遼寧省北票市第三高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題含解析

遼寧省北票市第三高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.642．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A. B.C. D.3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓4．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.5．圓關(guān)于直線對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.6．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，7．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.8．盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共個(gè)，從中隨機(jī)取出個(gè)，若是肉餡包子的概率為，不是豆沙餡包子的概率為，則素餡包子的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.9．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，若（，），則（）A.2023 B.2022C.2021 D.202010．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若△MF2N的周長(zhǎng)為8，則橢圓方程為()A. B.C. D.11．若直線與圓：相切，則（）A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或212．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過(guò)三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過(guò)分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C.總體中對(duì)方式二滿意學(xué)生約為300人D.樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為24人二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比滿足(且，t為常數(shù))，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡為圓，該圓方程為_(kāi)________；過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則_________14．將參加冬季越野跑的名選手編號(hào)為：，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為的樣本，把編號(hào)分為組后，第一組的到這個(gè)編號(hào)中隨機(jī)抽得的號(hào)碼為，這名選手穿著三種顏色的衣服，從到穿紅色衣服，從到穿白色衣服，從到穿黃色衣服，則抽到穿白色衣服的選手人數(shù)為_(kāi)_________15．圓關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.16．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，分別記四棱錐，的體積為，，則的最小值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有5題，選擇題（1）甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題18．（12分）如圖，分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，軸，點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且，.（1）求橢圓C的方程；（2）已知M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，若點(diǎn)，，試探究點(diǎn)M，，N是否一定共線？說(shuō)明理由.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試問(wèn)：是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）用向量方法證明：已知直線l，a和平面，，，，求證：.21．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-mlnx-m.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有最小值g(m)，證明：g(m)在上恒成立.22．（10分）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.【詳解】數(shù)列中，，故，因?yàn)?，故，故，所以，所以為等比?shù)列，公比為，首項(xiàng)為.所以即，故，故選C.【點(diǎn)睛】給定數(shù)列的遞推關(guān)系，我們常需要對(duì)其做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），常見(jiàn)的遞推關(guān)系和變形方法如下：（1），取倒數(shù)變形為；（2），變形為，也可以變形為；2、A【解析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得【詳解】解：如圖設(shè)與圓切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為故選：A3、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.故選：4、D【解析】先求出曲線表示圓參數(shù)的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D5、D【解析】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.6、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結(jié)果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B7、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點(diǎn)的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則排除選項(xiàng)、,當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可知在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則排除，故選：.8、C【解析】計(jì)算出肉餡包子和豆沙餡包子的個(gè)數(shù)，即可求得素餡包子的個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知，肉餡包子的個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出個(gè)，不是豆沙餡包子的概率為，則該包子是豆沙餡包子的概率為，所以，豆沙餡包子的個(gè)數(shù)為，因此，素餡包子的個(gè)數(shù)為.故選：C.9、C【解析】根據(jù)題意令可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式寫出，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，令，得，又，，所以，有，解?故選：C10、A【解析】由題得c=1,再根據(jù)△MF2N的周長(zhǎng)＝4a＝8得a＝2，進(jìn)而求出b的值得解.【詳解】∵F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∴c＝1，又根據(jù)橢圓的定義，△MF2N的周長(zhǎng)＝4a＝8，得a＝2，進(jìn)而得b＝，所以橢圓方程為.故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義和橢圓方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.11、B【解析】利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出的值.【詳解】圓心為，半徑為，由題意得：，解得：或6.故選：B12、B【解析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可求出結(jié)果【詳解】選項(xiàng)A，樣本容量為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，樣本可以估計(jì)總體，但會(huì)有一定的誤差，總體中對(duì)方式二滿意人數(shù)約為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，樣本中對(duì)方式一滿意人數(shù)為，該選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】設(shè)，根據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設(shè)，則，整理得到，即.因?yàn)椋蕿榈闹悬c(diǎn)，過(guò)圓心作的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)，則，故，解得，故答案為：，.14、【解析】，所以抽到穿白色衣服的選手號(hào)碼為，共15、【解析】根據(jù)題意可得圓心坐標(biāo)為，半徑為1，利用平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱特征可得所求的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)圓關(guān)于y軸對(duì)稱的圓為，所以，半徑為1，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：16、【解析】設(shè)，用參數(shù)表示目標(biāo)函數(shù)，利用均值不等式求最值即可.【詳解】取線段AD中點(diǎn)為F，連接EF、D1F，過(guò)P點(diǎn)引于M，于N，則平面，平面，則，∴，設(shè)，則，，即，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】首先用列舉法，求得甲、乙兩人各抽一題的所有可能情況.（1）根據(jù)上述分析，分別求得“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題（2）根據(jù)上述分析，求得“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率，根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公司求得“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題【詳解】把3個(gè)選擇題因此基本事件的總數(shù)為.（1）記“甲抽到選擇題（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題【點(diǎn)睛】本小題主要考查互斥事件概率計(jì)算，考查對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）不一定共線，理由見(jiàn)解析【解析】（1）由橢圓定義可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察軸時(shí)的情況，分析可知M，，N不一定共線.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，設(shè)，，代入橢圓C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)軸時(shí)，，設(shè)，，則由已知條件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M，，N共線；所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M，，N不共線.所以點(diǎn)M，，N不一定共線.19、（1）（2）為定值，該定值為2【解析】（1）先根據(jù)焦點(diǎn)形式設(shè)出橢圓方程和焦距，根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)和半焦距為3易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，分別表示出直線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可表示出，即可求得答案【小問(wèn)1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓：，焦距為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)為所以，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由橢圓的方程可知，因?yàn)?，則直線，由已知得，直線斜率均存在，則直線，令得，直線，令得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，，則，又因?yàn)?，即，所以所以為定值，該定值?.20、（1）的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）說(shuō)明直線方向向量與平行的法向量垂直后可得【詳解】（1）解：定義域?yàn)镽，，，解得，.當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：在直線a上取非零向量，因?yàn)?，所以是直線l的方向向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所?又，所以.21、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得函數(shù)的最小值，再利用導(dǎo)數(shù)可證不等式.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以此時(shí)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，解得，由，解得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，綜上：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】由（1）知:當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，無(wú)最小值.當(dāng)時(shí)，在上上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即，則，由，解得，由，解得，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即在上恒成立.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過(guò)定點(diǎn)，從而可得到過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，從而可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程