意義的角都成立．

(2)萬能公式的“萬能”在于它能將角α的所有三角函數(shù)值用tan來表示，是處理三角函數(shù)問題的一個重要公式．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)cos＝.()

(2)存在α∈R，使得cos＝cosα.()

(3)對于任意α∈R，sin＝sinα都不成立．()

(4)若α是第一象限角，則tan＝.()

×

√

×

√

2．sin＝()

A．B．

C．2－D．

答案：B

解析：因為sin＝±，所以sin＝＝＝.

3．若cosα＝，且α∈(0，π)，則cos的值為()

A．B．－

C．±D．±

答案：A

解析：因為α∈(0，π)，所以∈.

所以cos＝＝＝.

4．已知sinx＝＜x＜π，則tan＝________．

5＋2

解析：由已知得cosx＝－＝－，

所以tan＝＝＝5＋2.

題型探究·課堂解透

題型1半角公式的應(yīng)用

例1已知cosα＝，α為第四象限角，求sin，cos，tan.

解析：∵α為第四象限角，∴為第二、四象限角．當(dāng)為第二象限角時，sin＝＝，cos＝－＝－，

tan＝－＝－；

當(dāng)為第四象限角時，sin＝－＝－，

cos＝＝，tan＝－＝－.

方法歸納

利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系．

(2)明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號作準(zhǔn)備．

(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常利用tan＝＝計算，涉及半角公式的正、余弦值時，常利用sin2＝，cos2＝計算．

(4)下結(jié)論：結(jié)合(2)求值．

跟蹤訓(xùn)練1已知sinα＝－，π＜α＜，則sin＝________，cos

＝________．

－

解析：∵π<α<，sinα＝－，

∴cosα＝－，且<<，

∴sin＝＝，cos＝－＝－.

題型2萬能公式的應(yīng)用

例2若cosα＝－，α是第三象限角，則＝()

A．－B．

C．2D．－2

答案：A

解析：∵α是第三象限角，∴是第二、四象限角，∴tan＜0.

∵cosα＝＝－，∴tan＝－3，∴＝＝－.

方法歸納

利用萬能公式求得tan，這是解題的關(guān)鍵．

跟蹤訓(xùn)練2若tanα＝－，則sin＝________．

－

解析：sin2α＝＝＝－，cos2α＝＝＝，

所以sin＝(sin2α＋cos2α)＝－.

題型3三角恒等式的證明

例3求證：＝sin2α.

證明：方法一左邊＝＝＝＝cosαsincossinαcosα＝sin2α＝右邊．所以原式成立．

方法二左邊＝＝cos2α·＝

cos2αtanα＝cosαsinα＝sin2α＝右邊．

所以原式成立．

方法三左邊＝＝＝sinαcosα＝sin2α＝右邊．

方法歸納

三角恒等式證明的思路

通過觀察分析等式兩端的結(jié)構(gòu)，從兩端角的差異、三角函數(shù)名稱及結(jié)構(gòu)的差異入手，尋求證明途徑，左右歸一；或消除等式兩端的差異，達(dá)到形式上的統(tǒng)一．

跟蹤訓(xùn)練3求證：－tanθ·tan2θ＝1.

證明：方法一－tanθ·tan2θ＝

＝＝

＝＝＝1.

方法二左邊＝－tanθ·

＝＝1＝右邊

所以原等式成立．

易錯辨析忽視角的范圍，錯選公式致誤

例4已知sinα＝－，則tan＝___________.

－或－2

解析：因為sinα＝－，所以cosα＝±.

若cosα＝，則tan＝＝＝－；

若cosα＝－，則tan＝＝＝－2.

易錯警示

易錯原因糾錯心得

課堂十分鐘

1．已知180°＜α＜360°，則cos的值等于()

A．－B.

C．－D.

答案：C

解析：因為180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°，所以cos＝－.

2．已知cosθ＝－，π＜θ＜，則tan＝()

A．－B．

C．－D．

答案：C

解析：由已知得sinθ＝－＝－，

則tan＝＝＝－.

3．若sin74°＝m，則cos8°＝()

A.B．±

C.D．±

答案：C

解析：因為sin74°＝m＝cos16°，所以cos8°＝＝.

4．已知sinθ＝，θ∈，則cos＝________．

解析：因為θ∈，所以∈.

所以cosθ＝－＝－.

所以cos＝＝.

5．已知＝，求cosθ的值．

解析：由題意可得＝，解得tan＝－4.

由萬能公式有cosθ＝＝－.第2課時和差化積與積化和差公式

教材要點

要點和差化積公式與積化和差公式

和差化積公式sinα＋sinβ＝2sincos

sinα－sinβ＝2cossin

cosα＋cosβ＝2coscos

cosα－cosβ＝－2sinsin

積化和差公式sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]

狀元隨筆(1)這兩組公式均可由和差角公式推導(dǎo)得到，而這兩組公式亦可以互推．

(2)和差化積公式可由以下口訣記憶“正弦和正弦在前；正弦差余弦在前；余弦和只見余弦；余弦差負(fù)不見余弦”．

(3)兩組公式中的倍數(shù)關(guān)系可通過值域(最值)的對比發(fā)現(xiàn)，y＝sinα±sinβ與cosα±cosβ的值域應(yīng)為[－2，2]而y＝sinαsinβ等的值域應(yīng)為[－1，1]，所以應(yīng)給積乘2或者和(差)乘.

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB．()

(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB．()

(3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB．()

(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB．()

2．把2sin10°cos8°化成和或差的形式為()

A．sin18°－sin2°B．sin18°＋cos2°

C．sin18°＋sin2°D．cos18°＋cos2°

3．把sin15°＋sin5°化成積的形式為()

A．sin5°sin15°B．2cos10°cos5°

C．2sin10°sin5°D．2sin10°cos5°

4．cos37.5°cos22.5°＝______.

題型1和差化積公式的應(yīng)用

例1把下列各式化成積的形式．

(1)cos3x＋cosx；

(2)cos40°－cos52°；

(3)sin15°＋sin35°；

(4)sin6x－sin2x.

方法歸納

套用和差化積公式的關(guān)鍵是記準(zhǔn)、記牢公式，有時函數(shù)不同名，要先化為同名再化積，化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來．

跟蹤訓(xùn)練1把下列各式化成積的形式．

(1)cos8＋cos2；

(2)cos100°－cos20°；

(3)sin40°＋sin150°；

(4)sin(x＋2)－sinx．

題型2積化和差的應(yīng)用

例2把下列各式化成和或差的形式．

(1)2sin64°cos10°；

(2)sin80°cos132°；

(3)coscos；

(4)sin2sin1.

方法歸納

積化和差公式可以把某些三角函數(shù)的積化為和或差的形式．需要注意三角函數(shù)名稱的變化規(guī)律．

跟蹤訓(xùn)練2(1)sin15°cos165°的值是()

A．B．C．－D．－

(2)sincos化成和差的形式為()

A．sin(α＋β)＋cos(α－β)

B．cos(α＋β)＋sin(α－β)

C．sin(α＋β)＋sin(α－β)

D．cos(α＋β)＋cos(α－β)

題型3和差化積與積化和差公式的綜合應(yīng)用

角度1化簡與求值

例3＝________．

方法歸納

當(dāng)條件或結(jié)論式比較復(fù)雜時，往往先將它們化為最簡形式，再求解．

角度2證明恒等式

例4求證：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝sin3α.

方法歸納

當(dāng)要證明的不等式一邊復(fù)雜，另一邊非常簡單時，我們往往從復(fù)雜的一邊入手證明，類似于化簡．

跟蹤訓(xùn)練3(1)計算：＝________．

(2)求證：·tan25°＝.

課堂十分鐘

1．sin75°－sin15°的值為()

A．B．

C．D．－

2．cos72°－cos36°的值為()

A．3－2B．

C．－D．3＋2

3．sin37.5°cos7.5°等于()

A．B．

C．D．

4．求證：sin15°sin30°sin75°＝.

第2課時和差化積與積化和差公式

新知初探·課前預(yù)習(xí)

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×

2．解析：2sin10°cos8°＝sin(10°＋8°)＋sin(10°－8°)＝sin18°＋sin2°.

答案：C

3．解析：sin15°＋sin5°＝2sincos＝2sin10°cos5°

答案：D

4．解析：cos37.5°cos22.5°＝(cos60°＋cos15°)

＝cos15°＝.

答案：

題型探究·課堂解透

例1解析：(1)cos3x＋cosx＝2coscos＝2cos2xcosx.

(2)cos40°－cos52°＝－2sinsin＝－2sin46°sin(－6°)＝2sin46°sin6°.

(3)sin15°＋sin35°＝2sincos

＝2sin25°cos(－10°)＝2sin25°cos10°.

(4)sin6x－sin2x＝2cossin

＝2cos4xsin2x.

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)cos8＋cos2＝2coscos＝2cos5cos3.

(2)cos100°－cos20°＝－2sinsin＝－2sin60°sin40°＝－sin40°.

(3)sin40°＋sin150°＝2sincos

＝2sin95°cos(－55°)＝2cos5°cos55°.

(4)sin(x＋2)－sinx＝2cossin＝2cos(x＋1)sin1.

例2解析：(1)2sin64°cos10°＝sin(64°＋10°)＋sin(64°－10°)

＝sin74°＋sin54°.

(2)sin80°cos132°＝cos132°sin80°

＝[sin(132°＋80°)－sin(132°－80°)]＝(sin212°－sin52°)

＝－(sin32°＋sin52°)．

(3)coscos＝

＝＝.

(4)sin2sin1＝－[cos(2＋1)－cos(2－1)]＝－(cos3－cos1)．

跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)sin15°cos165°＝[sin(15°＋165°)＋sin(15°－165°)]＝sin180°－sin150°＝－.

(2)sincos

＝

＝

＝cos(α＋β)＋sin(α－β)．

答案：(1)C(2)B

例3解析：原式＝

＝

＝＝＝2cos30°＝.

答案：

例4證明：左邊＝sinα·(cos120°－cos2α)

＝sinα＋sinαcos2α

＝sinα＋[sin3α＋sin(－α)]

＝sinα＋sin3α－sinα＝sin3α＝右邊．

跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)

＝

＝

＝2sin60°＝.

(2)證明：

左邊＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝＝右邊

所以原等式成立．

[課堂十分鐘]

1．解析：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30°＝2×＝.

答案：B

2．解析：原式＝－2sinsin

＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°

＝－2·＝－

＝－＝－.

答案：C

3．解析：sin37.5°cos7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]

＝(sin45°＋sin30°)＝＝.

答案：C

4．證明：sin15°sin30°sin75°

＝sin15°sin75°

＝－[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]

＝－(cos90°－cos60°)

＝－＝.(共29張PPT)

第2課時和差化積與積化和差公式

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點

要點和差化積公式與積化和差公式

和差化積公式

積化和差公式

狀元隨筆

(1)這兩組公式均可由和差角公式推導(dǎo)得到，而這兩組公式亦可以互推．

(2)和差化積公式可由以下口訣記憶“正弦和正弦在前；正弦差余弦在前；余弦和只見余弦；余弦差負(fù)不見余弦”．

(3)兩組公式中的倍數(shù)關(guān)系可通過值域(最值)的對比發(fā)現(xiàn)，y＝sinα±sinβ與cosα±cosβ的值域應(yīng)為[－2，2]而y＝sinαsinβ等的值域應(yīng)為[－1，1]，所以應(yīng)給積乘2或者和(差)乘.

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB．()

(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB．()

(3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB．()

(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB．()

√

√

√

×

2．把2sin10°cos8°化成和或差的形式為()

A．sin18°－sin2°B．sin18°＋cos2°

C．sin18°＋sin2°D．cos18°＋cos2°

答案：C

解析：2sin10°cos8°＝sin(10°＋8°)＋sin(10°－8°)＝sin18°＋sin2°.

3．把sin15°＋sin5°化成積的形式為()

A．sin5°sin15°B．2cos10°cos5°

C．2sin10°sin5°D．2sin10°cos5°

答案：D

解析：sin15°＋sin5°＝2sincos＝2sin10°cos5°

4．cos37.5°cos22.5°＝____________.

解析：cos37.5°cos22.5°＝(cos60°＋cos15°)＝cos15°＝.

題型探究·課堂解透

題型1和差化積公式的應(yīng)用

例1把下列各式化成積的形式．

(1)cos3x＋cosx；(2)cos40°－cos52°；

(3)sin15°＋sin35°；(4)sin6x－sin2x.

解析：(1)cos3x＋cosx＝2coscos＝2cos2xcosx.

(2)cos40°－cos52°＝－2sinsin＝－2sin46°sin(－6°)＝2sin46°sin6°.

(3)sin15°＋sin35°＝2sincos

＝2sin25°cos(－10°)＝2sin25°cos10°.

(4)sin6x－sin2x＝2cossin

＝2cos4xsin2x.

方法歸納

套用和差化積公式的關(guān)鍵是記準(zhǔn)、記牢公式，有時函數(shù)不同名，要先化為同名再化積，化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來．

跟蹤訓(xùn)練1把下列各式化成積的形式．

(1)cos8＋cos2；

(2)cos100°－cos20°；

(3)sin40°＋sin150°；

(4)sin(x＋2)－sinx．

解析：(1)cos8＋cos2＝2coscos＝2cos5cos3.

(2)cos100°－cos20°＝－2sinsin＝－2sin60°sin40°＝－sin40°.

(3)sin40°＋sin150°＝2sincos

＝2sin95°cos(－55°)＝2cos5°cos55°.

(4)sin(x＋2)－sinx＝2cossin＝2cos(x＋1)sin1.

題型2積化和差的應(yīng)用

例2把下列各式化成和或差的形式．

(1)2sin64°cos10°；

(2)sin80°cos132°；

(3)coscos；

(4)sin2sin1.

解析：(1)2sin64°cos10°＝sin(64°＋10°)＋sin(64°－10°)

＝sin74°＋sin54°.

(2)sin80°cos132°＝cos132°sin80°

＝[sin(132°＋80°)－sin(132°－80°)]＝(sin212°－sin52°)

＝－(sin32°＋sin52°)．

(3)coscos＝

＝＝.

(4)sin2sin1＝－[cos(2＋1)－cos(2－1)]＝－(cos3－cos1)．

方法歸納

積化和差公式可以把某些三角函數(shù)的積化為和或差的形式．需要注意三角函數(shù)名稱的變化規(guī)律．

跟蹤訓(xùn)練2(1)sin15°cos165°的值是()

A．B．C．－D．－

答案：C

解析：sin15°cos165°＝[sin(15°＋165°)＋sin(15°－165°)]＝sin180°－sin150°＝－.

(2)sincos化成和差的形式為()

A．sin(α＋β)＋cos(α－β)

B．cos(α＋β)＋sin(α－β)

C．sin(α＋β)＋sin(α－β)

D．cos(α＋β)＋cos(α－β)

答案：B

解析：sincos

＝

＝

＝cos(α＋β)＋sin(α－β)．

題型3和差化積與積化和差公式的綜合應(yīng)用

角度1化簡與求值

例3＝________．

解析：原式＝

＝

＝＝＝2cos30°＝.

方法歸納

當(dāng)條件或結(jié)論式比較復(fù)雜時，往往先將它們化為最簡形式，再求解．

角度2證明恒等式

例4求證：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝sin3α.

證明：左邊＝sinα·(cos120°－cos2α)

＝sinα＋sinαcos2α

＝sinα＋[sin3α＋sin(－α)]

＝sinα＋sin3α－sinα＝sin3α＝右邊．

方法歸納

當(dāng)要證明的不等式一邊復(fù)雜，另一邊非常簡單時，我們往往從復(fù)雜的一邊入手證明，類似于化簡．

跟蹤訓(xùn)練3(1)計算：＝________．

解析：

＝

＝

＝2sin60°＝.

(2)求證：·tan25°＝.

證明：

左邊＝＝

＝＝＝

＝＝＝＝＝右邊

所以原等式成立．

課堂十分鐘

1．sin75°－sin15°的值為()

A．B．

C．D．－

答案：B

解析：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30°＝2×＝.

2．cos72°－cos36°的值為()

A．3－2B．

C．－D．3＋2

答案：C

解析：原式＝－2sinsin

＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°

＝－2·＝－

＝－＝－.

3．sin37.5°cos7.5°等于()

A．B．

C．D．

答案：C

解析：sin37.5°cos7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]

＝(sin45°＋sin30°)＝＝.

4．求證：sin15°sin30°sin75°＝.

證明：sin15°sin30°sin75°

＝sin15°sin75°

＝－[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]

＝－(cos90°－cos60°)

＝－＝.第3課時輔助角公式

教材要點

要點輔助角公式

asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)(ab≠0)，

其中cosφ＝，sinφ＝，0≤φ<2π.

狀元隨筆利用輔助角公式可以把形如y＝asinα＋bcosα的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為一個角的一種三角函數(shù)形式，便于后面求三角函數(shù)的最小正周期、最值、單調(diào)區(qū)間等．

基礎(chǔ)自測

1.sin＋cos的值為()

A．B．

C．D．

2．函數(shù)y＝sinx＋cosx的周期為________，最大值是________．

3．函數(shù)y＝asinx＋bcosx(a，b均為正數(shù))的最小值________．

題型1利用輔助角公式化簡

例1化簡下列各式：

(1)y＝－sinx－cosx；

(2)y＝sinx＋cosx．

方法歸納

兩角和與差的正弦公式的逆用是輔助角公式的一種特殊情形．

跟蹤訓(xùn)練1化簡下列各式：

(1)sinx－cosx；

(2)sincos.

題型2利用輔助角研究三角函數(shù)的性質(zhì)

例2(1)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋acosx，當(dāng)x＝時，f(x)取得最大值，則a的值為()

A．－B．－1

C．1D．

(2)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋2sin2x.

①求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

②當(dāng)x∈時，求函數(shù)f(x)的值域．

方法歸納

(1)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為正弦型(余弦型)函數(shù)，這是解決問題的前提．

(2)解此類題時要充分運用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉(zhuǎn)換公式消除差異，減少角的種類和函數(shù)式的項數(shù)，為討論函數(shù)性質(zhì)提供保障．

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx在x＝處取到最大值，則f是()

A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)

C．關(guān)于點(π，0)中心對稱D．關(guān)于x＝軸對稱

(2)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m(m∈R)．

①求f(x)的最小正周期；

②求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．

課堂十分鐘

1．函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx的最大值為()

A．1B．

C．D．3

2．將函數(shù)f(x)＝sin2x＋acos2x(a≠0)的圖象向右平移后關(guān)于點(，0)對稱，則a＝()

A．B．1

C．D．3

3．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝()，a·b＝，則cos等于()

A．－B．－

C．D．

4．化簡：cosx＋sinx＝________．

5．求函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx的周期、最值、最值點．

第3課時輔助角公式

新知初探·課前預(yù)習(xí)

[基礎(chǔ)自測]

1．解析：sin＋cos＝＝sin＝sin＝.

答案：B

2．解析：因為y＝sinx＋cosx＝2sin，所以周期T＝2π，最大值為2.

答案：2π2

3．解析：y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，所以最小值是－.

答案：－

題型探究·課堂解透

例1解析：(1)y＝－＝－sin＝－sin.

(2)sinx＋cosx＝2＝2sin.

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)sinx－cosx

＝

＝2

＝2sin.

(2)sincos

＝

＝×2

＝

＝sin

＝sin.

例2解析：(1)由題設(shè)，f(x)＝sin(x＋φ)且tanφ＝a，

∵x＝時，f(x)取得最大值，

∴sin＝1，即＋φ＝2kπ＋，故φ＝2kπ＋，k∈Z，

∴tanφ＝a＝1.

(2)①因為f(x)＝sin2x＋1－cos2x＝2sin＋1，

令＋2kπ≤2x－＋2kπ，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z).

②∵x∈，∴2x∈，∴2x－∈，

利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)知sin∈[－1，0]，

∴2sin＋1∈[－1，1]

所以f(x)的值域為[－1，1].

答案：(1)C(2)見解析

跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)因為f(x)＝asinx－bcosx在x＝處取到最大值，

即f(x)＝sin(x－φ)，其中tanφ＝，

則sin＝1，

所以φ＝2kπ－，k∈Z，

所以f(x)＝sin，

則f＝sin＝cosx為偶函數(shù)．

(2)①因為f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋cos2x＋m＋1＝2sin＋m＋1.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

②由①知f(x)＝2sin＋m＋1.又函數(shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．

由－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．

答案：(1)B(2)見解析

[課堂十分鐘]

1．解析：f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－θ)(其中tanθ＝2)，

所以當(dāng)sin(x－θ)＝1時，f(x)取最大值，

答案：C

2．解析：f(x)＝sin2x＋acos2x＝sin(2x＋φ)，tanφ＝，

∵圖象向右平移后關(guān)于點對稱，

∴g(x)＝f＝sin，則g＝sin＝0，

∴φ＝，故tanφ＝＝，即a＝1.

答案：B

3．解析：由a·b＝，得cosx＋sinx＝，

即cosx＋sinx＝，所以cosxcos＋sinxsin＝，

所以cos＝.

答案：D

4．解析：根據(jù)兩角和的正弦公式，可得：cosx＋sinx＝·

＝·＝sin.

答案：sin

5．解析：f(x)＝sinx＋cosx＝2＝2sin，

最小正周期為T＝2π，

x＋＝2kπ＋，即x＝2kπ＋，k∈Z時，f(x)max＝2，x＋＝2kπ－，即x＝2kπ－，k∈Z時，f(x)min＝－2.(共24張PPT)

第3課時輔助角公式

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點

要點輔助角公式

asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)(ab≠0)，

其中cosφ＝，sinφ＝，0≤φ<2π.

狀元隨筆利用輔助角公式可以把形如y＝asinα＋bcosα的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為一個角的一種三角函數(shù)形式，便于后面求三角函數(shù)的最小正周期、最值、單調(diào)區(qū)間等．

基礎(chǔ)自測

1.sin＋cos的值為()

A．B．

C．D．

答案：B

解析：sin＋cos＝＝sin＝sin＝.

2．函數(shù)y＝sinx＋cosx的周期為________，最大值是________．

2π

2

解析：因為y＝sinx＋cosx＝2sin，所以周期T＝2π，最大值為2.

3．函數(shù)y＝asinx＋bcosx(a，b均為正數(shù))的最小值___________．

－

解析：y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，所以最小值是－.

題型探究·課堂解透

題型1利用輔助角公式化簡

例1化簡下列各式：

(1)y＝－sinx－cosx；

(2)y＝sinx＋cosx．

解析：(1)y＝－＝－sin＝－sin.

(2)sinx＋cosx＝2＝2sin.

方法歸納

兩角和與差的正弦公式的逆用是輔助角公式的一種特殊情形．

跟蹤訓(xùn)練1化簡下列各式：

(1)sinx－cosx；

解析：sinx－cosx

＝

＝2

＝2sin.

(2)sincos.

解析：sincos

＝

＝×2

＝

＝sin

＝sin.

題型2利用輔助角研究三角函數(shù)的性質(zhì)

例2(1)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋acosx，當(dāng)x＝時，f(x)取得最大值，則a的值為()

A．－B．－1

C．1D．

答案：C

解析：由題設(shè)，