其它考試線性代數(shù)課件：12第六章實二次型

線性代數(shù)課件：第六章實二次型本章將深入探討實二次型的各種性質(zhì)和應(yīng)用，包括定義、特征值、正負性判定、標準型、正交對角化和合同矩陣等內(nèi)容。讓我們開始深入學習吧！實二次型的定義和性質(zhì)定義實二次型是一個關(guān)于實向量的二次多項式。性質(zhì)實二次型具有對稱性和二次齊次性。特殊情況平方和函數(shù)是實二次型的一種特殊情況。實對稱矩陣的特征值和特征向量特征值實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。特征向量特征向量是實對稱矩陣對應(yīng)特征值的線性無關(guān)解。特征值-特征向量方程特征值-特征向量方程是實對稱矩陣的特征值和特征向量的定義。正定、負定、半正定和半負定實二次型正定實二次型對于任意非零實向量，都有二次型的值大于零。負定實二次型對于任意非零實向量，都有二次型的值小于零。半正定實二次型對于任意非零實向量，都有二次型的值大于等于零。半負定實二次型對于任意非零實向量，都有二次型的值小于等于零。用特征值判定實二次型的正負性1正定實二次型特征值全為正數(shù)時，實二次型是正定的。2負定實二次型特征值全為負數(shù)時，實二次型是負定的。3半正定實二次型特征值全為非負數(shù)時，實二次型是半正定的。實二次型的標準型和規(guī)范型標準型實二次型的標準型是一種方便進行性質(zhì)分析和計算的簡化形式。規(guī)范型實二次型的規(guī)范型是實對稱矩陣的對角陣表示。對角陣對角陣有對稱矩陣的特殊性質(zhì)，是規(guī)范型的實現(xiàn)形式。實二次型的正交對角化1正交對角化過程通過正交變換，將實對稱矩陣對角化為對角陣。2特殊情況實對稱矩陣的特征向量可以兩兩正交。3應(yīng)用正交對角化可以簡化實二次型的計算和分析。實二次型的主軸定理定理實二次型的主軸是實二次型的一個基，通過正交變換可以將實二次型變換為以主軸為坐標軸的形式。特點變換后的實二次型成為與原實二次型相似的實二次型。重要性主軸定理為實二次型的性質(zhì)分析提供了很多便利。實二次型的規(guī)范形式和規(guī)范矩陣1規(guī)范形式規(guī)范形式是經(jīng)過正交變換后的實二次型以規(guī)范矩陣形式表示。2規(guī)范矩陣規(guī)范矩陣是實二次型規(guī)范形式的矩陣表示。3規(guī)范性質(zhì)規(guī)范矩陣是對角陣，其對角線上的元素稱為規(guī)范形式的規(guī)范系數(shù)。標準正交基下的實二次型矩陣標準正交基標準正交基是由實二次型的特征向量組成的正交基。矩陣表示在標準正交基下，實二次型的矩陣表示是對角陣。對角陣對角陣具有簡潔的形式，易于計算和分析。實二次型的矩陣特征值和矩陣特征向量1矩陣特征值矩陣特征值是實二次型的特征值，與特征值-特征向量方程關(guān)聯(lián)。2矩陣特征向量矩陣特征向量是實二次型的特征