任意角三角函數(shù)教案 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修4

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)校成都市洛帶中學(xué)授課教師何燕課例名稱(chēng)任意角的三角函數(shù)學(xué)科（版本）高中數(shù)學(xué)（人教版）必修4章節(jié)第一章第二節(jié)學(xué)段、年級(jí)高中一年級(jí)學(xué)時(shí)2課時(shí)教材分析三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在其它學(xué)科領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.任意角的三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，它建立在《數(shù)學(xué)1》中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，是對(duì)銳角三角函數(shù)概念的擴(kuò)張。引入銳角三角函數(shù)的概念，目的是為了研究三角形中的邊角關(guān)系，定義側(cè)重于從幾何的角度，在直角三角形中得到角與邊的比值之間的確定關(guān)系.而引入任意角三角函數(shù)的概念，是為了研究周期變化現(xiàn)象，定義側(cè)重于從代數(shù)的角度，以單位圓為工具，得到角和其終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的確定關(guān)系.在弧度制下，是數(shù)集到數(shù)集的映射.本節(jié)課是在學(xué)習(xí)完“任意角和弧度制”后的第一節(jié)新授課，教材中對(duì)任意角的三角函數(shù)的定義有兩種——單位圓定義法和終邊定義法.從研究任意角的三角函數(shù)作用看，單位圓定義法顯得更為簡(jiǎn)單直觀，為后續(xù)研究三角函數(shù)性質(zhì)埋下伏筆；從數(shù)學(xué)史發(fā)展看，單位圓定義法對(duì)描述周期性變化規(guī)律模型起到推動(dòng)作用.因此，本教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生已有的反映周期現(xiàn)象變化的日常經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用為線索，完成任意角的三角函數(shù)的建構(gòu)過(guò)程.學(xué)情分析初中學(xué)習(xí)了函數(shù)的初步概念，研究了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)入高中后從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)重新刻畫(huà)了函數(shù)的概念，研究了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。學(xué)生已具備了學(xué)習(xí)和研究一個(gè)新函數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ)和初步能力。本節(jié)課之前的任意角和弧度制，學(xué)生已經(jīng)知道了角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，這為學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。三角函數(shù)是“從角的集合到坐標(biāo)分量的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解要比從前學(xué)過(guò)的特殊函數(shù)困難些，這是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，所以需要借助單位圓上的圓周運(yùn)動(dòng)以直觀的幾何方式給出定義，通過(guò)合理的設(shè)計(jì)問(wèn)題串突破該難點(diǎn)。教學(xué)的另一個(gè)難點(diǎn)是，任意角三角函數(shù)的定義域是角的集合（或它的子集），需要“把角的集合轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)集”．回顧前一節(jié)的弧度制學(xué)生可以自行解決該難點(diǎn)，并也體現(xiàn)了引入弧度制的必要性。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：理解任意角三角函數(shù)的定義，樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).過(guò)程與方法：經(jīng)歷單位圓定義法，培養(yǎng)合情猜測(cè)的能力，體會(huì)函數(shù)模型作用.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生積極參與知識(shí)“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過(guò)程，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的定義.教學(xué)難點(diǎn)：任意角三角函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程.教學(xué)方法教學(xué)流程教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課探究新知三、知識(shí)應(yīng)用四、小結(jié)導(dǎo)入1：欣賞歌曲《trigonometricfunctions》師：這首歌曲里面歌詞反復(fù)提到的sin，cos，tan是什么？生：三角函數(shù)師：對(duì)，這也是我們本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容（書(shū)寫(xiě)標(biāo)題1.2任意角的三角函數(shù)）導(dǎo)入2：關(guān)于三角函數(shù)數(shù)學(xué)史任意角三角函數(shù)是三角學(xué)中最基本最重要的概念之一，三角形是數(shù)學(xué)的一門(mén)分科，起源于天文觀測(cè)，它在14世紀(jì)至16世紀(jì)一度成為歐洲數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，研究?jī)?nèi)容包括了三角函數(shù)值表的編制，平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推導(dǎo)等。其中關(guān)于三角函數(shù)值編制還有一個(gè)故事，因?yàn)椋?dāng)時(shí)既沒(méi)有對(duì)數(shù)，也沒(méi)有計(jì)算器，全靠筆算。有個(gè)意大利數(shù)學(xué)家利提克斯為了制作他的三角函數(shù)值表，和他的助手們勤奮工作了12年，但是遺憾的是他生前沒(méi)有完成這項(xiàng)工作，直到他去世五十幾年后，才由他的學(xué)生完成并公布，利提克斯，為了自己的理想或者目標(biāo)，能夠十幾年如一日一直從事這樣的一件事。希望同學(xué)們也能像他一樣能夠擁有這樣堅(jiān)忍不拔的意志。那我們就帶著克服困難的勇氣，向三角函數(shù)發(fā)起挑戰(zhàn)！活動(dòng)一：展示本節(jié)課的知識(shí)技能目標(biāo)活動(dòng)二：回憶初中三角函數(shù)概念及特殊角的三角函數(shù)值。在初中我們已經(jīng)接觸過(guò)銳角三角函數(shù)了，在直角三角形中，正弦函數(shù)等于對(duì)邊比斜邊，余弦等于鄰邊比斜邊，正切等于對(duì)邊比斜邊。（請(qǐng)一位學(xué)生起來(lái)回答）探究一：如圖,設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在α的終邊上任取一點(diǎn)P(a,b),它與原點(diǎn)的距離r=>0.師：現(xiàn)在我們將銳角放進(jìn)平面直角坐標(biāo)系里，你能利用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)嗎？(小組討論，并請(qǐng)一位學(xué)生回答)根據(jù)初中學(xué)過(guò)的三角函數(shù)定義,我們有sinα==,cosα==,tanα==.問(wèn)題1：師：我這里的P是任取的，那我改變終邊上的P位置，這些比值會(huì)發(fā)生變化嗎？預(yù)設(shè)回答1：要發(fā)生改變，追問(wèn)為什么？（因?yàn)閎，r都在變化），那我們?cè)偃∫粋€(gè)點(diǎn)P、，根據(jù)相似三角形的結(jié)論，比值相等。有時(shí)候不要被它的表面現(xiàn)象所迷惑，要看清楚事物的本質(zhì)。那也就是說(shuō)明這三個(gè)比值不會(huì)隨著P在終邊位置的改變而改變。預(yù)設(shè)回答2：不會(huì)發(fā)生改變，追問(wèn)為什么？因?yàn)橄嗨迫切?，表?yè)P(yáng)（熱情洋溢表?yè)P(yáng)），非常好！也就是我們?cè)偃∫粋€(gè)點(diǎn)P0，根據(jù)兩個(gè)三角形相似，我們可以發(fā)現(xiàn)比值是不會(huì)發(fā)生改變的，也就是說(shuō)這三個(gè)比值不會(huì)隨著P在終邊的位置發(fā)生改變而改變。問(wèn)題2：師：那我有一個(gè)想法，能不能找到一個(gè)P點(diǎn)的位置使得這個(gè)三個(gè)式子變得更簡(jiǎn)潔呢？預(yù)設(shè)生：當(dāng)|OP|=1，此時(shí)sina=b，cosa=a，tana=b/a.（板書(shū)）當(dāng)p點(diǎn)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，它形成的軌跡是圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，我們把這樣的圓叫做單位圓，所以我們P可以看成終邊與單位圓的交點(diǎn)。們把這樣的圓叫做單位圓，所以我們P可以看成終邊與單位圓的交點(diǎn)。探究二：在直角坐標(biāo)系中利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)圖2如圖2所示,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x;(3)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=(x≠0).與初中相同，這里的sin叫做正弦函數(shù)，cos叫做余弦函數(shù)，tan叫做正切函數(shù)（板書(shū)）。這里正弦，余弦，正切函數(shù)都是以角作為自變量，以與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)比值為函數(shù)值的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)問(wèn)題3：師：對(duì)于三角函數(shù)，他的自變量和函數(shù)值分別是什么呢？（請(qǐng)一個(gè)學(xué)生回答）問(wèn)題4：師：我們一般說(shuō)函數(shù)有三要素，說(shuō)函數(shù)就要提到定義域，那對(duì)于這里的正弦，余弦與正切函數(shù)他們的定義域分別是多少呢？請(qǐng)同學(xué)們完成下列表格（請(qǐng)一位同學(xué)起來(lái)回答）三角函數(shù)定義域sinαcosαtanα預(yù)計(jì)回答：定義域是R，追問(wèn)為什么？正弦函數(shù)sinα=y,因?yàn)閥恒有意義,即α取任意實(shí)數(shù),y恒有意義,也就是說(shuō)sinα恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類(lèi)似地可寫(xiě)出余弦函數(shù)的定義域;對(duì)于正切函數(shù)tanα=,因?yàn)閤=0時(shí),無(wú)意義,即tanα無(wú)意義,又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí),才有x=0,所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí),恒有意義,即tanα恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是α≠例1：已知點(diǎn)在單位圓上，角α的終邊過(guò)點(diǎn)A，則有角A的三角函數(shù)值分別為多少？解：sinα=?32例2：已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.解:由已知,可得OP0==5.圖5如圖5,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).分別過(guò)點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0,于是sinα=y====;cosα=x====;tanα===.引出三角函數(shù)的終邊定義法設(shè)α是一個(gè)任意角,P(x,y)是α終邊上任意一點(diǎn),點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離r=x2圖4①叫做α的正弦,即sinα=;②叫做α的余弦,即cosα=;③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).變式練習(xí)1：已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(-12,5),求角α的正弦、余弦和正切值.變式練習(xí)2：設(shè)a≠0，角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?3a,4a，那么cos例3：求5π3的正弦、余弦和正切值.圖6解:在平面直角坐標(biāo)系中,作∠AOB=5π3易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,),所以sin5π3=,cos5π3=,tan5π3=.例4：完成下列特殊角的三角函數(shù)值表角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°角α的弧度數(shù)0ππππ2π3π5ππSinα01230230Cosα132-1??--1Tanα0313不存在3-10小結(jié)師：這節(jié)課你有什么收獲或體會(huì)？本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義,并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,任意角的三角函數(shù)實(shí)質(zhì)上是銳角三角函數(shù)的擴(kuò)展,是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺?biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)的比用歌曲、小故事引入課題，激起學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)興趣，為學(xué)習(xí)三角函數(shù)作好情感準(zhǔn)備。從銳角三角函數(shù)出發(fā)，獲得任意角三角函數(shù)定義?！疤厥饣币鲇脝挝粓A上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論獲得任意角的三角函數(shù)的單位圓定義加深對(duì)三角函數(shù)概念的理解通過(guò)例1，再次熟悉三角函數(shù)概念通過(guò)例2，引出三角函數(shù)的終邊定義法，通過(guò)終邊定義法，會(huì)求已知終邊任意一點(diǎn)的三角函數(shù)值。設(shè)計(jì)反思關(guān)于三角函數(shù)定義法,總的說(shuō)來(lái)就兩種:“單位圓定義法”與“終邊定義法”.這兩種方法本質(zhì)上是一致的.正因?yàn)榇?各種數(shù)學(xué)出版物中,兩種定義方法都有采用.在學(xué)習(xí)本節(jié)的過(guò)程中可以與初中學(xué)習(xí)的