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文檔簡介

廣東省廣州市華附2023-2024學年高三上學期開學測試數學試題一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合要求的。1.復數z=4i1+i,則A.π4 B.7π4 C.3π42.設集合M={x|A.8 B.7 C.32 D.313.橢圓E:x24+y23=1(a>b>0A.π6 B.π2 C.π34.(x+7)5展開式中xA.245 B.10 C.49 D.4905.以下什么物體能被放進底面半徑為12m,高為A.底面半徑為34m,母線長為B.底面半徑為0.01m,高為C.邊長為1m的立方體D.底面積為32m26.有下列一組數據:442498053,則這組數據的第80百分位數是()A.5.6 B.5 C.8 7.設數列{an}的通項公式為an=1+2A.5 B.6 C.7 D.88.a=110+ln10A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a二、多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求。全部選對得5分,漏選得2分,有選錯或未選的得0分。9.下列式子中最小值是3的是()A.xlnx+9xlnx B.x+9x C.10.f(x)=acosωx(ω>0),若將f(x)圖象向左平移π6ω個單位長度后在A.167 B.2 C.3 D.11.已知正方形ABCD中,AB=2,P是平面ABCD外一點.設直線PB與平面ABCD所成角為α,設三棱錐P?ABC的體積為V,則下列命題正確的是()A.若PA+PC=23,則α的最大值是B.若PA+PC=23,則V的最大值是C.若PA2+PCD.若PA2+PC12.在本場考試中,多選題可能有2個或3個正確的選項,全部選對得5分,漏選得2分,有選錯或未選的得0分。如果你因完全不會做某道題目而必須隨機選擇1~3項選項,設該題恰有兩個正確選項的概率為p0A.若隨機選擇兩項,則存在p0使B.無論p0為多少,隨機選擇一項總能使E(X)C.若p0D.若隨機選擇三項,則存在p0使三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設隨機變量X~N(5,14.直線l與圓G:(x?4)2+(y+1)2=415.底面是面積為3的等邊三角形ABC的三棱錐P?ABC的表面積是6+3,則其體積的最大值是16.有8個不同的小球從左到右排成一排,從中拿出至少一個球且不能同時拿出相鄰的兩個球的方案數量是四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。17.向量a與b能作為平面向量的一組基底.(1)若AB=a+7b,BC=(2)若a+kb與(k+1)a18.如圖,在三棱柱ABC?A1B1C1中,四邊形AA1C1(1)求證:AA1(2)求平面A1C119.在△ABC中,a,b,c(1)證明a(2)求cosC20.已知函數f(x)=(1)當b=0時,函數f(x)在(0,π2(2)若b<0,g(x)=f(x)+asinx,證明g(x)>bln(?21.已知橢圓E:x2a2+y一點,當∠F1AF2(1)求橢圓E的方程(2)直線l1:k1x?y+2k1=0(k1>0)與橢圓E交于M,N兩點,線段MN的中點為P,過P作垂直x軸的直線在第二象限交橢圓E于點S22.記數列{an}的前n項和為(1)求數列an(2)數列{bn}滿足bn(3)某鐵道線上共有84列列車運行,且每次乘坐到任意一列列車的概率相等,設隨機變量X為恰好乘坐一次全部列車所乘坐的次數,試估算E(X)84參考數據:ln2≈0.6931,

答案解析部分1.【答案】B【知識點】復數代數形式的乘除運算;共軛復數【解析】【解答】解:由復數乘除運算化簡z=4i1+i=4i1?i故答案為:B.

【分析】結合復數乘除運算化簡z=2+2i,由共軛復數及復數輻角的定義得,即可得解.2.【答案】A【知識點】子集與真子集【解析】【解答】解:解不等式x2+2x?3<0得?3<x<1,x為整數,所以M={?2,?1,0故答案為:A.

【分析】化簡得集合M={?2,?1,0}3.【答案】C【知識點】橢圓的簡單性質【解析】【解答】解:由橢圓方程可得a=2,b=3,推出c=1,即F1F2=2,△F1AF故答案為:C.

【分析】由橢圓方程可得a=2,b=3,得c=1,△F1AF4.【答案】D【知識點】二項式系數【解析】【解答】解:根據二項式的展開式,Tr+1=C5rx5?r故答案為:D.

【分析】利用二項式的展開式,代數求值即可得解.5.【答案】B【知識點】旋轉體(圓柱/圓錐/圓臺/球)的結構特征【解析】【解答】解:A、圓柱的底面半徑為12m,而圓錐的底面半徑為34m,34m>12m,所以該圓錐無法放入圓柱中,故A錯誤;

B、如圖,HF=0.02m,因為EH=1.9m,所以根據勾股定理可得EF2=EH2+HF2=0.0004+3.61=3.6104,設∠AFH=θ,θ∈0,π2,所以AF=0.02cosθ,BG=0.02cosθ,FG=AB?AF?BG=1?0.04cosθ,再根據勾股定理可得EG2=EF2?FG2=3.6104?1?0.04cosθ2故答案為:B.

【分析】根據圓柱的底面半徑和圓錐的底面半徑34m>12m,即可判斷A;畫立體圖形,設出未知量得EG2=EF6.【答案】C【知識點】用樣本估計總體的百分位數【解析】【解答】解:將數據從小到大順序排列:0,2,3,4,4,4,5,8,9,共9個數,9×80%=7.2,結合百分位數定義得這組數據的第80百分位數是8.故答案為:8.

【分析】先將數據從小到大順序排列,再結合百分位數的定義,即可求解.7.【答案】C【知識點】等比數列的前n項和;二項式定理【解析】【解答】解:由二項式定理可得an=2+1n=3n,數列{an}是以3為首項,3為公比的等比數列,結合等比數列的前n項和公式得Sn故答案為:C.

【分析】由二項式定理得an8.【答案】B【知識點】利用導數研究函數的單調性【解析】【解答】解:令fx=x+1lnx?x,則f'x=lnx+1x,令gx=fx?fx1?fx故答案為:B.

【分析】令fx9.【答案】C,D【知識點】利用導數研究函數的單調性;利用導數研究函數的極值;二次函數模型【解析】【解答】解:當0<x<1時,xlnx<0,A錯誤;x<0時,B錯誤;令gx=xex+3e+1e,則g'x=x+1ex,當x>?1時,g'x>0,故答案為:C,D.

【分析】當0<x<1時,x<0時分別檢驗A,B選項,構造函數gx10.【答案】A,C,D【知識點】余弦函數的性質;函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換【解析】【解答】解:f(x)=acosωx(ω>0),將f(x)圖象向左平移π6ω個單位長度得y=acosωx+π6,故答案為:A,C,D.

【分析】利用函數y=Acosωx+φ的圖象變換規(guī)律,余弦函數的性質,求得1611.【答案】A,C【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】解:由題意得,P為動點,A,C為定點,PA+PC=23,所以P的軌跡是橢圓,將此橢圓繞AC旋轉一周,得到一個橢球,即點P的軌跡是一個橢球.由2a=23,2c=22,得a=3,b=1,c=2,當點P運動到橢球的上、下頂點時,V取到最大值,此時V=13S?ABCb=12×12×2×2×1=23,故B不正確;設點P在平面ABCD上的射影為Q,則tanα=PQBQ,因為PQ≤BQ,所以α的最大值是π4,故A正確;當PA2+PC2=4;當PA2+PC故答案為:A,C.

【分析】根據橢圓的定義和旋轉體的概念可知,當PA+PC=23時,點P的軌跡是一個橢球,當PA2+PC12.【答案】B,C,D【知識點】離散型隨機變量的期望與方差【解析】【解答】解:多選題可能有2個或3個正確的選項,設該題恰有兩個正確選項的概率為p0,所以三個正確選項的概率為1?p0,若隨機選擇一項,則得分X的所有可能取值為0,2,則PX=0=12P0+141?P0=14+14P0,PX=2=12P0+341?P0=3故答案為:B,C,D.

【分析】分別求出隨機選擇一項、兩項、三項時得分的期望,然后即可得出結論.13.【答案】1【知識點】正態(tài)分布定義【解析】【解答】解:由已知隨機變量X~N(5,2故答案為:12

【分析】根據正態(tài)分布的對稱性,即可求解.14.【答案】y=1(答案不唯一)【知識點】圓的切線方程【解析】【解答】解:當直線l的斜率不存在時,因為圓G:(x?4)2+(y+1)2=4的圓心為4,?1半徑為2,所以和圓行相切的直線為x=2或x=6,橢圓的左右頂點分別為2,0,?2,0,直線x=2也是橢圓的切線,所以直線x=2與圓和橢圓同時相切;

當直線l的斜率為0時,與橢圓相切的直線為y=1和y=?1,此時y=1也是圓的切線,所以直線y=1與圓和橢圓同時相切;

當直線l的斜率存在并且不為0時,設直線l的方程為y=kx+t,易知k<0,圓心到直線的距離d=4k+1+t1+k2=2①,直線與橢圓方程聯立得y=kx+tx24+y2故答案為y=1(答案不唯一):.

【分析】根據題意,分直線l斜率不存在;斜率為0和斜率存在且不為0三種情況求與圓和橢圓同時相切的直線即可.15.【答案】11【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】解:過點P作下底面的垂線,垂足為O,再作PF⊥BC,PE⊥AB,PG⊥AC,分別交BC,AB,AC于點F,E,G,連接OE,OF,OG,因為PO⊥平面ABC,所以PO⊥AB,又因為PE∩PO=P,所以AB⊥平面PEO,即AB⊥OE,同理可得CB⊥OF,OG⊥AC,設PE=?1,PF=?2,PG=?3,OP=?,因為底面等邊三角形的面積為3,所以底面邊長為2,又因為三棱錐P?ABC的表面積為6+3,所以三棱錐的側面積為6,即?1+?2+?3=6,所以?2故答案為:113

【分析】過點P作下底面的垂線,垂足為O,再作PF⊥BC,PE⊥AB,PG⊥AC,分別交BC,AB,AC于點F,E,G,連接OE,OF,OG,根據已知條件得到關于三棱錐高的方程,利用琴生不等式求出高的最大值,最后代入三棱錐體積公式求體積得最大值即可.16.【答案】54【知識點】分類加法計數原理【解析】【解答】解:根據題意,至少拿出1個球,最多能拿出4個球:

當拿出1個球時,有C81=8種不同的方法;

當拿出2個球時,因為拿出的2個球不能相鄰,所以可看成拿出2個放入余下的6個球排成一排形成7個空位中,因此取2個球有C72=21種不同的方法;

當拿出3個球時,由于3個球不相鄰,可看成拿出3個放入余下的5個球排成一排形成6個空位中,因此取3個球有C6故答案為:54.

【分析】根據已知條件,利用分類加法計數原理,結合組合、插空法列式計算即可.17.【答案】(1)解:CDAB//BD,(2)解:設λ(a→+kb→)=(k+1)a→+b→,則λa=k+1,λk=1解得k=?1±52【知識點】平面向量的共線定理【解析】【分析】(1)由題意得CD→=2AB→,從而證得A,18.【答案】(1)證明:∵四邊形AA∴AA又∵平面ABC⊥平面AA1C1C且AA1∴AA1⊥(2)解:由AC=4,BC=5,∴AB⊥AC建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1∴BC1=(4,?3設平面A1C1B的一個法向量為n1則n1?BC1∴n1n2?BC1∴n2∴|cosn∴平面A1C1B與平面【知識點】直線與平面垂直的判定;二面角的平面角及求法【解析】【分析】(1)四邊形AA1C1C是正方形,AA1⊥AC.因為平面ABC⊥平面AA1C1C,證得AA119.【答案】(1)解:由正弦定理,abcosC=由余弦定理aa(2)解:acosC=由a?b<c,acosC∈[【知識點】正弦定理;余弦定理【解析】【分析】(1)由正弦定理得abcosC=c2,結合余弦定理a2+b20.【答案】(1)解:由題意知f(x)=ex?asinx則f′(x)=e故a=excosx顯然g(x)=excosx又g(0)=1,limx→π2當a>1時,f′(x)=e又f′(0)=1?a<0,f′(π此時當x∈(0,α)時,f′(x)<0,當所以f(x)在(0,f(x)在(α,π2)上單調遞增,故因此實數a的取值范圍a>1.(2)解:由題得,g(x)=gg'(x)在(?∞,ln(?b))上小于0g'(x)只需證明?b+bln(?b)≥bln(?即?1+即?1≤ln(e>2,該式子顯然成立【知識點】利用導數研究函數的單調性;利用導數研究函數的極值;函數零點存在定理【解析】【分析】(1)由題意得a=excosx,設g(x)=excosx(x∈(0,π2)),根據g(x)在(0,π2)單調遞增,可得a>1,再結合導數研究函數的單調性與極值,檢驗實數a的取值范圍a>121.【答案】(1)解:設E:x2a∴E(2)設Mx1,y1,Nx2,y2、聯立方程組k1x?y+2k1=0x24+y2【知識點】橢圓的標準方程;直線與圓錐曲線的關系【解析】【分析】(1)設E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),易得c=3,根據焦點三角形面積公式可得b=1,再由a2=b2+c2,解得a=2,即可求得橢圓E的方程;

(2)設點22.【答案】(1)解:22累加得Sna(2)解:設cc2(設n+2n+1=tft>1cn+1>ln?lnn=ln1+b設f(x)=x+ln(1?x)b原不等式得證(3)解:設每次乘坐到新列車的概率為p,還未乘坐過n列,則pn=n84E(X)ln85+E(X)ln84=2ln2+ln3+ln7≈4E(X)E(X)【知識點】利用導數研究函數的單調性;利用導數研究函數的極值;等差數列的通項公式【解析】【分析】(1)由題意2Sn=n2+an,得到an=2n?1?an?1,累加得an=n,檢驗n=1時也成立,所以an=n;

(2)設cn=(1+12+13

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分:150分分值分布客觀題(占比)65.0(43.3%)主觀題(占比)85.0(56.7%)題量分布客觀題(占比)13(59.1%)主觀題(占比)9(40.9%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量(占比)分值(占比)多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求。全部選對得5分,漏選得2分,有選錯或未選的得0分。4(18.2%)20.0(13.3%)單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合要求的。8(36.4%)40.0(26.7%)填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。4(18.2%)20.0(13.3%)解答題:本題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。6(27.3%)70.0(46.7%)3、試卷難度結構分析序號難

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