2022年考研數(shù)學(xué)(二)真題(含答案及解析)【可編輯】

2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(二)試題①若α(x)~β(x),則α2(x)~β2(x);②若a2(x)~β2(x),則α(x)~β(x);③若α(x)~β(x),則α(x)-β(x)=o(a(x))(A)①③.(B)①④(C)①③④.(A)I?<I?<I?(B)I?<I?<I?(C)l?<I?<I?(A){0,1}.(B){λ(C){λ|λ∈R,λ≠-1,λ≠-2}.(16)設(shè)A為3階矩陣，交換A的第2行和第3行，再將第2列的-1倍加到第1列，得到矩陣(17)(本題滿分10分)(18)(本題滿分12分)(19)(本題滿分12分)(20)(本題滿分12分)(21)(本題滿分12分)(22)(本題滿分12分)2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(二)試題解析①若α(x)~β(x),則a2(x)~β2(x);(A)①③.(B)①④.(C)①③④.若a(x)~β(4),則,從i,即c2(4)~β(s),命題①是真命題命題③是真命題.命題④是真命題.()(2013年數(shù)學(xué)三試題)(A)x·o(x2)=o(x23).(B)o(x)·o(x2)=(C)o(x2)+o(x2)=o(x2).(D)o(x)+o(x2)=o(x2).答案)D.(A)(-1,1).當(dāng)0≤p<1時，取δ>0,使得0<p+δ<1,(A)a<1且b>1.(C)a<1且a+b>1.(分析)本題主要考查數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系.不存②這道題的出題思路在2017年的一道數(shù)二真題當(dāng)中也出現(xiàn)過dx,,則()(A)I?<I?<l?(B)l?<I?<l?.分析)本題主要考查定積分比較大小.,則f(O)=0,,,則f(O)=0,,即此外，同樣的方法不難證明在(0,1)內(nèi)，In(1+x)<x.另一方面，由于在(0,1)內(nèi)，0<sinx,cosx<1,1<1+sinx<2,故1?的被積函數(shù)設(shè)A為3階矩陣，,則A的特征值為1,-1,0的充分必要條件是()(A)存在可逆矩陣P,Q,使得A=PAQ.(B)存在可逆矩陣P,使得A=PAP-'.(C)存在正交矩陣Q,使得A=QAQ-1.(D)存在可逆矩陣P,使得A=PAP1.分析)本題主要考查矩陣相似的條件.3階矩陣A的特征值為1,-1,0意味著A有3個不同的特征值，從而相似于與它具有相同特征矩陣相似的定義設(shè)A,B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P,使P-'AP=B,則稱B是A的相似矩陣，或者稱矩陣A與B相似.解)3階矩陣A的特征值為1,-1,0意味著A有3個不同的特征值，從而A相似于與它具有相同特征值的對角矩陣，即A.于是，A的特征值為1,-1,0的充分必要條件即A與A相似的充分必要條件.選項B實際上為A與A相似的定義，即存在可逆矩陣P,使得A=P-'AP,也即A=PAP-I.因選項A是A與A等價的定義.若兩矩陣相似，則它們必等價，但兩個等價的矩陣不一定相似，例如和,故選項A是A與A相似的必要不充分條件.因為正交矩陣也是可逆矩陣，所以選項C是A與A相似的充分條件.但選項C并不是A與A相似的必要條件，因為A不一定能找到一組相互正交的特征向量，這一要求對實對稱矩陣成立，對一般矩陣不成立.,3.矩陣合同(1)定義設(shè)A和B是n階矩陣，若有可逆矩陣C,使B=C1AC,則稱矩陣A與B合同.(2)充分必要條件兩實對稱矩陣A,B合同的充分必要條件是A和B的正、負(fù)慣性指數(shù),則線性方程組Ax=b的解的情況為a分析)本題主要考查線性方程組的解的情況.本題的方程組的系數(shù)矩陣帶參數(shù)，故需要分情況討論.但若注意到系數(shù)矩陣行列式與范德蒙范德蒙德行列式形如1的n階行列式被稱為范德蒙德行列式，解)(法一)注意到r(A,b)≠r(A),方程組無解.(法二)直接對增廣矩陣(A,b)作初等行變換.當(dāng)a=b,但均不等于1時，r(A)=2,r(A,b)=注像這種系數(shù)矩陣中帶參數(shù)，需要稍加討論才能判斷解的情況的方程組問題，往年【例】設(shè)矩陣..若集合Ω={1,2},則線性方程組Ax=b有10設(shè)α?=(λ,1,1)1,α?=(1,λ,1)1,α?=(1,1,λ)1,α?=(1,λ,λ2)1,若a?,α?,α?與a,a?,a?等價，則λ的取值范圍是()(A){0,1}.(B){λ|λ∈R,λ≠-2}.(C){λ|λ∈R,λ≠-1,λ≠-2}.(D){λ|λ∈R,λ≠-1}.r(a?,α?,α?,α?).由這一條件出發(fā)，可以考慮對矩陣(α?,α?,α?,α?)作初等行變換并討論秩來由于A有2階非零子式,故r(A)≥2.另一方面，因為不存在λ滿足λ+2=(λ+1)2=0,所以r(A)=3.且λ≠-1.注意到λ=1也包含在條件λ≠-2且λ≠-1中，故r(a?,α?,α?,α?)=r(a?,α?,a?)=r(a?,a?,a?)當(dāng)且僅當(dāng)λ≠-2且λ≠-1. 解)取對數(shù)再求極限.2x+y+xy1+3y2y1=0,即2x+y+(x+3y2)y1=0.2+y1+(1+6yy')y1+(x+3y2)y"=0.答案應(yīng)填,則L圍成的有界區(qū)域的面積本題中的曲線是由極坐標(biāo)形式給出的.對于由極坐標(biāo)形式r=r(θ)(α≤θ≤β)給出的封閉曲線L,其圍成的平面圖形的面積為A=如圖所示，本題中的曲線L是“三葉玫瑰線”的一個花瓣，圖中藍(lán)色曲線為L.解由面積公式得的題.面積是.(2013年數(shù)學(xué)二試題)答案r=cos30的圖形如右圖.30,故這兩實際上，由r=cos30逆時針旋轉(zhuǎn)即可得r=sin30,故這兩段曲線圍成的面積是相等的.則A-1的跡tr(A-1)=答案應(yīng)填-1.A-1的跡.解))交換第2行和第3行對應(yīng)左乘初等矩陣,將第2列的-1倍加到第1列對應(yīng)右乘初等矩陣.記進(jìn)一步可得tr(A-1)=-1.(分析)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義.由函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)可得f(x)在x=1一步可由該式湊導(dǎo)數(shù)定義得到f'(1)的值.得進(jìn)進(jìn)=f'(1).=-2f'(1)=2.y(x)(1≤x≤e)的弧長.可得 已知平面區(qū)域D=|(x,y)1y-2≤x≤√4-y,O≤y≤21,計算解)在極坐標(biāo)系下計算.因此，f}(x,y-x)-fz(x,y-x)(Ⅱ)通過積分先計算g(x,y),即f(x,y-x)的表達(dá)式令u=x,v=y-x可得f(u,u)=-2uve-(u+))+φ(u+v).f(u,v)=-2uve-(u+)+φ(u+v)=-2uve-(u)+(u+v)2e-(u+1)=(f;(u,v)=2ue-(μ+t)-(u2+v2)e-(u)=(2ufz(u,v)=2ve-(u+i)-(u2+v2)e-(u+*)=(2v-成成fm(u,v)=(2-2u)e(u++)-(2u-u2-v2)e(u*)=(u2+vf}(u,v)=-2ve~(u+)-(2u-u2-v2)e-(u+)=(u2+v2-f2(u,v)=(2-2n)e-(u+)-(2o-u2-v2)e(a*)=(u2+v2-4v+2)e-(u).A=fh(0,0)=2,B=f(0,0)=0,C=f2(0,0)=2.A=f}(1,1)=0,B=fl(1,1)=-2e-2,C=fz(1,1)=0.f(x,y-x)=2x(x-y)e?+y2e-.f(u,v)=-2uve(ut)+(u+n)2e-(a+)=f”(x?)<0,則由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性可得存在包含x?的一個小區(qū)間[a?,b?],在該小區(qū)間上故令),xe[a,b],則F(a)=0,且可可f”(x)≥0.提矛盾.綜上所述，f”(x)≥0的充分必要條件是對任意不同的實數(shù)a,b,都有(I)求正交矩陣Q,使正交變換x=Qy將二次型f(x?,x?,x?)化為標(biāo)準(zhǔn)形；(Ⅱ)證明分析)本題主要考查二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用.即可.即正交變換并不改變向量的長度，故可以利用第(I)