重慶市萬州第二高級(jí)名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

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數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.下列說法正確的是

A.我校愛好足球的同學(xué)組成一個(gè)集合

B.是不大于3的自然數(shù)組成的集合

C.集合和表示同一集合

D.數(shù)1，0，5，，，，組成的集合有7個(gè)元素

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合的含義逐一分析判斷即可得到答案

【詳解】選項(xiàng)A，不滿足確定性，故錯(cuò)誤

選項(xiàng)B，不大于3的自然數(shù)組成的集合是，故錯(cuò)誤

選項(xiàng)C,滿足集合的互異性，無序性和確定性，故正確

選項(xiàng)D，數(shù)1，0，5，，，，組成的集合有5個(gè)元素，故錯(cuò)誤

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的含義，利用其確定性、無序性、互異性進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題．

2.若全集且，則集合的真子集共有（）

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】先利用補(bǔ)集求得集合A，進(jìn)而得到真子集的個(gè)數(shù).

【詳解】解：因?yàn)槿遥?/p>

所以,

所以集合的真子集共有，

故選：C

3.“兩個(gè)三角形相似”是“兩個(gè)三角形三邊成比例”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，由“兩個(gè)三角形相似”可得到“兩個(gè)三角形三邊成比例”，即充分性成立；

反之：由“兩個(gè)三角形三邊成比例”可得到“兩個(gè)三角形相似”，即必要性成立，

所以“兩個(gè)三角形相似”是“兩個(gè)三角形三邊成比例”的充分必要條件.

故選：C.

4.下列四個(gè)命題為真命題的是（）

A.若，則B.若，則

C.若，則D.若，則

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后證明正確的選項(xiàng).

【詳解】取，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

取，則，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

取，則由解得，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，由得，故B選項(xiàng)正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，考查差比較法比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)全集，集合，，則下列運(yùn)算關(guān)系正確的是（）．

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】分別求解出集合中表示元素的范圍，則集合可知，然后對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可，注意每個(gè)集合中的表示元素是哪一個(gè).

【詳解】因?yàn)橹?，所以，所以?/p>

因?yàn)橹?，所以，所以?/p>

A．，錯(cuò)誤；

B．因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤；

C．，正確；

D．因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算對(duì)錯(cuò)的判斷，難度一般.用描述法表示的集合一定要注意其表示元素是哪一個(gè).

6.若命題“，使得成立”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[1，+∞)B.[0，+∞)C.(，1)D.(，0]

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)命題和它的否定命題一真一假，寫出它的否定命題，再根據(jù)否定命題為真命題即可求出的取值范圍.

【詳解】命題“，使得成立”為假命題,則它的否定命題:

“，”為真命題

所以

解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是

故選：A.

7.設(shè)，若不等式的解集是，則不等式的解集為（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由題知，且，再解不等式即可.

【詳解】解：因?yàn)椴坏仁降慕饧牵?/p>

所以，，2是方程的兩個(gè)根，且，

所以，由韋達(dá)定理，即，且，

所以，不等式化為，解得，

所以，不等式的解集為.

故選：D

8.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，進(jìn)而求出的最大值，設(shè)及，然后通過基本不等式求得答案.

【詳解】由題意可得，對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”.

所以，即實(shí)數(shù)a的最小值為.

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列關(guān)于符號(hào)“”使用正確的有（）

A.B.

C.D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：，，所以，故B正確；

對(duì)于C：，故C正確；

對(duì)于D：或，故D錯(cuò)誤；

故選：BC

10.下列命題為真命題的是（）

A.，

B.設(shè)全集為，若，則

C.“”是“”的必要不充分條件

D.“和都是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的必要不充分條件

【答案】ABC

【解析】

【分析】對(duì)A，舉例判斷即可；對(duì)B，由補(bǔ)集的概念即可判斷；對(duì)C，分別判斷必要性與充分性；對(duì)D，分別判斷必要性與充分性.

【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，成立，A正確；

對(duì)B，全集為，，如圖所示，

由補(bǔ)集的定義可知，成立，故B正確；

對(duì)C，“”可得“”成立，“”不能推倒得“”成立，

所以“”是“”的必要不充分條件，C正確；

對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不是無理數(shù)，不滿足充分性，

當(dāng)時(shí)，，不都是無理數(shù)，不滿足必要性，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

11.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（）

A.為定值

B.的最小值為

C.最大值為

D.無最小值

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解可得，進(jìn)而代入選項(xiàng)中，結(jié)合基本不等式以及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由于的解集為，所以，

因此，故A正確，

，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確，

，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤，

在單調(diào)遞增，由于，故無最小值，故D正確，

故選：ABD

12.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）

A.的最大值為B.的最大值為

C.的最小值為D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式求最值判斷ABC，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得的取值范圍判斷D．

詳解】，且，，，

對(duì)于A，利用基本不等式得，化簡得，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故B正確；

對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C正確；

對(duì)于D，

利用二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

，

，故D正確；

故選：BCD．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.命題“，”的否定是___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.

【詳解】因?yàn)槊}“，”是全稱量詞命題，

所以其否定是存在量詞命題，即為，

故答案為：

14.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則____．

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)兩個(gè)集合相等的關(guān)系，求得a，b的值，再求a2023+b2023的值．

【詳解】解：由題意，0∈{a，，1}及a≠0，

可得=0，即b=0，

從而{a，0，1}={a，a2，0}，

進(jìn)而有a2=1，即a=﹣1或1（舍去）（集合元素的互異性），

故a2023+b2023=﹣1，故答案為﹣1．

【考點(diǎn)】集合相等和集合元素的互異性．

【點(diǎn)睛】集合相等要分類討論，以及利用元素的互異性進(jìn)行取舍是解決本題的關(guān)鍵．

15.已知關(guān)于的不等式，關(guān)于此不等式的解集有下列結(jié)論，其中正確的有__________.

①不等式的解集可以是

②不等式的解集可以是

③不等式的解集可以是

④不等式的解集可以是

【答案】②④

【解析】

【分析】在假設(shè)結(jié)論成立時(shí)求出值進(jìn)行判斷①④，舉特例判斷②③．

【詳解】①：假設(shè)結(jié)論成立，則，解得，則不等式為，

解得，與解集是矛盾，故錯(cuò)誤；

②：當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，則解集是，故正確；

③：當(dāng)時(shí)，不等式，則解集不可能為，故錯(cuò)誤；

④：假設(shè)結(jié)論成立，則，解得，符合題意，故正確；

故答案為：②④

16.若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.

【答案】或##

【解析】

【分析】要使有解，則大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以此時(shí)，所以的最小值為，由題可得，解得或.

故填：或

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）解不等式．

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根據(jù)一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出結(jié)果；

（Ⅱ）先移項(xiàng)通分，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】（Ⅰ）由得，即，

解得或，

所以不等式的解集為或；

（Ⅱ）由得，即，即，

解得，即不等式的解集為；

18已知集合，，.

（1）求；

（2）若，求m的取值范圍.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合A，由交集和并集的定義即可得出答案；

（2）由可得，討論和，求解即可.

【小問1詳解】

，

所以.

【小問2詳解】

因?yàn)?，所以?/p>

若，則，解得：，

若，則，解得：，

所以m的取值范圍為：.

19.（1）已知，，求的取值范圍；

（2）已知a，b是正常數(shù)，且，，求證：，指出等號(hào)成立的條件；

【答案】（1）；（2）證明見解析，時(shí)等號(hào)成立

【解析】

【分析】（1）把用和表示后由不等式的性質(zhì)得結(jié)論；

（2）作差變形后與0比較，或利用基本不等式證明．

【詳解】（1）設(shè)，其中，

則，解得，即，

因?yàn)?，則，，

可得，

所以的取值范圍為；

（2）解法一：

，

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

解法二：，

，

故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

20.已知集合，集合.

（1）當(dāng)時(shí)，求；

（2）命題：，命題：，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）把代入化簡，求解一元二次不等式化簡，再由交集運(yùn)算得答案；

（2）由是的充分條件，得．然后對(duì)分類求解，再由兩集合端點(diǎn)值間的關(guān)系列不等式組求解．

【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，

．

；

（2），，若是的充分條件，

則．

因?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí)，，顯然成立；

當(dāng)時(shí)，，，

，解得；

當(dāng)時(shí)，，，

，解得．

實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【點(diǎn)睛】本題考查交集及其運(yùn)算，考查充分必要條件的判定及其應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．

21.某學(xué)校要建造一個(gè)長方體形的體育館，其地面面積為，體育館高，如果甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為：館頂每平方米的造價(jià)為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米250元，設(shè)體育館前墻長為米．

（1）當(dāng)前墻的長度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？

（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍．

【答案】（1）當(dāng)前墻的長度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元

（2）當(dāng)時(shí)，無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意求出報(bào)價(jià)的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可得解；

（2）根據(jù)題意可知對(duì)任意的恒成立，分離參數(shù)可得對(duì)任意的恒成立，分類常數(shù)結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可得解.

【小問1詳解】

因?yàn)轶w育館前墻長為米，地面面積為，

所以體育館的左右兩側(cè)墻的長度均為米，

設(shè)甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為元，

所以，

因，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

所以當(dāng)前墻的長度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元；

【小問2詳解】

根據(jù)題意可知對(duì)任意的恒成立，

即對(duì)任意的恒成立，

所以對(duì)任意的恒成立，

因?yàn)椋?/p>

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

所以，

故當(dāng)時(shí)，無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功．

22.設(shè)集合，集合，如果對(duì)于任意元素，都有或，則稱集合為的自鄰集.記為集合的所有自鄰集中最大元素為的集合的個(gè)數(shù).

（1）直接判斷集合和是否為的自鄰集；

（2）比較和的大小，并說明理由；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：.

【答案】（1）不是的自鄰集，是的自鄰集；（2），理由見解析；（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用自鄰集的定義直接判斷即可；

（2）利用自鄰集的定義求出的自鄰集中最大元集分別為6，5，3的所有自鄰集，從而可得答案；

（3）記集合所有子集中自鄰集的個(gè)數(shù)為，可得，然后分：①自鄰集中含這三個(gè)元素，②自鄰集中含有這兩個(gè)元素，不含，且不只有這兩個(gè)元素，③自鄰集只含有這兩個(gè)元素，三種情況求解即可

【詳解】解：（1）因?yàn)椋?/p>

所以和，

因?yàn)?，所以不是的自鄰集?/p>

因?yàn)?/p>

所以是的自鄰集，

（2），

則其自鄰集中最大元素為6的集合中必含5和6，則有{5，6}，{4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{2，3，4，5，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}共9個(gè)，即

其自鄰集中最大元素為5的集合中必含4和5，則有{4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共5個(gè)，

其自鄰集中最大元素為3的集合中必含2和3，則有{2，3}，{1，2，3}共2個(gè)，

所以

（3）證明：記集合所有子集中自鄰集的個(gè)數(shù)為，由題意可得當(dāng)時(shí)，，，顯然

①自鄰集中含這三個(gè)元素，記去掉這個(gè)自鄰集中的元素后的集合為，因?yàn)?，所以仍是自鄰集，且集合中的最大元素為，所以含有這三個(gè)元素的自鄰集的個(gè)數(shù)為，

②自鄰集中含有這兩個(gè)元素，不含，且不只有這兩個(gè)元素，記自鄰集除之外最大元素為，則，每個(gè)自鄰集中去掉這兩個(gè)元素后，仍為自鄰集，此時(shí)的自鄰集的最大元素為，可將此時(shí)的自鄰集分為種情況：

含有最大數(shù)為2的集合個(gè)數(shù)為

含有最大數(shù)為3的集合個(gè)數(shù)為

……，含有最大數(shù)為的集合個(gè)數(shù)為

則這樣的集合共有，

③自鄰集只含有這兩個(gè)元素，這樣自鄰集只有1個(gè)，

綜上可得

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，所以萬州二中教育集團(tuán)高2023級(jí)高一上期10月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.下列說法正確的是

A.我校愛好足球的同學(xué)組成一個(gè)集合

B.是不大于3的自然數(shù)組成的集合

C.集合和表示同一集合

D.數(shù)1，0，5，，，，組成的集合有7個(gè)元素

2.若全集且，則集合的真子集共有（）

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

3.“兩個(gè)三角形相似”是“兩個(gè)三角形三邊成比例”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.下列四個(gè)命題為真命題的是（）

A.若，則B.若，則

C.若，則D.若，則

5.設(shè)全集，集合，，則下列運(yùn)算關(guān)系正確的是（）．

A.B.

C.D.

6.若命題“，使得成立”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[1，+∞)B.[0，+∞)C.(，1)D.(，0]

7.設(shè)，若不等式的解集是，則不等式的解集為（）

A.B.

C.D.

8.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a最小值為（）

A.B.C.D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列關(guān)于符號(hào)“”使用正確的有（）

A.B.

C.D.

10.下列命題為真命題的是（）

A.，

B.設(shè)全集為，若，則

C.“”是“”的必要不充分條件

D.“和都是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的必要不充分條件

11.已知關(guān)于x不等式的解集為，則（）

A.為定值

B.最小值為

C.的最大值為

D.無最小值

12.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）