油罐橫截面弓形長(zhǎng)半軸體積的探討

油罐橫截面弓形長(zhǎng)半軸體積的探討

1油罐內(nèi)的油的體積在油田里，經(jīng)?？梢钥吹礁鞣N儲(chǔ)油罐的水平段是圓形（圓形）。對(duì)這類問(wèn)題,如果油罐里面的油是滿的,只要用橫截面橢圓形(圓形)的面積乘以油罐的長(zhǎng)度,即可求出儲(chǔ)油的體積。但有時(shí)油罐里的油不是滿的,要求出其體積,往往成為工人和技術(shù)人員的麻煩事。如果我們能用鋼尺量出油的深度h和橢圓(圓)的長(zhǎng)半軸a,短半軸b(圓的半徑R)及油罐的長(zhǎng)度L。就能用簡(jiǎn)單的計(jì)算方法求出儲(chǔ)油的體積,這在實(shí)際工作中顯然是有價(jià)值的。2契比曉夫級(jí)數(shù)的n階回收函數(shù)x1-2的形式設(shè)橫截面橢圓的方程為:x2a2+y2b2=1橢圓弓形的高為h,圖中帶陰影部分為儲(chǔ)油橫截面,先用定積分求儲(chǔ)油體積。設(shè)橢圓弓形的面積為S(h),則:S(h)=2ab∫h-b-b√b2-y2dy=[π2+h-bb√1-(h-bb)2+arcsinh-bb]ab設(shè)x=h-bb(由0≤h≤2b,可知-1≤x≤1),油罐的長(zhǎng)為L(zhǎng),儲(chǔ)油的體積為V(x),可得:V(x)=(π2+x√1-x2+arcsinx)abL(1)從式(1)能準(zhǔn)確的算出儲(chǔ)油的體積,但算式里含有反正弦函數(shù),一般計(jì)算不方便。由于多項(xiàng)式的值計(jì)算簡(jiǎn)單也方便,下面我們用多項(xiàng)式逼近(x√1-x2+arcsinx)給出儲(chǔ)油體積的近似值。由于函數(shù)(x√1-x2+arcsinx)在[-1,1]連續(xù),其一階導(dǎo)數(shù)(x√1-x2+arcsinx)′=2√1-x2在[-1,1]有界,由文獻(xiàn)可知(x√1-x2+arcsinx)的契比曉夫級(jí)數(shù)12a0Τ0(x)+∞∑n=1anΤn(x),(其中:an=2π∫1-1(x√1-x2+arcsinx)Τn(x)√1-x2dx?Τn(x)為n階契比雪夫多項(xiàng)式)一致收斂于函數(shù)x√1-x2+arcsinx。由式(1)即得:V(x)=(π2+x√1-x2+arcsinx)abL=[π2+12a0Τ0(x)+∞∑n=1anΤn(x)]abL(2)由文獻(xiàn)還可知用函數(shù)(x√1-x2+arcsinx)的契比曉夫級(jí)數(shù)的部分和也就是(x√1-x2+arcsinx)的最佳平方逼近多項(xiàng)式:12a0Τ0(x)+a1Τ1(x)+a2Τ2(x)+?+anΤn(x)代替(x√1-x2+arcsinx),從(2)可得出在[-1,1]上效果較好的V(x)的近似計(jì)算公式:V(x)≈[π2+12a0Τ0(x)+a1Τ1(x)+a2Τ2(x)+?+anΤn(x)]abL(3)下面討論an的求法。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),由于Tn(x)為偶函數(shù),又(x√1-x2+arcsinx)為奇函數(shù),√1-x2為偶函數(shù),可知an=∫1-1(x√1-x2+arcsinx)Τn(x)√1-x2dx中的被積函數(shù)為奇函數(shù),又積分區(qū)間[-1,1]為對(duì)稱的,因此當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)x=cost,則:a2k+1=2π∫π0sintcostcos(2k+1)tdt+π2∫π0(π2-t)cos(2k+1)tdt用分步積分法不難從上式得出:a2k+1=16(2k+1)2[4-(2k+1)2]π(k=0,1,2???)(5)綜合(4)式和(5)式得:an={0n=2k16(2k+1)2[4-(2k+1)2]πn=2k+1(k=0,1,2???)(6)由(3)式和(6)式可得V(x)的近似計(jì)算公式:V(x)≈{π2+16π[13Τ1(x)-145Τ3(x)-1525Τ5(x)+?+1(2k+1)2[4-(2k+1)2]Τ2k+1(x)]}abL(k=0?1,2??)(7)當(dāng)k=1時(shí),即用Ρ3(x)=π2+a1Τ1(x)+a3Τ3(x)代替x√1-x2+arcsinx+π2,得V(x)的近似值為:V(x)≈[π2+3245π(9x-2x2)]abL(8)當(dāng)k=2時(shí),即用Ρ5(x)=π2+a1Τ1(x)+a3Τ3(x)+a5Τ5(x)代替x√1-x2+arcsinx+π2,得V(x)的近似值為:V(x)≈[π2+161575π(615x-80x3-48x5)]abL(9)3qk-1+2由(2)式和(6)式得近似計(jì)算公式(7)的誤差估計(jì)|V(x)-{π2+16π[13Τ1(x)-145Τ3(x)-1525Τ5(x)+?+1(2k+1)2[4-(2k+1)2]Τ2k+1(x)]}abL|=|a2(k+1)+1Τ2(k+1)+1(x)+a2(k+2)+1Τ2(k+2)+1(x)+?|abL設(shè)Ρ2k+1(x)=π2+16π{13Τ1(x)-145Τ3(x)-1525Τ5(x)+?+1(2k+1)2[4-(2k+1)2]Τ2k+1(x)}由于|Tn(x)|≤1(n=0,1,2…)可知:|max-1≤x≤1V(x)-Ρ2k+1(x)abL|≤(|a2(k+1)+1|+|a2(k+2)+1|+?)abL進(jìn)而得max-1≤x≤1|V(x)-Ρ2k+1(x)abL|≤4abLπ×{(1[2(k+1)+1]2-22+1[2(k+2)+1]2-22+?)-(1[2(k+1)+1]2+1[2(k+2)+1]2+?)}=4abLπ{14[(12k+1-12(k+2)+1)+(12(k+1)+1-12(k+3)+1)+(12(k+2)+1-12(k+4)+1)+(12(k+3)+1-12(k+5)+1)+?]-[π28-(1+132+152+?+1(2k+1)2)]}=4abπ{1+132+152+?+1(2k+1)2-π28+k+1(2k+1)[2(k+1)+1]}(由文獻(xiàn)可知1+132+152+?+1(2k+1)2=π28)即得出用(7)式計(jì)算V(x)的誤差估計(jì):max-1≤x≤1|V(x)-Ρ2k+1(x)abL|≤4abLπ{1+132+152+?+1(2k+1)2-π28+k+1(2k+1)[2(k+1)+1]}(k=0,1,2??)(10)設(shè)Q(k)={1+132+152+?+1(2k+1)2+k+1(2k+1)[2(k+1)+1]-π28}為了便于對(duì)式(7)給出的V(x)近似值進(jìn)行誤差估計(jì),現(xiàn)將Q(k)的過(guò)剩近似值列表給出(見(jiàn)表1)。從V(x)的近似計(jì)算公式(7)不難得出橫截面為圓形(半徑為R)的儲(chǔ)油罐(管道)儲(chǔ)油體積V*(x)的近似計(jì)算公式:V*(x)≈{π2+16π(13Τ1(x)-145Τ3(x)-1525Τ5(x)+?+1(2k+1)2[4-(2k+1)2]Τ2k+1(x))}R2L(x=h-RR?h為圓的弓形高?k=0,1,2?)(11)從(10)式可得出(11)式的誤差估計(jì)式:max-1≤x≤1|V*(x)-Ρ2k+1(x)R2L|≤4R2Lπ×{1+132+152+?+1(2k+1)2-π28+k+1(2k+1)[2(k+1)+1]}(x=h-RR?h為圓的弓形高,k=0,1,2…)(12)4離散近似值檢驗(yàn)在實(shí)際問(wèn)題中,如果手中缺少計(jì)算工具,從(1)式可得出V(x)的離散近似值如表2。如果油罐橫截面為圓形(半徑為R),則只要將表2中的ab換成R2,即可得V*(x)的近似值。5儲(chǔ)油體積的近似值如果儲(chǔ)油罐橫截面橢圓的長(zhǎng)半軸a=2m,短半軸b=1m,儲(chǔ)油橫截面弓形的高h(yuǎn)=0.5m,油罐長(zhǎng)為2m,問(wèn)用Ρ5(x)=π2+a1Τ1(x)+a3Τ3(x)+a5Τ5(x)代替x1-x2+arcsinx+π2求得儲(chǔ)油體積的近似值為多少?并進(jìn)行誤差估計(jì)。解:從b=1m,h=0.5m得x=h-bb=-0.5?L=2m。從(9)式可得:V(