遼寧省大連市旅順口區(qū)第三高級中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題含解析

遼寧省大連市旅順口區(qū)第三高級中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則為（）A. B.C. D.2．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點的中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg3．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)(且，)的一個極值點為2，則的最小值為（）A. B.C. D.75．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.36．已知、是平面直角坐標系上的直線，“與的斜率相等”是“與平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件7．19世紀法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（）A. B.C. D.8．已知拋物線上的一點，則點M到拋物線焦點F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.29．已知的三個頂點是，，，則邊上的高所在的直線方程為（）A. B.C. D.10．若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．關于實數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列12．拋物線的焦點為F，準線為l，點P是準線l上的動點，若點A在拋物線C上，且，則（O為坐標原點）的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面上給定相異兩點A，B，點P滿足，則當且時，P點的軌跡是一個圓，我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率，A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點P滿足，若的面積的最大值為3，則面積的最小值為___________.14．以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是____________15．已知數(shù)列滿足下列條件：①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是單調遞增數(shù)列；③數(shù)列的公比滿足.請寫出一個符合條件的數(shù)列的通項公式__________.16．已知點是拋物線的焦點，點分別是拋物線上位于第一、四象限的點，若，則的面積為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求的通項公式；（2）若，求n的最小值18．（12分）一個長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請將字母F，G，H標記在長方體相應的頂點處（不需說明理由）：（2）若且有下面兩個條件：①；②，請選擇其中一個條件，使得DF⊥平面，并證明你的結論19．（12分）（1）若在是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（2）已知函數(shù)在R上無極值點，求a的值.20．（12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)V（r）的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大21．（12分）設數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列前項和，求使成立的的最小值22．（10分）某校高三年級進行了一次數(shù)學測試，全年級學生的成績都落在區(qū)間內，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若（1）求a，b的值；（2）若成績落在區(qū)間內的人數(shù)為36人，請估計該校高三學生的人數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】直接由等差數(shù)列求和公式結合，求出，再由求和公式求出即可.【詳解】由題意知：，解得，則.故選：C.2、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤故選D3、B【解析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理可得，進而得出中點的橫坐標，代入直線方程求出中點的縱坐標即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標為：，所以中點的縱坐標為：，即線段AB的中點的坐標為.故選：B4、B【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，由給定極值點可得a與b的關系，再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對求導得：，因函數(shù)的一個極值點為2，則，此時，，，因，即，因此，在2左右兩側鄰近的區(qū)域值一正一負，2是函數(shù)的一個極值點，則有，又，，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為.故選：B5、A【解析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結果.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡得，兩邊同除以，得.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查共焦點的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關鍵是利用定義以及焦點三角形的關系列出齊次方程式進行求解.6、D【解析】根據(jù)直線平行與直線斜率的關系，即可求解.【詳解】解：與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，故選：D.7、B【解析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個交點可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B8、B【解析】將點代入拋物線方程求出，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點代入拋物線方程可得，解得則故選：B9、B【解析】求出邊上的高所在的直線的斜率，再利用點斜式方程可得答案.【詳解】因為，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.故選：B.10、A【解析】由函數(shù)單調性得出和的解，然后分類討論解不等式可得【詳解】由圖象可知：在為正，在為負，，可化為：或，解得或故選：A11、B【解析】根據(jù)給定條件結合取特值、推理計算等方法逐一分析各個選項并判斷即可作答.【詳解】對于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對于D，a，b，c是實數(shù)，若，顯然都可以為負數(shù)或者0，此時a，b，c無對數(shù)，D不正確.故選：B12、D【解析】依題意得點坐標，作點關于的對稱點，則，求即為最小值【詳解】如圖所示：作點關于的對稱點，連接，設點，不妨設，由題意知，直線l方程為，則，得所以，得，所以由，當三點共線時取等號，又所以最小值為故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先根據(jù)求出圓的方程，再由的面積的最大值結合離心率求出和的值，進而求出面積的最小值.【詳解】解：由題意，設，，因為即兩邊平方整理得：所以圓心為，半徑因為的面積的最大值為3所以，解得：因為橢圓離心率即，所以由得：所以面積的最小值為：故答案為：.【點睛】思路點睛：本題先根據(jù)已知的比例關系求出阿波羅尼斯圓的方程，再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程，進而求得面積的最值.14、【解析】根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線距離等于半徑，由點到直線的距離公式求出半徑，然后可得.【詳解】圓心到直線的距離，又圓與直線相切，所以，所以圓的方程為.故答案為：15、（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意判斷數(shù)列特征，寫出一個符合題意的數(shù)列的通項公式即可.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是單調遞增數(shù)列，數(shù)列公比滿足，所以等比數(shù)列公比，且各項均為負數(shù)，符合題意的一個數(shù)列的通項公式為.故答案為：（答案不唯一）16、42【解析】由焦半徑公式求得參數(shù)，得拋物線方程，從而可求得兩點縱坐標，再求得直線與軸的交點坐標后可得面積【詳解】因為，所以，拋物線的方程為，把代入方程，得（舍去），即.同理，直線方程為，即．所以直線與軸交于點，所以.故答案為：42三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）12【解析】（1）設的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結合的單調性，即可求解.【小問1詳解】解：設的公差為d，因為，可得，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質且，可得單調遞增，因為，所以當時，，故n的最小值為1218、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）由展開圖及直觀圖直接觀察可得；（2）選擇②，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問1詳解】如圖，【小問2詳解】若選擇①，若此時有平面，則由平面可得，而平面，而平面，故，因為，則平面，由平面可得，故此時矩形為正方形，，矛盾.選擇條件②，使得平面，下面證明如圖，連接,在長方體中，平面，而平面，故，而，故矩形為正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.19、（1）；（2）1【解析】（1）將問題轉化為在內恒成立，求出的最小值，即可得到答案；（2）對函數(shù)求導得，由，即可得到答案；【詳解】（1）依題意知，在內恒成立，所以在內恒成立，所以，因為的最小值為1，所以，所以實數(shù)m的取值范圍是.（2），依題意有，即，，解得.20、（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）見解析【解析】（1）先由圓柱的側面積及底面積計算公式計算出側面積及底面積，進而得出總造價，依條件得等式，從中算出，進而可計算，再由可得；（2）通過求導，求出函數(shù)在內的極值點，由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調性，進而得出取得最大值時的值.（1）∵蓄水池的側面積的建造成本為元，底面積成本為元∴蓄水池的總建造成本為元所以即∴∴又由可得故函數(shù)的定義域為（2）由（1）中，可得（）令，則∴當時，，函數(shù)為增函數(shù)當，函數(shù)為減函數(shù)所以當時該蓄水池的體積最大考點：1.函數(shù)的應用問題；2.函數(shù)的單調性與導數(shù)；2.函數(shù)的最值與導數(shù).21、(1).(2)10.【解析】（1）借助于將轉化為，進而得到數(shù)列為等比數(shù)列，通過首項和公比求得通項公式；（2）整理數(shù)列的通項公式，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求得前n項和，代入不等式可求得n的最小值試題解析