第3章 積分及應用3-1不定積分及公式

3.1不定積分及公式目錄微積分簡介不定積分的性質(zhì)原函數(shù)與不定積分積分基本公式【知識目標】

理解概念：原函數(shù)、不定積分的概念和性質(zhì)

掌握題型：用直接積分法計算不定積分【能力目標】

理解積分思想，提高創(chuàng)新思維能力；理解漸變過程，提高分析和推理能力；理解原函數(shù)與不定積分概念，熟悉逆向思維原理與技巧。教學目標微積分是微分學與積分學的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生和發(fā)展經(jīng)歷了漫長的過程。公元前三世紀，古希臘的數(shù)學家、力學家阿基米德（公元前287~前212）在解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線所得體積的問題中就隱含著近代積分的思想。文藝復興時期和十七世紀前期，由于科學技術的發(fā)展，涌現(xiàn)了一系列新的數(shù)學問題，例如：求切線斜率、求瞬時速度、求不規(guī)則圖形的面積、求曲線長等等，許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論，為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻；十七世紀下半葉，英國科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。至此，微積分成為了一門獨立的學科。一、微積分簡介引例分析像這種已知曲線的切線斜率，求曲線方程的問題，涉及到以下原函數(shù)的概念。二、原函數(shù)與不定積分1、原函數(shù)的概念注：并非所有函數(shù)都存在原函數(shù)，只有連續(xù)的函數(shù)才有原函數(shù)。

原函數(shù)存在定理：原函數(shù)族定理：1、原函數(shù)的概念2、不定積分的概念

3、不定積分的幾何意義性質(zhì)1性質(zhì)2結(jié)論求不定積分與求導數(shù)（或微分）（基本上）互為逆運算。三、不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)3性質(zhì)4由于求不定積分是求導數(shù)（或微分）的逆運算，所以由基本導數(shù)公式可得基本積分公式：四、積分基本公式直接積分法（積分方法一）：利用基本的積分公式和不定積分的性質(zhì)，可以直接計算一些較簡單的不定積分，這種方法一般稱為直接積分法。例例說明：一般地，利用不定積分性質(zhì)求有限個函數(shù)代數(shù)和的積分時，每一個積分的結(jié)果都含有一個任意常數(shù)，但由于任意常數(shù)之和仍為任意常數(shù)，所以結(jié)果中只寫一個任意常數(shù)即可。結(jié)論：直接積分法除了可以直接代入積分基本公式和積分性質(zhì)進行積分外，對于不能直接利用性質(zhì)、基本積分公式積分的函數(shù)，有時候可以先將被積函數(shù)經(jīng)過分解