小學(xué)六年級奧數(shù)（舉一反三）：第27講 表面積與體積（一）

第27講表面積與體積（一）一、知識要點(diǎn)小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識上的一個(gè)飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃危B(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣，解題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計(jì)算。在解答立體圖形的表面積問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）充分利用正方體六個(gè)面的面積都相等，每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)。（2）把一個(gè)立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個(gè)立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個(gè)長方體拼成一個(gè)表面積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把幾個(gè)長方體拼成一個(gè)表面積最小的長方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。二、精講精練【例題1】從一個(gè)棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長10厘米、寬2厘米這是一道開放題，方法有多種：①按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為592平方厘米。②按圖27-2所示，在某個(gè)面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。③按圖27-3所示，挖通某兩個(gè)對面，剩下部分的表面積為672平方厘米。練習(xí)1：1、從一個(gè)長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個(gè)棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少？2、把一個(gè)長為12分米，寬為6分米，高為9分米的長方體木塊鋸成兩個(gè)想同的小廠房體木塊，這兩個(gè)小長方體的表面積之和，比原來長方體的表面積增加了多少平方分米？3、在一個(gè)棱長是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長是1厘米的小正方體后，表面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？【例題2】把19個(gè)棱長為3厘米的正方體重疊起來，如圖27-4要求這個(gè)復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個(gè)方向觀察，每個(gè)方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所示）。而從另外三個(gè)方向上看到的面積與以上三個(gè)方向的面積是相等的。整個(gè)立體圖形的表面積可采用（S上+S左+S前）×2來計(jì)算。（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2=（81+72+90）×2=243×2=486（平方厘米）答：這個(gè)立體圖形的表面積是486平方厘米。練習(xí)2：1、用棱長是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個(gè)立體圖形的表面積。2、一堆積木（如圖27-7所示），是由16塊棱長是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面積是多少平方厘米？圖27－73、一個(gè)正方體的表面積是384平方厘米，把這個(gè)正方體平均分割成64個(gè)相等的小正方體。每個(gè)小正方體的表面積是多少平方厘米？【例題3】把兩個(gè)長、寬、高分別是9厘米、7厘米、把兩個(gè)相同的大長方體拼成一個(gè)大廠房體，需要把兩個(gè)相同面拼合，所得大廠房體的表面積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長方體的表面積最小，就必須使兩個(gè)拼合面的面積最大，即減少兩個(gè)9×7的面。（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2=（63+36+28）×4—126=508—126=382（平方厘米）答：這個(gè)大廠房體的表面積最少是382平方厘米。練習(xí)3：1、把底面積為20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長方體，長方體的表面積是多少？2、將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長方體，再將這兩個(gè)長方體拼成一個(gè)大長方體。求大長方體的表面積是多少。3、用6塊（如圖27-8所示）長方體木塊拼成一個(gè)大長方體，有許多種做法，其中表面積最小的是多少平方厘米？圖27-8【例題4】一個(gè)長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米我們知道：體積=長×寬×高；由長增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬×高=40÷2=20（平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長×寬=96÷4=24（平方厘米）。而長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2=（20+30+24）40÷2=20（平方厘米）90÷3=30（平方厘米）96÷4=24（平方厘米）（30+20+24）×2=74×2=148（平方厘米）答：原長方體的表面積是148平方厘米。練習(xí)4：1、一個(gè)長方體，如果長減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米，則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來廠房體的表面積是多少平方厘米？2、一個(gè)廠房體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一個(gè)正方體，其表面積減少了120平方厘米。原來廠房體的體積是多少立方厘米？3、有一個(gè)廠房體如下圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長方體的體積是多少？圖27－9【例題5】如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再減去重疊部分的面積，這樣計(jì)算比較麻煩。實(shí)際上三個(gè)向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個(gè)底面積。這樣，這個(gè)物體的表面積就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=3.14×（4.5+3+2+1）=3.14×10.5=32.97（平方米）答：這個(gè)物體的表面積是32.97平方米練習(xí)5：1、一個(gè)棱長為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個(gè)面上，各有一個(gè)直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個(gè)零件的表面積。2、用鐵皮做一個(gè)如圖27-12所示的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米？3、如圖