自動控制原理 第六版 第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡繪制

第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡的繪制11/20/2021“

”；前面學習了根軌跡的基本概念和繪制基本準則（性質），這里將手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟羅列如下：標注開環(huán)極點“

”和零點○確定實軸上的根跡區(qū)間；畫出n-m條漸進線。其與實軸的交點（稱為重心）和傾角分別為：計算極點處的出射角和零點處入射角：21/20/2021計算根軌跡和虛軸的交點；計算會合點和分離點：利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。注意：后兩步可能不存在；在判斷大致形狀時，需知道根軌跡的支數(shù)、連續(xù)性和對稱性。31/20/2021一、單回路負反饋系統(tǒng)的根軌跡前面所討論的根軌跡（180度根軌跡）是基于單回路負反饋系統(tǒng)的。，畫根②實軸上根軌跡區(qū)間是：[-2，0]；③漸進線傾角：與實軸的交點為：[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：軌跡。[解]：①標出四個開環(huán)極點：0，-2，。有四條根軌跡。41/20/2021④-3+4j處的出射角

：根據(jù)對稱性，可知-3-j4處的出射角

為：⑤與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程為：勞斯陣為：當勞斯陣某一行全為零時，有共。，軛虛根。這時，輔助方程為：解得共軛虛根為：即為根軌跡與虛軸的交點。51/20/2021⑥會合點與分離點（重根點）：分離角為由得：由上式可求出分離點。但高階方程求解困難，可采用-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-1.8-2.08.5814.5718.2820.0120.018.4715.5911.496.28下述近似方法：我們知道，分離點在負實軸[-2，0]區(qū)間上，所以當s在實數(shù)范圍內變化時，

最大時為分離點。s可見分離點在-0.8~-1.0之間，近似取-0.9。61/20/2021⑦繪制根軌跡，如下圖所示。-3-2012-5-4-1Real

Axis54321Imag

Axis0-1-2-3-471/20/2021[例4-7]設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試繪制根軌跡。[解]：⑴開環(huán)零點

，開環(huán)極點根軌跡有兩支。起點在極點處，終點一支在開環(huán)零點處。一支在無窮遠處。⑵實軸上根軌跡區(qū)間：⑶分離點和會合點：例4-4中已求得，分別為分離點=-0.33,會合點=-1.67，分離角⑷繪制根軌跡。81/20/2021[例4-8]設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試繪制系統(tǒng)的根軌跡。[解]：開環(huán)零，極點分別為：⑴根軌跡有四支。⑵漸近線傾角重心：⑶實軸上根軌跡區(qū)間⑷實軸上無分離點和會合點。91/20/2021輔助方程為：⑸出射角：對⑹與虛軸的交點：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根。令：101/20/2021-3-2012-2.5-4⑺繪制根軌跡圖，見下圖2.5-1Real

Axis21.510.5Imag

Axis0-0.5-1-1.5-2111/20/2021有零極點相對消的情況。-特殊情況(了解)：對于開環(huán)傳遞函數(shù)如：則：

，引起特征方程階數(shù)的下降。處理方法見下圖：-式中：繪制根軌跡可得

的極點。閉環(huán)以開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)

的極點由

和組合而成。的極點來補充。見下由零極點相對消減少的極點由頁圖。121/20/2021131/20/2021二、多回路系統(tǒng)的根軌跡（了解）簡單處理辦法：將多回路系統(tǒng)等效為單回路系統(tǒng)，再繪制180度根軌跡或參量根軌跡。三、正反饋系統(tǒng)的根軌跡（了解）以上我們討論的都是閉環(huán)負反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準則。在實際的復雜系統(tǒng)中，可能有局部的正反饋的結構。正反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準則與負反饋系統(tǒng)根軌跡略有不同。如下圖所示系統(tǒng)：+開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：141/20/2021相應的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為：與負反饋系統(tǒng)根軌跡比較，幅值條件相同，相角條件不同。負反饋系統(tǒng)的相角條件件；而正反饋系統(tǒng)的相角條件是180度等相角條是0度等相角條件。注意：?負反饋系統(tǒng)根軌跡稱為180度根軌跡或簡稱為根軌跡；?正反饋系統(tǒng)根軌跡稱為0度根軌跡。151/20/2021繪制0度根軌跡的基本準則：對稱性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；起點、終點和根軌跡支數(shù)同常規(guī)根軌跡；漸進線：與實軸的交點同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為：

，有n-m個角度。實軸上的根軌跡：其右方實軸上的開環(huán)零極點之和為偶數(shù)（包括0）的區(qū)域。·分離點、會合點和分離角：同常規(guī)根軌跡；161/20/2021與虛軸的交點：同常規(guī)根軌跡；閉環(huán)極點之和與之積：同常規(guī)根軌跡。·

出射角和入射角：171/20/2021得：漸進線：與實軸的交點 傾角：實軸上根軌跡區(qū)間：[-5，-1]，[0，）分離角（點）：

由顯然，

，不在根軌跡上。分離點為：。[例4-9]：設單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試繪制系統(tǒng)的根軌跡。[解]：·

起點在0，-1，-5處，終點在無窮遠處。有3支根軌跡。181/20/2021191/20/2021比較正負反饋的根軌跡方程：若開環(huán)傳遞函數(shù)為：則正負反饋的根軌跡方程分別為：時的根可見，正反饋根軌跡相當與負反饋根軌跡的

從軌跡。所以，可將正負反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，得時的整個區(qū)間的根軌跡，201/20/2021左圖為正反饋（0度）根軌跡圖；右圖為負反饋（180度）根軌跡圖；將例4-9的給