《線性代數》 課件 2.5初等變換

第2章矩陣2-5初等變換一、矩陣的初等變換①②③④①②③÷2①②③④引例：求解線性方程組一、矩陣的初等變換②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④一、矩陣的初等變換②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④一、矩陣的初等變換④－2×③③④①②③④①②③④一、矩陣的初等變換取x3

為自由變量，則令x3=c

，則恒等式①②③④一、矩陣的初等變換三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數k乘某個方程，記作；一個方程加上另一個方程的k倍，記作.

其逆變換是：結論：由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數和常數進行運算，未知數并未參與運算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj一、矩陣的初等變換定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對調兩行，記作以非零常數k

乘某一行的所有元素，記作某一行加上另一行的k

倍，記作其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換一、矩陣的初等變換特點：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行；階梯線的豎線后面是首非零元.一、矩陣的初等變換特點：1.非零行的第一個非零元為1;2.這些非零元所在的列的其它元素都為零.一、矩陣的初等變換標準形矩陣：左上角是一個單位矩陣，其它元素全為零.一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換將矩陣A化為行最簡形矩陣的一般步驟為：（1）將矩陣化為階梯形矩陣（自上而下）．首先將矩陣的第1行的首非零元化為1，然后將其所在列下方的元素全化為零，再將第2行首非零元下方的元素全化為零，依次向下進行，直至把矩陣化為階梯形矩陣．（2）將階梯形化為行最簡形（自下而上）．從非零行最后一行起，將該非零行首非零元化為1，并將其所在列上方元素全化為0，再將倒數第二個非零行的首非零元化為1，并將其所在列上方元素全化為零，依次向上進行，直至把矩陣化為行最簡形矩陣．一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換二、初等矩陣定義

由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣,稱為初等矩陣（初等方陣）..

三類初等變換對應著三種初等矩陣.(1)對調單位陣的第

i,j行（列），記作

E5(3,5)記作

Em(i,j)．二、初等矩陣(2)以常數

k≠0

乘單位陣第

i行（列），記作

E5(3(5))記作

Em(i(k))．二、初等矩陣(3)以

k

乘單位陣第

j行加到第

i行,記作

Em(ij(k))．

以

k

乘單位陣第

i列加到第

j列．?兩種理解！二、初等矩陣把矩陣A的第i行與第j行對調，即.二、初等矩陣把矩陣A的第i列與第j列對調，即.二、初等矩陣結論把矩陣A的第i行與第j行對調，即.把矩陣A的第i列與第j列對調，即.以非零常數k

乘矩陣A的第i行，即.以非零常數k

乘矩陣A的第i列，即.把矩陣A第j行的k倍加到第i行，即.把矩陣A第i列的k倍加到第j列，即.二、初等矩陣定理

設A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣.口訣：左行右列.性質初等矩陣的逆矩陣是：二、初等矩陣定理方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣P1,P2,…,Pl，使A=P1

P2…,Pl

．這表明，可逆矩陣的標準形矩陣是單位陣.其實，可逆矩陣的行最簡形矩陣也是單位陣．三、用初等變換求逆矩陣三、用初等變換求逆矩陣三、用初等變換求逆矩陣三、用初等變換求逆矩陣三、用初等變換求逆矩陣三、用初等變換求逆矩陣四、用初等變換法求解矩陣方程四、用初等變換法求解矩陣方程