（人教版）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三 二次函數(shù)章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）全解全析

PAGE1專題22.12二次函數(shù)章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】【題型1利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較四個(gè)字母的大小】 1【題型2利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】 2【題型3根據(jù)新定義求字母取值范圍】 2【題型4利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】 2【題型5根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的值或取值范圍】 2【題型6二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的綜合】 2【題型7拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱】 3【題型8二次函數(shù)中的存在性問題】 3【題型9由實(shí)際問題抽象出二次函數(shù)模型】 3【題型1利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較四個(gè)字母的大小】【例1】（2023春·安徽阜陽·九年級(jí)阜陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鬽,n(m<n)是關(guān)于x的一元二次方程(x?a)(x?b)?3=0的兩根，且a<b，則m,n,a,b的大小關(guān)系是（

）A．m<n<a<b B．a(chǎn)<m<n<b C．a(chǎn)<m<b<n D．m<a<b<n【答案】D【分析】由（x﹣a）（x﹣b）﹣3＝0可以將（m，3），（n，3）看成直線y1＝3與拋物線y2＝（x﹣a）（x﹣b）兩交點(diǎn)，畫出大致圖象即可以判斷．【詳解】解：如圖，拋物線y2＝（x﹣a）（x﹣b）與x軸交點(diǎn)（a，0），（b，0），拋物線與直線y1＝3的交點(diǎn)為（m，3），（n，3），由圖象可知m＜a＜b＜n．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查的是一元二次方程根的分布，一元二次方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，在此題中關(guān)鍵在于能夠?qū)Γ▁﹣a）（x﹣b）﹣3＝0拆分成直線y1＝3與拋物線y2＝（x﹣a）（x﹣b），再通過大致圖象即可解題，這也給我提供了一種解決此類問題的技巧．【變式1-1】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┰O(shè)一元二次方程x+1x?3=aa>0兩實(shí)數(shù)根分別為α，βA．?1<α<β<3 B．α<?1<3<βC．α<?1<β<3 D．?1<α<3<β【答案】B【分析】依照題意，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合，即可得出α、β滿足的條件．【詳解】解：∵一元二次方程x+1x?3=0解為∴二次函數(shù)y=x+1x?3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為?1，依照題意，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：觀察圖形：可知：α<?1<3<β，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，依照題意，畫出二次韓素華圖像是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·四川涼山·九年級(jí)校考期中）若a，b（a<b）是關(guān)于x的方程2+x?mx?n=0的兩根，則m<n，則a、b、m，n【答案】m＜a＜b＜n【分析】先確定a,b和m,n分別是拋物線當(dāng)y=?2,y=0時(shí)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用圖象求解．【詳解】解：∵2+x?m∴x∴a，b是拋物線y=x2?m，n是該拋物線當(dāng)y=0時(shí)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵拋物線開口向上，a＜b，m＜n，則可作示意圖如下，則m＜a＜b＜n，故答案為：m＜a＜b＜n．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與一元二次方程的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系．【變式1-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）若x1，x2(x1＜x2)是方程(x﹣m)(x﹣3)＝﹣1(m＜3)的兩根，則實(shí)數(shù)x1，x2，3，m的大小關(guān)系是(

)A．m＜x1＜x2＜3 B．x1＜m＜x2＜3C．x1＜m＜3＜x2 D．x1＜x2＜m＜3【答案】A【分析】把x1，x2(x1<x2)看作拋物線y=(x?m)(x?3)與直線y=?1【詳解】把x1，x2(x1拋物線y=(x?m)(x?3)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)，(3，0)所以m<x故選A【點(diǎn)睛】如果x1，x2是一元二次方程【題型2利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】【例2】（2023春·全國·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x的增大而增大，則下列結(jié)論正確的是（）①當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減??；②若圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則﹣1＜a＜0；③若（﹣2021，y1），（2023，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；④若圖象上兩點(diǎn)（14，y1），（14+n，y2）對(duì)一切正數(shù)n，總有y1＞y2，則1＜m≤A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：①：∵二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，又∵當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴a＜0，開口向下，∴當(dāng)x＞2＞x2時(shí)，y隨x的增大而減小，故①正確；②：∵二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴a＜0，若圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣12故②錯(cuò)誤；③：又∵對(duì)稱軸為直線x＝?1+m2，1＜m＜2∴0＜?1+m2＜12∴若（﹣2021，y1），（2023，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，2021離對(duì)稱軸近些，則y1＜y2，故③正確；④若圖象上兩點(diǎn)（14，y1），（14+n，y2）對(duì)一切正數(shù)n，總有y1＞y2，1＜m＜∴該函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），（m，0），∴0＜?1+m2≤1解得1＜m≤32故④正確；∴①③④正確；②錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式2-1】（2023春·北京·九年級(jí)北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)，對(duì)稱軸為直線x=1，與①拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(3,0)；②點(diǎn)Cx1,y1，D③常數(shù)項(xiàng)c的取值范圍是2≤c≤3；④系數(shù)a的取值范圍是?1≤a≤?2上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)④的結(jié)論可知函數(shù)的開口方向，然后得到二次函數(shù)的增減性，即可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)對(duì)c進(jìn)行判斷即可判斷③；由對(duì)稱軸可得b=-2a，由x=-1時(shí)，可得a-b+c=0，則c=-3a，又由③得到c的取值范圍，進(jìn)而得到a的取值范圍．【詳解】拋物線對(duì)稱軸為x=1，且與x軸交點(diǎn)為（-1，0），故與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0），故①正確；拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，c），且與y軸交點(diǎn)B在0,2和0,3之間（包含這兩個(gè)點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，故c的取值范圍是2≤c≤3，故③正確；拋物線對(duì)稱軸為x=1，得b=-2a，由x=-1時(shí)，可得a-b+c=0，則c=-3a，又由③已知2≤c≤3，故有2≤-3a≤3，故?1≤a≤?2由④得結(jié)論可知，拋物線開口向下，且對(duì)稱軸為x=1，得到當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x增大而增大，故當(dāng)x1<x2<1綜上正確的有①③④，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)一般式的基本性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)一般式各系數(shù)的意義是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·湖南長沙·九年級(jí)校聯(lián)考期末）小明研究二次函數(shù)y=?x2+2mx?m2+1（m為常數(shù)）性質(zhì)時(shí)有如下結(jié)論：①該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在平行于x軸的直線上；②該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形；③當(dāng)?1<x<2時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為m≥2；④點(diǎn)Ax1,y1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸以及增減性依次對(duì)4個(gè)結(jié)論作出判斷即可．【詳解】解：二次函數(shù)y=?x2+2mx?m2+1=-（x-①∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，1）且當(dāng)x=m時(shí)，y=1∴這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線y=1上故結(jié)論①正確；②令y=0，得-（x-m）2+1=0解得：x=m-1，x=m+1∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（m-1，0），B（m+1，0）則AB=2∵頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，1）∴PA=PB=2，∴P∴ΔPAB是等腰直角三角形∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形故結(jié)論②正確；③當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，且-1＜0∴m的取值范圍為m≥2．故結(jié)論③正確；④∵x1+x2＞2m∴x1+x∵二次函數(shù)y=-（x-m）2+1（m為常數(shù)）的對(duì)稱軸為直線x=m∴點(diǎn)A離對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)B離對(duì)稱軸的距離∵x1＜x2，且-1＜0∴y1＞y2故結(jié)論④正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的系數(shù)的關(guān)系，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，需要利用數(shù)形結(jié)合思想解決本題．【變式2-3】（2023春·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋m＋1（m為常數(shù)）交y軸于點(diǎn)A，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2和3之間，頂點(diǎn)為B．①拋物線y＝－x2＋2x＋m＋1與直線y＝m＋2有且只有一個(gè)交點(diǎn)；②若點(diǎn)M（－2，y1）、點(diǎn)N（12，y2）、點(diǎn)P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1<y2<y3③將該拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線解析式為y＝－（x＋1）2＋m；④點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為C，點(diǎn)D、E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝1時(shí)，四邊形BCDE周長的最小值為34+其中正確判斷有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③【答案】C【分析】將二次函數(shù)配方成y=?x?1【詳解】解：將y＝－x2＋2x＋m＋1化為頂點(diǎn)式為：y=?∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,m+2，函數(shù)圖形與直線y＝m＋2相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，①正確；根據(jù)“上加下減，左加右減”將y=?x?12+m+2二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1，故P（2，y3）可對(duì)稱到P'0,y當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)解析式為：y=?x2+2x+2，故A0,2，作B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)N，作C關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)M，則N?1,3BC=1?2∴當(dāng)m＝1時(shí)，四邊形BCDE周長的最小值為34+故答案選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合以及線段和的最小值．掌握二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的對(duì)稱性、線段和的最小值的求算是解題關(guān)鍵．【題型3根據(jù)新定義求字母取值范圍】【例3】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)．若二次函數(shù)y=x2?2x+c（c為常數(shù)）在?1<x<4的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，則cA．?5<c<4 B．0<c<1 C．?5<c<1 D．0<c<4【答案】D【分析】由點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點(diǎn)在直線y=2x上，由?1<x<4可得二倍點(diǎn)所在線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段的交點(diǎn)求解．【詳解】解：由題意可得二倍點(diǎn)所在直線為y=2x，將x=?1代入y=2x得y=?2，將x=4代入y=2x得y=8，設(shè)A(?1,?2)，B(4,8)，如圖，聯(lián)立y=2x與y=x2?2x+c即x∵拋物線與直線y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ=4解得c<4，當(dāng)直線x=?1和直線x=4與拋物線交點(diǎn)在點(diǎn)A，B上方時(shí)，拋物線與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，把x=?1代入y=x2?2x+c把x=4代入y=x2?2x+c∴3+c>?28+c>8解得c>0，∴0<c<4．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題求解．【變式3-1】（2023春·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（m，n）和點(diǎn)P′（m，n′），若滿足m≥0時(shí)，n′=n-4；m＜0時(shí)，n′=-n，則稱點(diǎn)P′（m，n′）是點(diǎn)P（m，n）的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)P1（2，5）的限變點(diǎn)是P1′（2，1），點(diǎn)P2（-2，3）的限變點(diǎn)是P2′（-2，-3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y=-x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)-1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（

）A．?2≤n′≤2 B．1≤n′≤3【答案】D【分析】根據(jù)新定義得到當(dāng)m≥0時(shí)，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3時(shí)，得到-2≤n′≤2；當(dāng)m＜0時(shí)，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0時(shí)，得到-2≤n′≤3，即可得到限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是-2≤n′≤3．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)m≥0時(shí)，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，-2≤n′≤2，當(dāng)m＜0時(shí)，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴當(dāng)-1≤m＜0時(shí)，-2＜n′≤3，綜上，當(dāng)-1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是-2≤n′≤3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點(diǎn)的定義得到n′關(guān)于m的函數(shù)．【變式3-2】（2023春·重慶大渡口·九年級(jí)?？计谀┤舳x一種新運(yùn)算：m@n=m?nm≤nm+n?3m>n，例如：①?7@9=?16；②若1@x2?x③若?2@3+4x≤?5，則x≥0或④y=?x+1@x2?2x+1與直線y=m其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)新運(yùn)算可判斷①正確；根據(jù)新運(yùn)算分兩種情況結(jié)合一元二次方程可判斷②正確；根據(jù)新運(yùn)算分兩種情況結(jié)合一元一次不等式可判斷③正確；根據(jù)新運(yùn)算分兩種情況結(jié)合拋物線的性質(zhì)可判斷④正確，即可．【詳解】解：①?7@9=?7?9=?16，故①正確；②若x2?x≥1，則解得：x=?1或2，當(dāng)x=?1時(shí)，x2當(dāng)x=2時(shí)，x2若x2?x<1，則解得：x=1+52當(dāng)x=1+52當(dāng)x=1?52∴若1@x2?x③若?2≤3+4x，即x≥?5此時(shí)?2?3+4x解得：x≥0，∴x≥0，若?2>3+4x，即x<?5此時(shí)?2+3+4x解得：x≤?3∴x<?5∴若?2@3+4x≤?5，則x≥0或④若?x+1≤x2?2x+1，即x≤0此時(shí)y=?x+1如圖，此時(shí)與直線y=m（m為常數(shù)）不可能有1個(gè)交點(diǎn)；若?x+1>x2?2x+1此時(shí)y=?x+1如圖，當(dāng)x=1時(shí)，y=?3，當(dāng)x=0時(shí)，y=?1，∴若拋物線與直線y=m（m為常數(shù)）有1個(gè)交點(diǎn)，則?1<m<?3，故④正確．∴正確的個(gè)數(shù)是4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解新運(yùn)算，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)A叫做“整點(diǎn)”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整點(diǎn)”．拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，若該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜?12【答案】B【分析】畫出圖象，找到該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)的邊界，利用與y交點(diǎn)位置可得a的取值范圍．【詳解】解：拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化為頂點(diǎn)式為y＝a（x﹣1）2+2，故函數(shù)的對(duì)稱軸：x＝1，M和N兩點(diǎn)關(guān)于x＝1對(duì)稱，根據(jù)題意，拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)，這些整點(diǎn)是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如圖所示：∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a+2∴0≤a+2＜1當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝4a+2＜0即：0?a+2<14a+2<0解得﹣2≤a＜﹣1故選B．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、配方法確定頂點(diǎn)坐標(biāo)、及數(shù)形結(jié)合等知識(shí)，利用函數(shù)圖象確定與y軸交點(diǎn)位置是本題的關(guān)鍵．【題型4利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例4】（2023春·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，二次函數(shù)y=ax2+bx?1（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象經(jīng)過A(2,1)，B(4,3)，C(4,?1)三個(gè)點(diǎn)中的其中兩個(gè)點(diǎn)，平移該函數(shù)的圖象，使其頂點(diǎn)始終在直線y=x?1上，則平移后所得拋物線與yA．最大值為?1 B．最小值為?1 C．最大值為?12 【答案】C【分析】分二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B或B、C或點(diǎn)A，C三種情況討論求解即可．【詳解】解：由題意得，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B或B、C或點(diǎn)A，C，①若經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，∵A(2,1)，B(4,3)都在直線y=x?1上，而拋物線y=ax2+bx?1與y軸交點(diǎn)(0,?1)∴二次函數(shù)的圖象不能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A，B；②∵B(4,3)，C(4,?1)，∴拋物線也不同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)C，③經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)C，如圖，∴1=4a+2b?1解得，a=?∴y=?1當(dāng)x=?b2a=2則點(diǎn)A2,1是y=?此時(shí)二次函數(shù)的頂點(diǎn)在y=x?1上，且與y軸交點(diǎn)，此時(shí)縱坐標(biāo)為?1；而y=?12x故平移后函數(shù)表達(dá)式為y=?1當(dāng)x=0時(shí)，y=?1當(dāng)c=?b2a=1時(shí)，y故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式4-1】（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+3x?4的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則PQ+A．6 B．2+322 C．2+3【答案】D【分析】連接BC，過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H．根據(jù)PQ+22PC=PQ+PD，可得DQ+PD的最小值為【詳解】如圖，連接BC，過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H．由y=x2+3x?4，令y=0解得x1∴C?4,0令x=0，解得y=0，∴B0,?4∴OB=OC=4，∵∠BOC=90°，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴PC=2∴PQ+2當(dāng)P為QH與x軸交點(diǎn)時(shí)PQ+22PC∵Q（0，2）,B0,?4∴BQ=4，設(shè)QH=x，則BH=x,∵DH∴x2∴x=32∴QH＝則PQ+22PC故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．【變式4-2】（2023春·遼寧·九年級(jí)東北育才雙語學(xué)校校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，112），B（4，32），若點(diǎn)M（a，﹣a），N（a+3，﹣a﹣4），則四邊形A．10+1322 B．10+1323 C．5+132 【答案】A【分析】根據(jù)題意，得AB=(4?1)2AM=(a?1)2MN=(a+3?a)2BN=(a+3?4)由此得四邊形MNBA的周長為10+2(a?1)2+(a+【詳解】∵點(diǎn)A（1，112），B（4，32），若點(diǎn)M（a，﹣a），N（a+3，﹣∴AB=(4?1)2AM=(a?1)2MN=(a+3?a)2BN=(a+3?4)∴四邊形MNBA的周長為10+2(a?1)2令y=(a?1)=a=2a∵2＞0，∴拋物線有最小值，當(dāng)a=?92×2=?94時(shí)，y有最小值，且為y∴(a?1)2+(a+112∴四邊形MNBA的周長的最小值為10+2×1324=10+132故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的最值問題，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式將周長的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·北京海淀·九年級(jí)人大附中?？计谀┮阎獟佄锞€y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的頂點(diǎn)為P（x0，y0），點(diǎn)A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在該拋物線上，當(dāng)y0≥0恒成立時(shí)，yB?yA．1 B．12 C．14 【答案】D【分析】利用點(diǎn)A(1,yA)、B(0,yB)、C(?1,yC)在拋物線y=ax2+bx+c上得yA=a+b+c，yB【詳解】解：點(diǎn)A(1,yA)、B(0,yB得yA=a+b+c，yByB∵y0≥0∴x∴4a?2b+c≥0，即a+b+c≥3(b?a)，而b?a>a>0，∴b?aa+b+c即yAyB故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，以及各系數(shù)的符號(hào)判斷式子的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的值或取值范圍】【例5】（2023春·浙江·九年級(jí)期中）二次函數(shù)y=x2+2mx?3，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，若圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4，則mA．-1或1 B．-1或1或3 C．1或3 D．-1或3【答案】D【分析】按對(duì)稱軸所在位置情況進(jìn)行分別作圖，由二次函數(shù)圖像性質(zhì)可知取到軸距離的最大值的點(diǎn)是圖像頂點(diǎn)或兩端點(diǎn)，分類討論即可．【詳解】解：由題意得，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=?m．當(dāng)x=?b2a=?m時(shí)，y=?當(dāng)x=1時(shí)，y=2m?2；記作點(diǎn)P（1，2m?2）；當(dāng)x=0時(shí)，y=?3，記作點(diǎn)Q（0，-3）；當(dāng)0≤x≤1時(shí)，圖象上的點(diǎn)到軸距離的最大值為4，I．若圖像位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，即對(duì)稱軸x=?m≤0，如圖1：則點(diǎn)Q為滿足圖象上的點(diǎn)到軸距離的最大值為4的點(diǎn)，此時(shí)有2m?2=4?m≤0，解得：m=3II．若對(duì)稱軸在PQ兩點(diǎn)之間（包含PQ兩點(diǎn)）時(shí)，即：對(duì)稱軸x=?m滿足0≤?m≤1，如圖2，①若P為為滿足圖象上的點(diǎn)到軸距離的最大值為4的點(diǎn)，則2m?2=40≤?m≤1②若M為為滿足圖象上的點(diǎn)到軸距離的最大值為4的點(diǎn)，則，?m2?3=?4III．若圖像位于拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，即對(duì)稱軸x=?m>1，如圖3：此時(shí)P為滿足圖象上的點(diǎn)到軸距離的最大值為4的點(diǎn)，則，2m?2=?4?m>1綜上，m=?1或3，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)找到到軸距離的最大值是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·湖北黃岡·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為完美點(diǎn)．已知二次函數(shù)y=ax2+bx?94（a,b是常數(shù)，a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)32,32，且當(dāng)0≤x≤mA．?1≤m≤0 B．2≤m<72 C．2≤m≤4 【答案】C【分析】把y=x代入y=ax2+bx?94，可得到a【詳解】解：令x=ax2∴△=∴由題意可得：9解得：a=?1∴y=?如圖所示：若最小值為?3最大值為1，結(jié)合圖像可得：2≤m≤4故答案選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，利用待定系數(shù)法和根的判別式建立方程求出二次函數(shù)解析式作出圖像是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3，截取該函數(shù)圖象在0≤x≤4間的部分記為圖象G，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)（0，t）且平行于x軸的直線為l，將圖象G在直線l下方的部分沿直線l翻折，圖象G在直線上方的部分不變，得到一個(gè)新函數(shù)的圖象M，若函數(shù)M的最大值與最小值的差不大于5，則t的取值范圍是（）A．﹣1≤t≤0 B．﹣1≤t≤?12 C．?12≤t≤0 【答案】A【分析】找到最大值和最小值差剛好等于5的時(shí)刻，則t的范圍可知．【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)t等于0時(shí)，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴A（0，3），當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣5，∴C（4，﹣5），∴當(dāng)t＝0時(shí)，D（4，5），∴此時(shí)最大值為5，最小值為0；如圖2所示，當(dāng)t＝﹣1時(shí)，此時(shí)最小值為﹣1，最大值為4．綜上所述：﹣1≤t≤0，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的問題，找到最大值和最小值的差剛好為5的t的值為解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=?2x2+mx+n的最大值為10，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)Aa?4,b，Ba,bA．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，得對(duì)稱軸為：直線x=a-2，從而得m=4a-8，由二次函數(shù)y=?2x2+mx+n的最大值為10，得2a2【詳解】∵二次函數(shù)y=?2x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A∴拋物線y=?2x∴?m∵二次函數(shù)y=?2x∴10=?2(a?2)∴2a∵二次函數(shù)y=?2x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A∴x=a和x=a-4是關(guān)于x的一元二次方程b=?2x∴a(a-4)=b?n2∴b=2a故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【題型6二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的綜合】【例6】（2023春·浙江溫州·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y=a(x??)2+k(a≠0)的圖象與一次函數(shù)y=mx+n(m≠0)的圖象交于(x1，y1)和(x2，A．若a<0，m<0，則x1+x2>2? B．若C．若x1+x2>2?，則a>0，m>0 D．若【答案】A【分析】聯(lián)立二次函數(shù)y=a(x??)2+k(a≠0)【詳解】解：聯(lián)立{y=a(x??)2化簡(jiǎn)得：ax∵二次函數(shù)y=a(x??)2+k(a≠0)的圖象與一次函數(shù)y=mx+n(m≠0)的圖象交于(x1，y1)和(x∴x1,x由根與系數(shù)關(guān)系得：x1A.若a<0，m<0時(shí)，則ma∴x1故本選項(xiàng)符合題意；B.若a>0，m<0，則ma∴x1故本選項(xiàng)不符合題意；C.若x1+x∴a>0，m>0或a<0，m<0，故本選項(xiàng)不符合題意；D.若x1+x∴a>0，m<0或a＜0，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系以及熟記根與系數(shù)的關(guān)系．【變式6-1】（2023春·福建龍巖·九年級(jí)?？计谥校┮阎本€y=2x+m與拋物y=ax2+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M(1)直接寫出直線的解析式：___________；直接寫出b與a之間的關(guān)系：___________；直接寫出拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)：___________；（只用含a的代數(shù)式表示）(2)說明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為N，若?1≤a≤?12，求線段MN長度的最小值并直接寫出此時(shí)【答案】(1)y=2x?2；2a+b=0；?(2)證明見解析(3)線段MN長度的最小值為55，面積105【分析】（1）將點(diǎn)M（1，0）代入y=2x+m和y=ax2+ax+b，即可求出直線的解析式和b與a（2）聯(lián)立直線和拋物線解析式，通過計(jì)算一元二次方程判別式求解即可．（3））由（2）的方程，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得MN長度的最小值；然后求出a的值，求出點(diǎn)N和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線與點(diǎn)E，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用SΔ【詳解】（1）∵直線y=2x+m與拋物y=ax2+ax+b∴將M（1，0）代入y=2x+m得2+m=0，解得m=?2∴y=2x?2；∴將M（1，0）代入y=ax2+ax+b可得2a+b=0，即b=?2a∴拋物y=ax∴拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?1故答案為：y=2x?2；2a+b=0；?1（2）∵直線y=2x?2，拋物線y=ax∴y=2x?2y=ax2整理得ax∴Δ=∵a<0，∴Δ=9∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）由（2）得a即x2∴(x?1)(x+2?2解得x1∴點(diǎn)N(2根據(jù)勾股定理得，MN∵?1≤a≤?1∴?2≤1∴1a∴MN=25∴55∴線段MN長度的最小值為55∴此時(shí)a=?1作拋物線的對(duì)稱軸x=?12交直線y=2x?2于點(diǎn)把x=?12代入y=2x?2得，即E(?1∴M（1，0），∴將a=?1代入點(diǎn)N和點(diǎn)Q的坐標(biāo)得N(?4,?10)，Q?12∴SΔ【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)．在（1）中由M的坐標(biāo)得到b與a的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（2）中聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得N點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在最后一小題中求出點(diǎn)Q和點(diǎn)N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．【變式6-2】（2023春·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+3分別交x軸、y軸于A?3,0，B兩點(diǎn)，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線y=?x2?2x+c與(1)求k、c的值；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線y=?x(3)若點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M向右平移4個(gè)單位長度，得到點(diǎn)N．若線段MN與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM【答案】(1)c=3，k=1(2)1,0，?1,4(3)?8≤xM【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）令y=0，代入y=?x2?2x+3求出點(diǎn)C（3）數(shù)形結(jié)合，分情況討論確定MN的位置，進(jìn)而求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM【詳解】（1）解：∵直線y=kx+3與x軸交于點(diǎn)A?3,0∴-3k+3=0解得∶k=1．∵拋物線y=?x2?2x+c∴??3解得∶c=3．（2）解：在y=?x2?2x+3?x解得：x1=?3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為1,0．∵y=?x∴拋物線y=?x2?2x+3（3）解：分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，設(shè)點(diǎn)M（m，m+3），此時(shí)點(diǎn)N（m+4，m+3）恰好在拋物線y=?x-(m+4)2-2(m+4)+3=m+3解得：m1=-3，m2=-8結(jié)合圖象得：?8≤xM<?3②當(dāng)點(diǎn)M在A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M（-3，0）向右移動(dòng)4個(gè)單位得到的N點(diǎn)（1，0）恰好與C點(diǎn)重合，此時(shí)線段MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴xM③當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，且M不在A點(diǎn)時(shí)，∵M(jìn)，N的距離為4，而A、B的水平距離3，故此時(shí)線段MN與拋線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴-3<xM④當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，線段MN與拋物線沒有公共點(diǎn)；綜上所述，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍為?8≤xM【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，第（3）問要注意分情況討論，不重不漏．【變式6-3】（2023春·新疆哈密·九年級(jí)?？计谥校┮阎魏瘮?shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象C經(jīng)過(－5,0)，0,52，(1,6)三點(diǎn)，直線l的解析式為y＝2(1)求拋物線C的解析式；(2)判斷拋物線C與直線l有無交點(diǎn)；(3)若與直線l平行的直線y＝2x＋m與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝12x2＋3x＋52；(2)拋物線與直線無交點(diǎn)；(3)點(diǎn)【分析】（1）用待定系數(shù)法求求解拋物線的解析式即可；（2）聯(lián)立拋物線C與直線l的解析式得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可；（3）聯(lián)立拋物線C與直線的解析式得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程根的判別式求得m的值，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)把(－5,0)，0,5解得a＝12，b＝3，c＝5∴y＝12x2＋3x＋5(2)令12x2＋3x＋52＝2整理后，得12x2＋x＋11∵Δ<0，∴拋物線與直線無交點(diǎn)；(3)令12x2＋3x＋52＝2x＋整理后，得12x2＋x＋52－由Δ＝12－4×12×(5解得m＝2，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，0)．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和直線交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)，解決此類問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線和直線的解析式得到方程，求出它們的公共解，由解的個(gè)數(shù)判斷拋物線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【題型7拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱】【例7】（2023春·河北石家莊·九年級(jí)校考期中）將拋物線l1：y＝x2+2x+3繞其對(duì)稱軸上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到一個(gè)新拋物線l2，若l1、l2兩條拋物線的交點(diǎn)以及它們的頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【答案】B【分析】由拋物線l1:y=x2+2x+3=(x+1)2+2，對(duì)稱軸為直線x=?1，頂點(diǎn)為(?1,2)，得出拋物線l2:y=?(x+1)2+k【詳解】解：∵拋物線l1:y=x2+2x+3=∴拋物線l2:y=?(x+1)解(x+1)2+2=?(x+1)根據(jù)題意得，2k?22=k?2，解得k∴拋物線l2的頂點(diǎn)為(?1,4)∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,3)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解二次函數(shù)的圖象與幾何變換、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，中心對(duì)稱變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．【變式7-1】（2023春·湖南長沙·九年級(jí)長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考期末）規(guī)定：我們把一個(gè)函數(shù)關(guān)于某條直線或者某點(diǎn)作對(duì)稱后形成的新函數(shù)，稱之為原函數(shù)的“對(duì)稱函數(shù)”．（1）已知一次函數(shù)y＝﹣2x+3的圖象，求關(guān)于直線y＝﹣x的對(duì)稱函數(shù)的解析式；（2）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+4a﹣1的圖象為C1；①求C1關(guān)于點(diǎn)R（1，0）的對(duì)稱函數(shù)圖象C2的函數(shù)解析式；②若兩拋物線與y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB＝16時(shí)，求a的值；（3）若直線y＝﹣2x﹣3關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱函數(shù)的圖象上的存在點(diǎn)P，不論m取何值，拋物線y＝mx2+（m﹣23）x﹣（2m﹣38）都不通過點(diǎn)P，求符合條件的點(diǎn)【答案】（1）y=12x?32，(2)①y=?ax【分析】（1）取y=-2x+3上兩點(diǎn)（0，3），（32，0），求出這兩點(diǎn)關(guān)于y=-x對(duì)稱點(diǎn)，代入y=kx+b，求出k，b（2）①設(shè)C2上的點(diǎn)為（x，y），其關(guān)于（1，0）的對(duì)稱點(diǎn)代入C1上，則可以求出C2的解析式；②C1與y軸交于（0，4a-1），C2與y軸交于（0，-16a+1）根據(jù)AB=16，列方程求出a的值，（3）求出y=-2x-3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)為y=-2x+3，根據(jù)拋物線不通過點(diǎn)P：y=mx2+(m?23)x?(2m?38)=(x2+x?2)?2【詳解】（1）取y=-2x+3上兩點(diǎn)（0，3），（32，0）兩點(diǎn)關(guān)于y=-x對(duì)稱點(diǎn)為（-3，0），（0，-3設(shè)y=x+b，則{0=?3k+b解得{k=?則y=?1（2）①設(shè)C2上的點(diǎn)為（x，y），其關(guān)于（1，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（2-x，-y），(2-x，-y)在C1上，則?y=aC2:y=?ax②C1關(guān)于y軸交于（0，4a-1），C2關(guān)于y軸交于（0，-16a+1），AB=｜(4a-1)-(-16a+1)｜=16，｜2a-2｜=16，解得a=910或-7（3）y=-2x-3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)為y=-2x+3，拋物線:y=m令x2+x?2=0，得x1=1，x2=-1，則拋物線經(jīng)過（1，-7令x=1，y=-2x-3=1，令x=-2，y=-2x+3=7，點(diǎn)（1，1）（-2，7）在y=-2x+3上由于函數(shù)值的唯一性，上述兩點(diǎn)不可能在拋物線上，故P為(1，1)或(-2，7)．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)的綜合，包含求函數(shù)的解析式，函數(shù)的對(duì)稱性，一次函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，以及一次函數(shù)與一元一次方程結(jié)合，解題的關(guān)鍵是熟悉一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．【變式7-2】（2023春·重慶江北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2+bx+c與直線AC(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)E，交x軸于D，求PD+PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中PD+PE取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向右平移3個(gè)單位，點(diǎn)M為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，N為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)M，F(xiàn)，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)Q的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【答案】(1)y=(2)PD+PE的最大值為8，點(diǎn)P的坐標(biāo)為2(3)Q1，?4或【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線AC的解析式為y=x?6，設(shè)Pm，14m2?（3）先求出平移后的拋物線解析式為y=14x?42?254，M5，?6，再求出F0，?94【詳解】（1）解：把A6，0，C9+6b+c=0c=?6∴b=?1∴拋物線解析式為y=1（2）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b∴6k+b∴k=1b∴直線AC的解析式為y=x?6，設(shè)Pm，1∴PD=?1∴PD+PE=?1=?=?1∵?1∴當(dāng)m=2時(shí)，PD+PE的值最大，最大為8，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，（3）解：∵拋物線解析式為y=14x∴平移后的拋物線解析式為y=14x?1?3令x=0，則y=1∴F0設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為4，n，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為當(dāng)FM為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：5+02∴s=1，∴t=?4，∴Q1當(dāng)FQ為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：5+42∴s=9，∴t=0，∴Q9當(dāng)FN為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：0+42∴s=?1，∴t=0，∴Q?1綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1，?4或Q【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1=12x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A0,?2，與x軸交于點(diǎn)B4,0，連接AB．直線y＝－2x＋8過點(diǎn)B交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)F是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)EF＝5ED時(shí)，求m的值；(3)若拋物線y1=12x①直接寫出此時(shí)線段BF的長；②將矩形ABFH沿射線BC方向平移得到矩形A1B1F1H1（點(diǎn)A、B、F、H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1、F1、H1），點(diǎn)K為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形B1KF1H1【答案】(1)y(2)m(3)①BF=5；②【分析】（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入y1即得b、c（2）由題意可知點(diǎn)F、E、D的橫坐標(biāo)相同，首先由求出直線AB的解析式，繼而可得點(diǎn)F、E、D的坐標(biāo)，再根據(jù)EF=5ED，得到F、E、D的縱坐標(biāo)關(guān)系，從而求得m的值；（3）①根據(jù)矩形對(duì)邊平行且相等求出直線AH的解析式，再求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求出AH的長，即為BF的長；②首先求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)矩形ABFH沿射線BC方向平移的距離，得出點(diǎn)H1,B1,F1【詳解】（1）將A0,?2,B4,0代入y解得b∴y（2）Fk∴l(xiāng)∴E∵EF=5ED∴?2m+8解得m∵0<x<4∴m=1（3）①∵四邊形ABFH為矩形∴AH∥BF∴∴y=?2x?2解得：x∴H∴BF=AH=②由①易得F(3,2),設(shè)矩形ABFH沿射線BC方向平移5則H∵四邊形B1∴K設(shè)y將H1?1?a,2a2a=?1解得a=∴K【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)、矩形、平行四邊形的結(jié)合和圖形移動(dòng)的問題，把幾何問題轉(zhuǎn)換成解方程的思想是本題重點(diǎn)．【題型8二次函數(shù)中的存在性問題】【例8】（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，拋物線y=12x2?2x?6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P(m,n)(0<m<6)在拋物線上，當(dāng)m取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△(3)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)A(?2,0),B(6,0)，C(0,?6)(2)當(dāng)m=3時(shí)，S△PBC最大值為(3)F(4,?6)或(2+27,6)【分析】（1）將x=0，y=0代入解析式進(jìn)而求出函數(shù)解析式．（2）作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)D，求出BC解析式，再求出PD的值，再對(duì)三角形面積進(jìn)行計(jì)算．（3）可以分為?ACFE，?ACEF兩種情況，當(dāng)?ACFE時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，從而求出F的坐標(biāo)．當(dāng)?ACEF時(shí)，可推出F的縱坐標(biāo)為6從而求出結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=?6，∴C(0,?6)，當(dāng)y=0時(shí)，12∴x∴A(?2,0),B(6,0)．綜上所述，A(?2,0),B(6,0)，C(0,?6)（2）解：作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)D，

∵B(6,0),C(0,?6)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B(6,0),C(0,?6)代入，0=6k+b?6=b解得k=1,b=?6∴直線BC的解析式為：y=x?6∴D(m,m?6)∵P(m,n)在拋物線y=1∴n=1∵D(m,m?6)與P點(diǎn)都在直線x=m上，∴PD=(m?6)?(1∴S∴當(dāng)m=3時(shí)，S△PBC最大值為27（3）解：如圖3

當(dāng)?ACFE時(shí)，AE∥∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=?2+6∴F如圖4

當(dāng)?ACEF時(shí)，作FG⊥AE于G，∵?ACEF，∴EF=AC,EF∥∴∠FEG=∠CAO∠EFG=∠CAO∠AOC=∠EGF∴△FEG≌△CAO，∴FG=OC=6，當(dāng)y=6時(shí)，12∴x∴F綜上所述，F(xiàn)(4,?6)或(2+27,6)或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖像性質(zhì)，平行四邊形分類等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于正確分類，畫出圖形，轉(zhuǎn)化條件．【變式8-1】（2023春·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，拋物線y=ax2?2x+c與x軸交與A(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在第二象限內(nèi)的拋物線上的是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△【答案】(1)y=?(2)存在，Q(3)存在，P?32,【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意可知，邊AC的長是定值，要想△AQC的周長最小，即是AQ+CQ最小所以此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的位置，找到點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是所求的點(diǎn)Q；（3）首先求得BC的坐標(biāo)，然后設(shè)P的橫坐標(biāo)是x，利用a表示出△PBC【詳解】（1）根據(jù)題意得：?1+b+c=0?9?3b+c=0，解得b=?2則拋物線的解析式是y=?x（2）理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=∴直線BC與x=?1的交點(diǎn)即為Q對(duì)于y=?x2?2x+3，令x=0故點(diǎn)C0,3設(shè)BC的解析式是y=mx+n，則?3m+n=0n=3，解得m=1則BC的解析式是y=x+3．x=?1∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是Q?1,2（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)D，設(shè)P的橫坐標(biāo)是x，則P的坐標(biāo)是x,?x2?2x+3，對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)D則PD=?則S△PBC∵?32<0，故△【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值問題一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解【變式8-2】（2023春·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐如圖，拋物線y=ax2+32x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是

(1)求拋物線的解析式：(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)y=?(2)存在，32,4或3(3)?5+412,0或?5?41【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況：以C為頂點(diǎn)，即CP=CD；以D為頂點(diǎn)，即CD=PD，利用勾股定理及等腰三角形的定義建立方程即可完成；（3）分三種情況：當(dāng)BC是對(duì)角線時(shí)；當(dāng)BE是對(duì)角線時(shí)；當(dāng)BF是對(duì)角線時(shí)；分別設(shè)點(diǎn)E與F的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是∴16a+6+c=0c=2解得：a=?1∴所求拋物線解析式為y=?1（2）解：存在由拋物線解析式知，其對(duì)稱軸為直線x=32，設(shè)P32,t，則CP2①以C為頂點(diǎn)，即CP=CD時(shí)；則94解得：t=4或t=0（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)32②以D為頂點(diǎn)，即CD=PD時(shí)，則t2解得：t=±5∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,5綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,4或32（3）解：設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,0)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為n,?1①當(dāng)BC是對(duì)角線時(shí)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：m+n=4?解得：m=1n=3或m=4∴點(diǎn)E的坐標(biāo)(1,0)；②當(dāng)BE是對(duì)角線時(shí)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：4+m=n?解得：n=3±∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為?5+412,0③當(dāng)BF是對(duì)角線時(shí)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：m=4+n?解得：m=7n=3或m=4∴點(diǎn)E的坐標(biāo)(7,0)；綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為?5+412,0或?5?412【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，勾股定理等知識(shí)，本題有一定的綜合性，注意分類討論．【變式8-3】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第十三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?3,?4)，線段OB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與x軸的正半軸重合，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A．

(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式．(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BC+OC的值最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的上方，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PAB的最大面積．【答案】(1)y=?(2)存在，5(3)當(dāng)P(1,23)時(shí)，【分析】（1）首先求出OB的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知OB=OA，即可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式；（2）由于O、A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，若連接AB，則AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的C點(diǎn)，可先求出直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）可過P作y軸的平行線，交直線AB于M；可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)（根據(jù)P點(diǎn)的位置可確定其橫坐標(biāo)的取值范圍），根據(jù)拋物線和直線AB的解析式，可表示出P、M的縱坐標(biāo)，即可得到PM的長，以PM為底，A、B縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高即可得到△PAB的面積，從而得出關(guān)于△PAB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍，即可求得△PAB的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：點(diǎn)A的坐標(biāo)(5,0)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax∴?4=a×(?3)∴a=?16，∴y=?1（2）由于A、O關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接AB，則AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的C點(diǎn)；設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，則0=5m+n?4=?3m+n，解得：m=∴直線AB的解析式為：y=1∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b當(dāng)x=52時(shí)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(52，

（3）過P作直線PM∥y軸，交AB于設(shè)P(x,?16x∴PM=?1∴△PAB的面積：S====?=?2∴當(dāng)x=1，即P(1,23)時(shí)，△PAB

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、最短路徑問題、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及圖形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，能夠?qū)D形面積問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題是解決（3）題的關(guān)鍵．【題型9由實(shí)際問題抽象出二次函數(shù)模型】【例9】（2023春·吉林長春·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在斜坡OE底部點(diǎn)O處設(shè)置一個(gè)可移動(dòng)的自動(dòng)噴水裝置，噴水裝置的高度OA為1.4米，噴水裝置從A點(diǎn)噴射出的水流可以近似地看成拋物線．當(dāng)噴射出的水流與噴水裝置的水平距離為6米時(shí)，達(dá)到最大高度5米．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，噴水裝置所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．斜坡上距離O水平距離為8米處有一棵高度為1.6米的小樹NM，NM垂直水平地面且M點(diǎn)到水平地面的距離為1.8米．如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點(diǎn)N，請(qǐng)求出自動(dòng)噴水裝置應(yīng)向后平移（即拋物線向左平移）米．

【答案】2【分析】根據(jù)當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭6米時(shí)，達(dá)到