廣東省廣州市華附2023-2024學年高三上學期開學測試數學試題

廣東省廣州市華附2023-2024學年高三上學期開學測試數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的。1．復數z=4i1+i，則A．π4 B．7π4 C．3π42．設集合M={x|A．8 B．7 C．32 D．313．橢圓E：x24+y23=1(a>b>0A．π6 B．π2 C．π34．(x+7)5展開式中xA．245 B．10 C．49 D．4905．以下什么物體能被放進底面半徑為12m，高為A．底面半徑為34m，母線長為B．底面半徑為0.01m，高為C．邊長為1m的立方體D．底面積為32m26．有下列一組數據：442498053，則這組數據的第80百分位數是（）A．5.6 B．5 C．8 7．設數列{an}的通項公式為an=1+2A．5 B．6 C．7 D．88．a=110+ln10A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，漏選得2分，有選錯或未選的得0分。9．下列式子中最小值是3的是（）A．xlnx+9xlnx B．x+9x C．10．f(x)=acosωx(ω>0)，若將f(x)圖象向左平移π6ω個單位長度后在A．167 B．2 C．3 D．11．已知正方形ABCD中，AB=2，P是平面ABCD外一點.設直線PB與平面ABCD所成角為α，設三棱錐P?ABC的體積為V，則下列命題正確的是（）A．若PA+PC=23，則α的最大值是B．若PA+PC=23，則V的最大值是C．若PA2+PCD．若PA2+PC12．在本場考試中，多選題可能有2個或3個正確的選項，全部選對得5分，漏選得2分，有選錯或未選的得0分。如果你因完全不會做某道題目而必須隨機選擇1~3項選項，設該題恰有兩個正確選項的概率為p0A．若隨機選擇兩項，則存在p0使B．無論p0為多少，隨機選擇一項總能使E(X)C．若p0D．若隨機選擇三項，則存在p0使三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設隨機變量X~N(5，14．直線l與圓G：(x?4)2+(y+1)2=415．底面是面積為3的等邊三角形ABC的三棱錐P?ABC的表面積是6+3，則其體積的最大值是16．有8個不同的小球從左到右排成一排，從中拿出至少一個球且不能同時拿出相鄰的兩個球的方案數量是四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．向量a與b能作為平面向量的一組基底.（1）若AB=a+7b，BC=（2）若a+kb與(k+1)a18．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形AA1C1（1）求證：AA1（2）求平面A1C119．在△ABC中，a，b，c（1）證明a（2）求cosC20．已知函數f(x)=（1）當b=0時，函數f(x)在(0，π2（2）若b<0，g(x)=f(x)+asinx，證明g(x)>bln(?21．已知橢圓E：x2a2+y一點，當∠F1AF2（1）求橢圓E的方程（2）直線l1：k1x?y+2k1=0(k1>0)與橢圓E交于M，N兩點，線段MN的中點為P，過P作垂直x軸的直線在第二象限交橢圓E于點S22．記數列{an}的前n項和為（1）求數列an（2）數列{bn}滿足bn（3）某鐵道線上共有84列列車運行，且每次乘坐到任意一列列車的概率相等，設隨機變量X為恰好乘坐一次全部列車所乘坐的次數，試估算E(X)84參考數據：ln2≈0.6931，

答案解析部分1．【答案】B【知識點】復數代數形式的乘除運算；共軛復數【解析】【解答】解：由復數乘除運算化簡z=4i1+i=4i1?i故答案為：B.

【分析】結合復數乘除運算化簡z=2+2i，由共軛復數及復數輻角的定義得，即可得解.2．【答案】A【知識點】子集與真子集【解析】【解答】解：解不等式x2+2x?3<0得?3<x<1，x為整數，所以M={?2，?1，0故答案為：A.

【分析】化簡得集合M={?2，?1，0}3．【答案】C【知識點】橢圓的簡單性質【解析】【解答】解：由橢圓方程可得a=2，b=3，推出c=1，即F1F2=2，△F1AF故答案為：C.

【分析】由橢圓方程可得a=2，b=3，得c=1，△F1AF4．【答案】D【知識點】二項式系數【解析】【解答】解：根據二項式的展開式，Tr+1=C5rx5?r故答案為：D.

【分析】利用二項式的展開式，代數求值即可得解.5．【答案】B【知識點】旋轉體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結構特征【解析】【解答】解：A、圓柱的底面半徑為12m，而圓錐的底面半徑為34m，34m>12m，所以該圓錐無法放入圓柱中，故A錯誤；

B、如圖，HF=0.02m，因為EH=1.9m，所以根據勾股定理可得EF2=EH2+HF2=0.0004+3.61=3.6104，設∠AFH=θ，θ∈0，π2，所以AF=0.02cosθ，BG=0.02cosθ，FG=AB?AF?BG=1?0.04cosθ，再根據勾股定理可得EG2=EF2?FG2=3.6104?1?0.04cosθ2故答案為：B.

【分析】根據圓柱的底面半徑和圓錐的底面半徑34m>12m，即可判斷A；畫立體圖形，設出未知量得EG2=EF6．【答案】C【知識點】用樣本估計總體的百分位數【解析】【解答】解：將數據從小到大順序排列：0，2，3，4，4，4，5，8，9，共9個數，9×80%=7.2，結合百分位數定義得這組數據的第80百分位數是8.故答案為：8.

【分析】先將數據從小到大順序排列，再結合百分位數的定義，即可求解.7．【答案】C【知識點】等比數列的前n項和；二項式定理【解析】【解答】解：由二項式定理可得an=2+1n=3n，數列{an}是以3為首項，3為公比的等比數列，結合等比數列的前n項和公式得Sn故答案為：C.

【分析】由二項式定理得an8．【答案】B【知識點】利用導數研究函數的單調性【解析】【解答】解：令fx=x+1lnx?x，則f'x=lnx+1x，令gx=fx?fx1?fx故答案為：B.

【分析】令fx9．【答案】C,D【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；二次函數模型【解析】【解答】解：當0<x<1時，xlnx<0，A錯誤；x<0時，B錯誤；令gx=xex+3e+1e，則g'x=x+1ex，當x>?1時，g'x>0，故答案為：C，D.

【分析】當0<x<1時，x<0時分別檢驗A，B選項，構造函數gx10．【答案】A,C,D【知識點】余弦函數的性質；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換【解析】【解答】解：f(x)=acosωx(ω>0)，將f(x)圖象向左平移π6ω個單位長度得y=acosωx+π6，故答案為：A，C，D.

【分析】利用函數y=Acosωx+φ的圖象變換規(guī)律，余弦函數的性質，求得1611．【答案】A,C【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】解：由題意得，P為動點，A，C為定點，PA+PC=23，所以P的軌跡是橢圓，將此橢圓繞AC旋轉一周，得到一個橢球，即點P的軌跡是一個橢球.由2a=23，2c=22，得a=3，b=1，c=2，當點P運動到橢球的上、下頂點時，V取到最大值，此時V=13S?ABCb=12×12×2×2×1=23，故B不正確；設點P在平面ABCD上的射影為Q，則tanα=PQBQ，因為PQ≤BQ，所以α的最大值是π4，故A正確；當PA2+PC2=4；當PA2+PC故答案為：A，C.

【分析】根據橢圓的定義和旋轉體的概念可知，當PA+PC=23時，點P的軌跡是一個橢球，當PA2+PC12．【答案】B,C,D【知識點】離散型隨機變量的期望與方差【解析】【解答】解：多選題可能有2個或3個正確的選項，設該題恰有兩個正確選項的概率為p0，所以三個正確選項的概率為1?p0，若隨機選擇一項，則得分X的所有可能取值為0，2，則PX=0=12P0+141?P0=14+14P0，PX=2=12P0+341?P0=3故答案為：B，C，D.

【分析】分別求出隨機選擇一項、兩項、三項時得分的期望，然后即可得出結論.13．【答案】1【知識點】正態(tài)分布定義【解析】【解答】解：由已知隨機變量X~N(5，2故答案為：12

【分析】根據正態(tài)分布的對稱性，即可求解.14．【答案】y=1（答案不唯一）【知識點】圓的切線方程【解析】【解答】解：當直線l的斜率不存在時，因為圓G：(x?4)2+(y+1)2=4的圓心為4，?1半徑為2，所以和圓行相切的直線為x=2或x=6，橢圓的左右頂點分別為2，0，?2，0，直線x=2也是橢圓的切線，所以直線x=2與圓和橢圓同時相切；

當直線l的斜率為0時，與橢圓相切的直線為y=1和y=?1，此時y=1也是圓的切線，所以直線y=1與圓和橢圓同時相切；

當直線l的斜率存在并且不為0時，設直線l的方程為y=kx+t，易知k<0，圓心到直線的距離d=4k+1+t1+k2=2①，直線與橢圓方程聯立得y=kx+tx24+y2故答案為y=1（答案不唯一）：.

【分析】根據題意，分直線l斜率不存在；斜率為0和斜率存在且不為0三種情況求與圓和橢圓同時相切的直線即可.15．【答案】11【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】解：過點P作下底面的垂線，垂足為O，再作PF⊥BC，PE⊥AB，PG⊥AC，分別交BC，AB，AC于點F，E，G，連接OE，OF，OG，因為PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，又因為PE∩PO=P，所以AB⊥平面PEO，即AB⊥OE，同理可得CB⊥OF，OG⊥AC，設PE=?1，PF=?2，PG=?3，OP=?，因為底面等邊三角形的面積為3，所以底面邊長為2，又因為三棱錐P?ABC的表面積為6+3，所以三棱錐的側面積為6，即?1+?2+?3=6，所以?2故答案為：113

【分析】過點P作下底面的垂線，垂足為O，再作PF⊥BC，PE⊥AB，PG⊥AC，分別交BC，AB，AC于點F，E，G，連接OE，OF，OG，根據已知條件得到關于三棱錐高的方程，利用琴生不等式求出高的最大值，最后代入三棱錐體積公式求體積得最大值即可.16．【答案】54【知識點】分類加法計數原理【解析】【解答】解：根據題意，至少拿出1個球，最多能拿出4個球：

當拿出1個球時，有C81=8種不同的方法；

當拿出2個球時，因為拿出的2個球不能相鄰，所以可看成拿出2個放入余下的6個球排成一排形成7個空位中，因此取2個球有C72=21種不同的方法；

當拿出3個球時，由于3個球不相鄰，可看成拿出3個放入余下的5個球排成一排形成6個空位中，因此取3個球有C6故答案為：54.

【分析】根據已知條件，利用分類加法計數原理，結合組合、插空法列式計算即可.17．【答案】（1）解：CDAB//BD，（2）解：設λ(a→+kb→)=(k+1)a→+b→，則λa=k+1，λk=1解得k=?1±52【知識點】平面向量的共線定理【解析】【分析】（1）由題意得CD→=2AB→，從而證得A，18．【答案】（1）證明：∵四邊形AA∴AA又∵平面ABC⊥平面AA1C1C且AA1∴AA1⊥（2）解：由AC=4，BC=5，∴AB⊥AC建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1∴BC1=(4，?3設平面A1C1B的一個法向量為n1則n1?BC1∴n1n2?BC1∴n2∴|cosn∴平面A1C1B與平面【知識點】直線與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）四邊形AA1C1C是正方形，AA1⊥AC．因為平面ABC⊥平面AA1C1C，證得AA119．【答案】（1）解：由正弦定理，abcosC=由余弦定理aa（2）解：acosC=由a?b<c，acosC∈[【知識點】正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)由正弦定理得abcosC=c2，結合余弦定理a2+b20．【答案】（1）解：由題意知f(x)=ex?asinx則f′(x)=e故a=excosx顯然g(x)=excosx又g(0)=1，limx→π2當a>1時，f′(x)=e又f′(0)=1?a<0，f′(π此時當x∈(0，α)時，f′(x)<0，當所以f(x)在(0，f(x)在(α，π2)上單調遞增，故因此實數a的取值范圍a>1.（2）解：由題得，g(x)=gg'(x)在(?∞，ln(?b))上小于0g'(x)只需證明?b+bln(?b)≥bln(?即?1+即?1≤ln(e>2，該式子顯然成立【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；函數零點存在定理【解析】【分析】（1）由題意得a=excosx，設g(x)=excosx(x∈(0，π2))，根據g(x)在(0，π2)單調遞增，可得a>1，再結合導數研究函數的單調性與極值，檢驗實數a的取值范圍a>121．【答案】（1）解：設E：x2a∴E（2）設Mx1，y1，Nx2，y2、聯立方程組k1x?y+2k1=0x24+y2【知識點】橢圓的標準方程；直線與圓錐曲線的關系【解析】【分析】（1）設E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，易得c=3，根據焦點三角形面積公式可得b=1，再由a2=b2+c2，解得a=2，即可求得橢圓E的方程；

（2）設點22．【答案】（1）解：22累加得Sna（2）解：設cc2(設n+2n+1=tft>1cn+1>ln?lnn=ln1+b設f(x)=x+ln(1?x)b原不等式得證（3）解：設每次乘坐到新列車的概率為p，還未乘坐過n列，則pn=n84E(X)ln85+E(X)ln84=2ln2+ln3+ln7≈4E(X)E(X)【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；等差數列的通項公式【解析】【分析】（1）由題意2Sn=n2+an，得到an=2n?1?an?1，累加得an=n，檢驗n=1時也成立，所以an=n；

（2）設cn=(1+12+13

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：150分分值分布客觀題（占比）65.0(43.3%)主觀題（占比）85.0(56.7%)題量分布客觀題（占比）13(59.1%)主觀題（占比）9(40.9%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值（占比）多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，漏選得2分，有選錯或未選的得0分。4(18.2%)20.0(13.3%)單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的。8(36.4%)40.0(26.7%)填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。4(18.2%)20.0(13.3%)解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。6(27.3%)70.0(46.7%)3、試卷難度結構分析序號難