特訓(xùn)08圓錐曲線壓軸題（解析版）

特訓(xùn)08圓錐曲線壓軸題一、解答題1．已知橢圓的C的方程：．(1)設(shè)P為橢圓C異于橢圓左右頂點(diǎn)上任一點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，試證明為定值．(2)求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．(3)設(shè)橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)M，N在C上，且，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【答案】(1)(2)(3)存在點(diǎn)，使得為定值.【分析】（1）設(shè)，則，再根據(jù)斜率公式代入即可計(jì)算的值；（2）設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，利用點(diǎn)差法可得，聯(lián)立直線和橢圓，即可得的范圍（3）設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過(guò)定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.（1）設(shè)，因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，所以，所以，所以，所以.故為定值.（2）設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為.則，①，②①減②得：，.又，.由于弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，聯(lián)立故斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程：（3）設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過(guò)點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.2．已知拋物線：（），直線交于A、B兩點(diǎn).(1)若當(dāng)時(shí)，，求p的值；(2)如圖，（i）若，求面積的最小值.（ii）拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線分別與y軸交于C、D，AC和BD交于G，.證明：存在實(shí)數(shù)，使得.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】(1)聯(lián)立直線與拋物線方程，由弦長(zhǎng)公式可得答案.(2)（i）設(shè)，∴，，三點(diǎn)共線，又∵為的中點(diǎn)，，聯(lián)立方程，得出韋達(dá)定理，代入面積公式，可得出答案.（ii）求出兩切線方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分k=0、k≠0兩種情況討論，在時(shí)，推導(dǎo)出重合，可得出存在；在時(shí)，求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系可得出，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可證得結(jié)論成立.（1）當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立即，，，，即，∴或（舍去）.（2）（?。┝睿瑒t，∵，∴，，三點(diǎn)共線，又∵為的中點(diǎn)，∴，聯(lián)立消去得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值為.（ⅱ）即，，設(shè)，，切線方程：，即，令，則同理可得，令，則聯(lián)立，則∴若時(shí)，三點(diǎn)重合，則，又所以存在，使得當(dāng)時(shí)，為的重心，則中點(diǎn)，即，∴，∴，又∵，∴，存在實(shí)數(shù)，使得.3．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)及、．(1)求橢圓的方程；(2)求證：為定值；(3)求的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)離心率以及在橢圓方程上即可聯(lián)立求解，．（2）分兩種情況討論：當(dāng)與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，可求的長(zhǎng)度，當(dāng)一般情況時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解；（3）根據(jù)第二問(wèn)的結(jié)論，結(jié)合基本不等式求最值的方法即可求解.（1）由，得，，．①，由橢圓過(guò)點(diǎn)知，②．聯(lián)立①②式解得，．故橢圓的方程是．（2）為定值．證明：橢圓的右焦點(diǎn)為，分兩種情況．不妨設(shè)當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，則．此時(shí)，，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，則．又設(shè)點(diǎn)，，，．聯(lián)立方程組，消去并化簡(jiǎn)得，，，，由題知，直線的斜率為，同理可得所以為定值．（3）解：由（2）知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)取等號(hào)，的最小值為．4．已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為．過(guò)作互相垂直的兩條直線、，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為、．(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，，(3)【分析】（1）根據(jù)題意得橢圓過(guò)點(diǎn)、離心率和計(jì)算可得答案；（2）分直線、斜率均存在且不為0、直線、斜率一個(gè)不存在一個(gè)為0時(shí)，設(shè)，，，，聯(lián)立直線和橢圓方程利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)坐標(biāo)，再分、求直線方程可得直線過(guò)定點(diǎn)；（3）分直線或斜率一個(gè)不存在一個(gè)為0、直線、斜率均存在且不為0時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式可得，可得，再利用基本不等式求解即可.【解析】（1）由題意得橢圓過(guò)點(diǎn)，，解得，，，；（2）當(dāng)直線、斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，則，，，由，，得，，，由，，得，，可得，①當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的方程為，化簡(jiǎn)得，過(guò)定點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線、斜率一個(gè)不存在一個(gè)為0時(shí)，、的中點(diǎn)坐標(biāo)分別為、時(shí)．直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)；（3）當(dāng)直線或斜率一個(gè)不存在一個(gè)為0時(shí)，，當(dāng)直線、斜率均存在時(shí)且不為0時(shí)，由（2）得，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，綜上，四邊形面積的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問(wèn)中，設(shè)直線方程為，，利用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再求直線方程然后求定點(diǎn)，第三問(wèn)中求出，求出面積表達(dá)式，然后利用基本不等式求最值.解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、韋達(dá)定理和基本不等式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力.5．已知橢圓的離心率為，設(shè)是C上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心作一個(gè)半徑的圓，過(guò)原點(diǎn)作該圓的兩切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P、Q，若存在圓M與兩坐標(biāo)軸都相切．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線OP，OQ的斜率都存在且分別為，，求證：為定值；(3)證明：為定值？并求的最大值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析，最大值為．【分析】（1）由存在圓M與兩坐標(biāo)軸都相切確定圓心M坐標(biāo)，由離心率及點(diǎn)M坐標(biāo)即可列方程組求參數(shù)；（2）分別聯(lián)立兩切線與圓消元得方程，由判別式為0可得，是該方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理及點(diǎn)在橢圓C上可得為定值；（3）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)，，由（2）得，結(jié)合，在橢圓C上，可得，，即有，當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)可直接求；最后由均值定理可得的最大值.【解析】（1）由橢圓的離心率，則，又存在與兩坐標(biāo)軸都相切，則此時(shí)圓心，代入，解得：，則，∴橢圓方程：．（2）因?yàn)橹本€，與圓M相切，由直線與圓聯(lián)立，可得，同理，由判別式為0可得，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，所以．（3）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，在橢圓C上，所以，整理得，所以，所以．當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有，綜上，，所以，所以的最大值為．【點(diǎn)睛】（2）中由判別式為0可得，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，以及點(diǎn)在橢圓上可得方程，即可進(jìn)一步消元化簡(jiǎn).6．已知雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)，直線與雙曲線分別交于另一點(diǎn).①若直線與直線的斜率都存在，并分別設(shè)為.是否存在實(shí)常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.②證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)①存在，；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）由點(diǎn)差法可得，結(jié)合及，可求得結(jié)果.（2）①又直線與雙曲線相交可求得，再設(shè)，聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理可求得的坐標(biāo)，進(jìn)而得，代入可求解.②由①知,由對(duì)稱性知過(guò)的定點(diǎn)在軸上，計(jì)算可得解.【解析】（1）由題意知，直線的斜率為，設(shè)，由題意，兩式相減得：，整理得：，即，又，所以，即雙曲線，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.（2）①因?yàn)榈男甭蚀嬖谇?，設(shè)，，聯(lián)立，消去整理得：，由題意得，解得又，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，由韋達(dá)定理得，又，，于是，故，同理可得，，，為定值，所以的值②由①知（*），由對(duì)稱性知過(guò)的定點(diǎn)在軸上，在（*）令，得，解得直線恒過(guò)定點(diǎn)7．已知橢圓和雙曲線的焦距相同，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)是；證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)在橢圓上列出方程，解之即可得解；（2）先利用點(diǎn)在橢圓上及斜率公式證得，再聯(lián)立直線方程分別求得的坐標(biāo)，從而寫出以為直徑的圓的方程，令，即證得該圓必經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn).【解析】（1）因?yàn)殡p曲線為，所以，又因?yàn)闄E圓和雙曲線的焦距相同，所以，將代入橢圓方程，可得，解得或（舍去），故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）是，證明如下：由（1）得橢圓：，所以，令，則由題設(shè)可知，所以直線的斜率的斜率為，又點(diǎn)在橢圓上，所以，從而有，又易得的方程為，直線的方程為，由，解得，由，解得，所以，直線與直線的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，故有，又，所以以為直徑的圓的方程為，令，則，解得或，所以以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決問(wèn)題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，一是利用點(diǎn)在橢圓上證得，二是以為直徑的圓的方程為.8．已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為，過(guò)F且斜率不為0的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，C為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線DA，DB分別交直線于點(diǎn)M，N，求證：以MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)F．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，借助為等腰直角三角形的幾何性質(zhì)求解的值，再根據(jù)，b，c的關(guān)系求b,進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）首先設(shè)直線AB的方程為，然后通過(guò)直線與曲線聯(lián)立，并通過(guò)韋達(dá)定理求解與的值，再借助，點(diǎn)的坐標(biāo)求解與點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用坐標(biāo)表示，代入與的值求得，進(jìn)而得證，即可得到結(jié)果.【解析】（1）由題易知，當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，為等腰直角三角形，所以，又，，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，設(shè)直線AB的方程為，，，把直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，整理得，，則，．設(shè)，，由M，A，D三點(diǎn)共線得，得，同理，由N，B，D三點(diǎn)共線，得．，所以，故以MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)F．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題第（2）問(wèn)的關(guān)鍵是將點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)分別用點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)表示出來(lái)，結(jié)合直線的斜率公式及根與系數(shù)的關(guān)系證得，從而證得，即可得到結(jié)果．9．橢圓的離心率是，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立？存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，列出方程組求解即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，從而利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用點(diǎn)線距離公式求得，由此即可求得的面積；（3）分類討論，當(dāng)平行于軸時(shí)，判斷得點(diǎn)在軸上；當(dāng)垂直于軸時(shí)，進(jìn)一步求得；當(dāng)不平行于軸且不垂直于軸時(shí),驗(yàn)證得滿足一般情況，從而得解.【解析】（1）根據(jù)題意，得，解得，橢圓C的方程為.（2）依題意，設(shè)，則直線為，即，聯(lián)立，消去，得，所以，，故，又因?yàn)榈街本€的距離為，所以.（3）當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，則有，即，所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)的坐標(biāo)為；當(dāng)垂直于軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，則有，即，解得或，所以若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)不平行于軸且不垂直于軸時(shí),設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去，得，易得,，又因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，則，所以，則三點(diǎn)共線，所以；綜上：存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立，且..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．10．已知橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且右焦點(diǎn)為，點(diǎn)B在橢圓上，且點(diǎn)C為點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)B在第一象限且為等邊三角形，求該等邊三角形的邊長(zhǎng)；(3)設(shè)P為橢圓E上異于B，C的任意一點(diǎn)，直線與x軸分別交于點(diǎn)M，N，判斷是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)；(3)是定值4，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題干條件得到，結(jié)合，求出，，得到橢圓方程；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等邊三角形得到，再由，求出，從而得到等邊三角形的邊長(zhǎng)；（3）設(shè)出，，則，利用兩點(diǎn)式表達(dá)出直線的方程，求出，，結(jié)合求出是定值4.【解析】（1）長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且右焦點(diǎn)為,所以，因?yàn)?，所以，解得：，故，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）若點(diǎn)B在第一象限且為等邊三角形，設(shè)，，則，又，故，該等邊三角形的邊長(zhǎng)為；（3）是定值4，理由如下：因?yàn)镻為橢圓E上異于B，C的任意一點(diǎn)，所以直線的斜率存在，設(shè)，，則，，，則，則直線，令得：，則，直線，令得：，則，所以因?yàn)?，所以，故，故是定值，?.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線與直線結(jié)合問(wèn)題，設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，結(jié)合題目信息，進(jìn)行求解，本題中設(shè)出的未知數(shù)較多，需要結(jié)合橢圓方程用到消元思想，進(jìn)行求解定值問(wèn)題..11．已知橢圓的離心率為，橢圓的下頂點(diǎn)和上項(xiàng)點(diǎn)分別為，且，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)求直線與直線的交點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得，，，結(jié)合，求出的值，由此可得橢圓的方程；（2）設(shè)，直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離求出，最用利用三角形的面積公式可得出答案.（3）設(shè)直線的方程為，，利用韋達(dá)定理及題設(shè)條件可得，進(jìn)而得出的答案.（1）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)殡x心率為，則，設(shè)，則，又，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由直線的點(diǎn)斜式方程可知，直線的方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立，，整理得，則，所以，原點(diǎn)到的距離，則的面積.（3）由題意知，直線的方程為，即，設(shè)，則，整理得，則，因?yàn)橹本€和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，則，設(shè)，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，所以，所以，則交點(diǎn)T恒在一條直線上.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于難題.12．在上任取一點(diǎn)，記，當(dāng)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡記為．(1)寫出的標(biāo)準(zhǔn)方程，并說(shuō)明的離心率是定值（與無(wú)關(guān)）；(2)當(dāng)時(shí)，分別記為，若直線與交于4個(gè)點(diǎn)，在直線l上從上到下順次記為A，B，C，D．①與是否相等？證明你的結(jié)論；②已知，求面積的最大值．【答案】(1)，答案見(jiàn)解析(2)①，證明見(jiàn)解析；②最大值為.【分析】(1)利用代點(diǎn)法求出點(diǎn)Q的軌跡，再求其離心率即可；(2)①聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法證明的中點(diǎn)重合，由此證明，②求出的面積的解析式，再求其最值.(1)設(shè)，則，所以，化為，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.，，，為定值.(2)①設(shè)與的交點(diǎn)為，，與的交點(diǎn)為，，聯(lián)立消，整理得，，所以，，

所以的中點(diǎn)與的中點(diǎn)坐標(biāo)均為，即的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，故②直線：被橢圓：截得的弦長(zhǎng)為，所以，，，點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．13．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)橢圓和圓：.過(guò)點(diǎn)作直線和，且兩直線的斜率之積等于，與圓相切于點(diǎn)，與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，．（i）求的取值范圍；（ii）求面積的最大值．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）結(jié)合橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率，即，，的關(guān)系即可求解；（2）（i）可設(shè)的斜率為，則的斜率為，從而得到直線，的方程，由與圓相切于點(diǎn)，可得到，由與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，得到，由，即可求解；（ii）設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，從而得到，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得到到直線的距離，即可表示出的面積，從而求解.【解析】（1）由題意，，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）由題意，兩直線、的斜率均存在，且兩直線的斜率之積為1，設(shè)的斜率為，則的斜率為，則直線的方程為，即，直線的方程為，即，與圓相切于點(diǎn)，，化簡(jiǎn)得，由得，，，化簡(jiǎn)得，，由得，，代入上式化簡(jiǎn)得，，解得，又，則，得，所以的取值范圍是.（ii）設(shè)，，由（1）可知，，，又，又原點(diǎn)到直線的距離，面積，設(shè)，則，由以及得，所以當(dāng)時(shí)，面積取最大值.所以面積的最大值是.14．如圖，已知橢圓與等軸雙曲線共頂點(diǎn)，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（2，-1）作兩直線與橢圓相交于相異的兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ).直線AB與x，y軸正半軸相交，分別記交點(diǎn)為M，N.(1)若的面積為，求直線AB的方程；(2)若AB與雙曲線的左?右兩支分別交于Q，R，求的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，先求出橢圓方程和雙曲線的方程，然后聯(lián)立直線和橢圓方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，即得，設(shè)，根據(jù)的面積為求出的值即可求解；（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，先求出，再根據(jù)的范圍即可求解.(1)解：由題得，解得，所以橢圓的方程為，等軸雙曲線的方程為.由題意，直線PA的斜率存在，設(shè)PA：，則PB：，聯(lián)立，消去得，所以，又，所以，則將換成，得，所以，設(shè)，由，消去得，，所以得，則，，，所以，解得，所以直線AB的方程為；(2)解：由，消去得，解得，所以，，，則，，，所以的取值范圍為．15．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為雙曲線：的右頂點(diǎn)，直線與的一條漸近線平行.（1）求的方程；（2）如圖，?為的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上，且的平分線與軸?軸分別交于點(diǎn)?，試比較與的大小，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，設(shè)過(guò)點(diǎn)?的直線與交于?兩點(diǎn)，求的面積最大值.【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）最大值.【分析】（1）根據(jù)橢圓的方程，即可求得雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜率及雙曲線的性質(zhì)，即可求得雙曲線的方程；（2）根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得，方程，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求得，，即可求得；（3）將直線方程代入雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及三角形的面積公式，換元及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△的面積最大值．【解析】解：（1）橢圓的右焦點(diǎn)為為雙曲線，的右頂點(diǎn)，，直線與的一條漸近線平行，，，雙曲線的方程為，（2），理由如下：、為的左右焦點(diǎn)，，，，，直線方程為，直線方程為，即直線方程為，直線方程為，由點(diǎn)在的平分線上，得，由，，以及，解得，，，解得，結(jié)合，則；（3）由（2）可知：直線的方程為：，令，得，故點(diǎn)，，由，消去得，，設(shè)，，，，則，，，由，，，，，△的面積，設(shè)，，則△的面積，時(shí)，即為，時(shí)，△的面積最大值為．【點(diǎn)睛】解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)法以及均值不等式法.16．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與，兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)求的值；(3)如圖，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，在軸的同側(cè)，），且，直線與直線的交點(diǎn)為，記，的面積分別為，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意得到，從而得到拋物線：.（2）首先設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，再利用韋達(dá)定理求解.（3）設(shè)，，，，再利用韋達(dá)定理和求解即可.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€：，焦點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線：.（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理得，，所以，所以（3）設(shè)，，，，因?yàn)椋灾本€：，即。同理：直線：。聯(lián)立，解得。設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立。因?yàn)?，解得，，，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得：。所以。因?yàn)椋?，所?7．已知雙曲線E：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與雙曲線E相交于不同的兩點(diǎn)C，D，且.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線E的右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線m與雙曲線E的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，，其中，若，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可知，即，易知C，D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用可得，即可求出雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由（1）可得雙曲線E的兩條漸近線方程，又因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，且，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，又因?yàn)镻在雙曲線上，代入可得與的關(guān)系式，利用三角形面積公式及漸近線傾斜角將面積表示成的函數(shù)，最后根據(jù)和函數(shù)單調(diào)性即可求得面積的取值范圍.【解析】（1）第一步：根據(jù)求a的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)由得，即，則.第二步：根據(jù)己知條件求的值設(shè)，則，（點(diǎn)撥：直線l過(guò)原點(diǎn)O，根據(jù)對(duì)稱性可知，C，D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）由于，則，則，解得，第三步：得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（2）第一步：設(shè)出M，N，P的坐標(biāo)令，得雙曲線E的漸近線為和.不妨設(shè)，，，第二步：建立M，N，P的坐標(biāo)間的關(guān)系由于，則，，故，.由于點(diǎn)P的雙曲線E上，則，整理得，即.第三步：求面積的表達(dá)式又，同理，易知，則第四步：利用函數(shù)知識(shí)求的面積的取值范圍易知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，（點(diǎn)撥：對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用）故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.所以面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：題目當(dāng)中只有的取值范圍，所以建立的面積與的表達(dá)式至關(guān)重要，可利用共線向量的坐標(biāo)表示和三角形面積公式，以為橋梁得出與的表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求得面積的取值范圍.18．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)原點(diǎn)O到直線的距離最大時(shí)，．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)原點(diǎn)O且垂直于直線的直線與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，記四邊形PMQN的面積為S，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由原點(diǎn)O到直線的距離最大時(shí)得a，b間的關(guān)系，由離心率公式得a，c間的關(guān)系，再結(jié)合a，b，c間的關(guān)系求出a，b的值，即可寫出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分直線的斜率不存在、斜率為0、斜率存在且不為0三種情況討論，前兩種情況可直接求出的值，第三種情況，先設(shè)直線方程，并聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求出，再根據(jù)及兩點(diǎn)間的距離公式求出，進(jìn)而求出的表達(dá)式，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）直線MN過(guò)定點(diǎn)，故當(dāng)直線軸時(shí)，原點(diǎn)O到直線MN的距離最大，且最大值為，將代入橢圓方程得，所以①．因?yàn)闄E圓的離心率為，所以②．由①②及，得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）知，的坐標(biāo)為．①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，則，．②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，，則，．③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，得，設(shè)，，則，，．設(shè)，則，即，代入橢圓方程得，所以，則，所以．由對(duì)稱性知，又，所以．而，又，所以的取值范圍是，故的取值范圍是．綜上所述，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法，（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．19．已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為.過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，且直線、分別與軸交于點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入橢圓的方程得，由的面積為得，從而解得，進(jìn)而求得橢圓C的方程；（2）聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，由求得k的取值范圍，再由點(diǎn)斜式求得的方程，進(jìn)而求得，同理可得，結(jié)合，，得到，關(guān)于的關(guān)系式，從而求得的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)闄E圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，又由的面積為，可得，故，所以橢圓C的方程為.（2）因?yàn)?，，設(shè)，，則直線的方程為，令，得，所以點(diǎn)S的坐標(biāo)為，同理：點(diǎn)T的坐標(biāo)為，所以，，，故由，，可得，，由題意知直線l的方程為，所以，同理：，聯(lián)立，消去，得，所以，，又因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，故，因?yàn)?，所以，則，所以的范圍是..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．20．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，焦距為2．(1)求橢圓C的方程；(2)動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，D是橢圓C上一點(diǎn)，直線OD的斜率為，且．T是線段OD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，OP，OQ是的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，求的最大值．【答案】(1)；(2)最大值為.【分析】（1）根據(jù)焦距易得，再根據(jù)離心率為可得橢圓方程;（2）將直線與橢圓聯(lián)立得到方程組，利用弦長(zhǎng)公式得到的表達(dá)式，再利用，則可得到，即圓半徑的表達(dá)式，根據(jù)，則,則將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到的表達(dá)式，利用,將上述表達(dá)式代入，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)最值得到的最值，最終得到的最大值.（1）由題意得，，又，，，橢圓方程為：.（2）設(shè)，，聯(lián)立，得，，，，，，直線的方程為：，聯(lián)立得，，，,，令，，且，則當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)等號(hào)成立，，因此，的最大值為，綜上所述，的最大值為，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題第二問(wèn)計(jì)算量與思維量較大，對(duì)于弦長(zhǎng)公式要做到熟練運(yùn)用，角度最值轉(zhuǎn)化為在一定角度范圍內(nèi)的角的正弦值的最值，最終結(jié)合換元法，配方法等求解函數(shù)表達(dá)式的最值，從而得到角度的最值.21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)P是第一象限內(nèi)橢圓Γ上一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交橢圓Γ于點(diǎn)、，直線與交于點(diǎn)R．(1)求的周長(zhǎng)；(2)當(dāng)垂直于x軸時(shí)，求直線的方程；(3)記與的面積分別為、，求的最大值．【答案】(1)8(2)(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義直接可以得出答案；（2）根據(jù)題意可得P，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求得的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程；（3）設(shè)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可將，的縱坐標(biāo)用表示，進(jìn)而可得，然后利用三角換元，結(jié)合基本不等式即可求得最值．【解析】（1）由橢圓的方程可得，可得，可得a＝2，c＝1，由橢圓的定義可得：的周長(zhǎng)為4a＝8，所以的周長(zhǎng)為8；（2）由（1）可得，當(dāng)垂直于x軸時(shí)，則的縱坐標(biāo)為，所以，∴，直線的方程為：，聯(lián)立，解得或，則，∴，∴直線的方程為，即；（3）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，其中，聯(lián)立，消去x并整理可得，，由韋達(dá)定理可得，，又，則，∴，同理可得.∴，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴的最大值為．【點(diǎn)睛】總結(jié)點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．22．已知雙曲線E：（，）一個(gè)頂點(diǎn)為，直線l過(guò)點(diǎn)交雙曲線右支于M，N兩點(diǎn)，記，，的面積分別為S，，.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，的值為.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若l交y軸于點(diǎn)P，，，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，若，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由題意可得，再由結(jié)合三角形面積公式可求得，由此可得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由向量的坐標(biāo)表示求得，代入雙曲線方程得，同理可得，再由韋達(dá)定理即可得到，得證；（3）由得到，結(jié)合（2）中結(jié)論可將式子化簡(jiǎn)為，再利用換元法與雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得m的取值范圍.【解析】（1）由題意得，，則當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，不妨設(shè)，由，得，將代入方程，得，解得，所以雙曲線E的方程為．（2）設(shè)，，，由與，得，即，，將代入E的方程得：，整理得：①，同理由可得②．由①②知，，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根．由韋達(dá)定理知，所以為定值．（3）又，即，整理得：，又，不妨設(shè)，則，整理得，又，故，而由（2）知，，故，代入，令，得，由雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以m的取值范圍為．.【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的范圍問(wèn)題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.23．已知橢圓，分別為左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O作直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若周長(zhǎng)的最小值為6，面積的最大值為.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，①若直線的斜率為且的面積為，求直線方程；②若直線與x軸交于M點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的上方時(shí)，有，且直線與圓相切于點(diǎn)N，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）考慮直線斜率不存在和斜率存在下，周長(zhǎng)的最小值和面積最大值，得到，，結(jié)合，求出，，得到橢圓方程；（2）①設(shè)出直線：，聯(lián)立后用韋達(dá)定理，表達(dá)出的長(zhǎng)度，結(jié)合的面積為，求出直線方程；②利用，得到，結(jié)合韋達(dá)定理求出，再用勾股定理求出的長(zhǎng).（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，，周長(zhǎng)為，面積為當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，聯(lián)立：，可得：，設(shè)，則，，所以根據(jù)對(duì)稱性，，故，此時(shí)周長(zhǎng)為，其中，因?yàn)?，故，則，所以當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，周長(zhǎng)最小，即，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，，要想面積最大，則越大，故當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，面積最大為，所以，由，解得：，，橢圓E的方程為：（2）①設(shè)直線：，聯(lián)立，可得：，由得：設(shè)，則，，所以設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則，故，解得：或，符合要求故直線的方程為或②設(shè)直線：，則，聯(lián)立，可得：，則①，②由可得：，代入①②式中，可得：因?yàn)橹本€與圓相切于點(diǎn)N，所以，解得：，代入中，解得：或（舍去）設(shè)圓的半徑為，此時(shí)【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．24．已知橢圓，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.（1）求拋物線的方程及的值；（2）若直線AB交橢圓于C、D兩點(diǎn)，、分別是、的面積，求的最小值.【答案】（1）拋物線的方程為：，；（2）最小值為.【分析】（1）依題意得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而可得其方程為；設(shè)過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為（），代入，由得，進(jìn)而可得；（2）先證得直線恒過(guò)定點(diǎn)，且斜率不為零，故設(shè)直線的方程為，將其與拋物線聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式求得，再將其與橢圓聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式求得，進(jìn)而得，從而可得結(jié)果.【解析】（1）依題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，所以拋物線的方程為.設(shè)，過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為（），將其代入得，由得，即，所以.（2）設(shè)，，由（1）知，，即，，則以為切點(diǎn)的切線方程為，即，同理，以為切點(diǎn)的切線方程為，因?yàn)閮汕芯€均過(guò)點(diǎn)，所以，，則切點(diǎn)弦的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，且斜率不為零，故設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，則，則；聯(lián)立得，設(shè)，，則，則，則，故當(dāng)時(shí)，有最小值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是：證得直線恒過(guò)定點(diǎn).25．已知橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（3）如圖，四邊形是矩形，橢圓相切于點(diǎn)，與橢圓相切于點(diǎn)，與橢圓相切于點(diǎn)，與橢圓相切于點(diǎn)求矩形面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用已知條件建立關(guān)于的方程組，聯(lián)立即可求解；（2）設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而可以求解；（3）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，矩形的面積為，當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求出，同理求出，進(jìn)而表示出矩形的面積，利用函數(shù)思想即可求解．【解析】解：（1）由已知可得：，解得，，，所以橢圓的方程為；（2）因?yàn)椋梢阎傻弥本€的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立方程，消去整理可得：，所以，，所以，化簡(jiǎn)可得，所以，則直線的方程為；（3）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，矩形的面積為，當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去整理可得：，所以，解得，所以，同理可得所以矩形的面積，令，所以，又，所以，則，當(dāng)即時(shí)，取得最大值為，所以，所以，綜上，矩形的面積的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（3）問(wèn)解題關(guān)鍵是求出矩形的面積后，令，則，然后利用函數(shù)思想求解.26．如下圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，．（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)為；（ⅰ）求證：平行于軸；（ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（Ⅰ）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）或；（Ⅱ）僅存在一點(diǎn)適合題意.【分析】（Ⅰ）（?。┰O(shè)出的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，結(jié)合是線段的中點(diǎn)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，由此證得平行于軸.（ⅱ）利用列方程，解方程求得，進(jìn)而求得拋物線方程.（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)坐標(biāo)求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的方程和拋物線的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此進(jìn)行分類討論求得點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（Ⅰ）（?。┳C明：由題意設(shè)，，，，．由得，則，所以，．因此直線的方程為，直線的方程為．所以，①．②由①、②得，因此，即，也即.所以平行于軸．（ⅱ）解：由（?。┲?，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：，，所以，是方程的兩根，因此，，又，所以．由弦長(zhǎng)公式的．又，所以或，因此所求拋物線方程為或．（Ⅱ）解：設(shè)，由題意得，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，代入得．若在拋物線上，則，因此或．即或．（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意．（2）當(dāng)，對(duì)于，此時(shí)，，又，，所以，即，矛盾．對(duì)于，因?yàn)?，此時(shí)直線平行于軸，又，所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意得點(diǎn)．綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題意．【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.27．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且的漸近線方程為．(1)求的方程；(2)如圖，過(guò)原點(diǎn)作互相垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，在軸同側(cè)．①求四邊形面積的取值范圍；②設(shè)直線與兩漸近線分別交于，兩點(diǎn)，是否存在直線使，為線段的三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①；②不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意求得，即可得解；（2）①易知直線，的斜率均存在且不為，設(shè)，的方程為，則的方程為，聯(lián)立，消元，則，利用韋達(dá)定理求得，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得，同理可求得的范圍及，再根據(jù)整理即可得出答案；②設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消元，根據(jù)求得的關(guān)系，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長(zhǎng)公式求得，易求得的坐標(biāo)，即可求出，再根據(jù)，為線段的三等分點(diǎn)，可得，結(jié)合，可得兩個(gè)等量關(guān)系，從而可得出結(jié)論.(1)解：由題意有，則，將點(diǎn)代入雙曲線方程得，聯(lián)立解得，故的方程為；(2)解：①，易知直線，的斜率均存在且不為，設(shè)，的方程為，則的方程為，聯(lián)立，消整理得，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，故且，則，則，則，聯(lián)立，消整理得，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，故且，解得，則，則，根據(jù)對(duì)稱性可知四邊形為菱形，其面積，，∴，∴，∴，；②，假設(shè)滿足題意的直線存在，易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則且，解得且，由韋達(dá)定理有，則，不妨設(shè)為直線與漸近線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)椋瑸榫€段的三等分點(diǎn)，，即，整理得，①，，則，即，，整理得,②聯(lián)立①②得，無(wú)解，故沒(méi)有滿足條件的直線．【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線及球求雙曲線的方程，還考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)，考查了雙曲線中三角形的面積問(wèn)題，考查了探究雙曲線中直線的存在性問(wèn)題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力及數(shù)據(jù)分析能力，計(jì)算量很大，屬于難題.28．已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，，且，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求△OMN的面積；(3)求證：直線與直線的交點(diǎn)T恒在一條定直線上．【答案】(1),(2),(3)見(jiàn)（3）詳解.【分析】(1)由可得，結(jié)合離心率可求基本量，進(jìn)而得橢圓的方程.(2)寫出直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可求出，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，從而可求出三角形的面積.(3)設(shè)，由在同一條直線上，且在同一條直線上，建立之間的等量關(guān)系可得證.(1)因?yàn)椋?，即，，，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(2)直線的方程為，設(shè)，方程聯(lián)立，整理得，則，所以，原點(diǎn)到的距離，則的面積.(3)設(shè)直線的方程為：，，則，整理得，則，，則，設(shè)，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，所以，所以，則交點(diǎn)T恒在一條直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)交點(diǎn)，利用三點(diǎn)共線建立動(dòng)點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的等量關(guān)系.29．已知點(diǎn)F是橢圓C：(a>b>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線l過(guò)C的下頂點(diǎn)時(shí)，l的斜率為；當(dāng)直線l垂直于C的長(zhǎng)軸時(shí)，△OMN的面積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)|MF|＝2|FN|時(shí)，求直線l的方程；(3)若直線l上存在點(diǎn)P滿足|PM|，|PF|，|PN|成等比數(shù)列，且點(diǎn)P在橢圓外，證明：點(diǎn)P在定直線上．【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析﹒【分析】(1)根據(jù)題意得：，，及，解得，，進(jìn)而可得橢圓得方程．(2)分兩種情況：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，不合題意．當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與橢圓得方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得，，由，得，組成方程組解得，進(jìn)而可得直線得方程．(3)設(shè)，，分兩種情況討論，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，由，解得，∴點(diǎn)在定直線上．(1)由題設(shè)：，，解得，，∴橢圓的方程為．(2)當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，不合題意．當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去整理得，有①，②，由，得③，聯(lián)立①②③得，解得．∴直線的方程為．(3)設(shè)，，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，∵點(diǎn)在橢圓外，∴，同號(hào)，由，得，解得，當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，由(2)知，，∵，，，∵點(diǎn)在橢圓外，∴，同號(hào)，由，得，整理得，即，解得，代入直線方程，得，∴點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交，等比數(shù)列，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力．30．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率是，曲線是拋物線在橢圓內(nèi)的一部分，拋物線的焦點(diǎn)F在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P是上的動(dòng)點(diǎn)