遼寧省阜新二中2023-2024學年高二上數(shù)學期末質(zhì)量檢測試題含解析

遼寧省阜新二中2023-2024學年高二上數(shù)學期末質(zhì)量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足：對任意的均有成立，且，，則該數(shù)列的前2022項和（）A0 B.1C.3 D.42．以下命題是真命題的是（）A.方差和標準差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量B.若m為數(shù)據(jù)（i=1，2，3，····，2021）的中位數(shù)，則C.回歸直線可能不經(jīng)過樣本點的中心D.若“”為假命題，則均為假命題3．已知，是雙曲線C：（，）的兩個焦點，過點與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．直線過點且與雙曲線僅有一個公共點，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條7．已知向量，滿足條件，則的值為（）A.1 B.C.2 D.8．命題“，”的否定是A， B.，C.， D.，9．如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種10．設A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.011．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.12．為調(diào)查學生的課外閱讀情況，學校從高二年級四個班的182人中隨機抽取30人了解情況，若用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機剔除的個數(shù)分別為（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是___________.14．如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號）.①當時，S為四邊形；②當時，S為等腰梯形；③當時，S與的交點R滿足；④當時，S為六邊形；⑤當時，S的面積為.15．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且對任意，，若，，則的取值范圍是___________.16．如圖，已知橢圓C1和雙曲線C2交于P1、P2、P3、P4四個點，F(xiàn)1和F2分別是C1的左右焦點，也是C2的左右焦點，并且六邊形是正六邊形.若橢圓C1的方程為，則雙曲線方程為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為4（1）求直線AB的斜率；（2）設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程18．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點（1）若點是雙曲線的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若點P的坐標為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率19．（12分）有1000人參加了某次垃圾分類知識競賽，從中隨機抽取100人，將這100人的此次競賽的分數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計總體1000人中競賽分數(shù)不少于70分的人數(shù)；（3）假設同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，估計總體1000人的競賽分數(shù)的平均數(shù).20．（12分）已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩個不同的點，為坐標原點，若，求實數(shù)的值；21．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實數(shù)的值；（3）當時，在上有兩個極值點且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，四邊形是一塊邊長為4km正方形地域，地域內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過的路線是以中點為頂點且開口向右的拋物線的一部分（河流寬度忽略不計），某公司準備投資一個大型矩形游樂場.（1）設，矩形游樂園的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系；（2）試求游樂園面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)可知，數(shù)列具有周期性，即可解出【詳解】因為，所以，即，所以數(shù)列中的項具有周期性，，由，，依次對賦值可得，，一個周期內(nèi)項的和為零，而，所以數(shù)列的前2022項和故選：A2、A【解析】A：根據(jù)方差和標準差的定義進行判斷；B：根據(jù)中位數(shù)的定義判斷；C：根據(jù)回歸直線必過樣本中心點進行判斷；D：根據(jù)“且”命題真假關(guān)系進行判斷.【詳解】對于A，方差和標準差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量，故A正確；對于B，若為數(shù)據(jù)，2，3，，的中位數(shù)，需先將數(shù)據(jù)從小到大排列，此時數(shù)據(jù)里面之間的數(shù)順序可能發(fā)生變化，則為排序后的第1010個數(shù)據(jù)的值，這個數(shù)不一定是原來的，故B錯誤；對于C，回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，，故C錯誤；對于D，若“”為假命題，則、中至少有一個是假命題，故D錯誤；故選：A3、B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】由題意不妨設，，當時，由，不妨設，因為是等腰直角三角形，所以有，或舍去，故選：B4、A【解析】先根據(jù)雙曲線的離心率得到，然后由，得，即為所求的漸近線方程，進而可得結(jié)果【詳解】∵雙曲線的離心率，∴又由，得，即雙曲線（）的漸近線方程為，∴雙曲線的漸近線方程為故選：A5、A【解析】由，結(jié)合基本不等式可得，由此可得，由此說明“”是“”的充分條件，再通過舉反例說明“”不是“”的必要條件，由此確定正確選項.【詳解】∵，∴（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），∴（當且僅當時等號成立），若，則，∴，所以“”是“”的充分條件，當時，，此時，∴“”不是“”的必要條件，∴“”是“”的充分不必要條件，故選：A.6、C【解析】根據(jù)直線的斜率存在與不存在，分類討論，結(jié)合雙曲線的漸近線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當直線的斜率不存在時，直線過雙曲線的右頂點，方程為，滿足題意；當直線的斜率存在時，若直線與兩漸近線平行，也能滿足與雙曲線有且僅有一個公共點.綜上可得，滿足條件的直線共有3條.故選：C.【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及雙曲線的漸近線的性質(zhì)，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個易錯點，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想的應用，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】先求出坐標，進而根據(jù)空間向量垂直的坐標運算求得答案.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.8、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點：全稱命題與特稱命題9、B【解析】按涂色順序進行分四步，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進行分四步：涂A部分時，有4種涂法；涂B部分時，有3種涂法；涂C部分時，有2種涂法；涂D部分時，有2種涂法.由分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.10、A【解析】先化簡A－B，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二項式展開式，然后計算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，關(guān)鍵是通過化簡能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果在形式上滿足二項式展開式，然后計算出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，則排除選項、,當時，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.12、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機剔除人.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)拋物線的定義知點P到焦點距離等于到準線的距離即可求解.【詳解】因為拋物線方程為，所以準線方程，所以點到準線的距離為，故點到該拋物線焦點的距離.故答案為：14、①②③⑤【解析】①由如圖當點向移動時，滿足，只需在上取點滿足，即可得截面為四邊形，如圖所示，是四邊形，故①正確；②當時，即為中點，此時可得PQ∥AD，AP=QD==，故可得截面APQD為等腰梯形，等腰梯形，故②正確；③當時，如圖，延長至，使，連接交于，連接交于，連接，可證，由∽，可得，故可得，故③正確；④由③可知當時，只需點上移即可，此時的截面形狀仍然如圖所示的，如圖是五邊形，故④不正確；⑤當時，與重合，取的中點，連接，可證，且，可知截面為為菱形，故其面積為，如圖是菱形，面積為，故⑤正確，故答案為①②③⑤考點：正方體的性質(zhì).15、【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，由已知可得，由可得，可得.故答案為：.16、【解析】先根據(jù)橢圓的方程求得焦點坐標，然后根據(jù)為正六邊形求得點的坐標，即點在雙曲線上，然后解出方程即可【詳解】設雙曲線的方程為：根據(jù)橢圓的方程可得：又為正六邊形，則點的坐標為：則點在雙曲線上，可得：又解得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）y＝x＋7【解析】（1）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直線AB的斜率，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得M點坐標，設直線AB的方程為y＝x＋m，與拋物線聯(lián)立，求得根，結(jié)合弦長公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，從而求得參數(shù)m.【詳解】解：（1）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直線AB的斜率k＝＝＝1（2）由y＝，得y′＝設M(x3，y3)，由題設知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)設直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點為N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0當Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時，x1，2＝2±2從而|AB|＝|x1－x2|＝由題設知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，解得m＝7所以直線AB的方程為y＝x＋718、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，又因為且，解得，可得雙曲線方程，進而可得的漸近線方程（2）設直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理可得，，再由兩點之間距離公式得，解得，進而由可求出，即可求得離心率.【小問1詳解】∵點是雙曲線的一個焦點，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問2詳解】設直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.19、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，能求出圖中的值；（2）先求出競賽分數(shù)不少于70分的頻率，由此能估計總體1000人中競賽分數(shù)不少于70分的人數(shù)；（3）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能估計總體1000人的競賽分數(shù)的平均數(shù)【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得圖中的值為0.040（2）競賽分數(shù)不少于70分的頻率為：，估計總體1000人中競賽分數(shù)不少于70分的人數(shù)為（3）假設同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，估計總體1000人的競賽分數(shù)的平均數(shù)為：【點睛】本題主要考查頻率、頻數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線過點，且，利用拋物線的定義求解；（2）設，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達定理求解.【小問1詳解】解：由拋物線過點，且，得所以拋物線方程為；【小問2詳解】設，聯(lián)立得，，，，則，，即，解得或，又當時，直線與拋物線的交點中有一點與原點重合，不符合題意，故舍去；所以實數(shù)的值為.21、（1）答案見解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據(jù)題意求得，討論，，，時解，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設切點為則結(jié)合，得令通過求導研究單調(diào)性解得進而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導得原題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個不同零點.結(jié)合根分布可得，函數(shù)的兩個極值點為是在上的兩個不同零點可得且，代入函數(shù)中令通過單調(diào)性求出進而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當時，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當時，恒成立，所以上單調(diào)遞增.④當時，由得或