所有大二上概率第二章4講

3.正態(tài)分布

(normaldistribution)

正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.

正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛

德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.

平時(shí)，我們很少有人會(huì)去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗(yàn)次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。高爾頓釘板試驗(yàn)這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。正態(tài)分布的定義是什么呢？對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，一般是給出它的概率密度函數(shù)。

一、正態(tài)分布的定義

若r.vX的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.正態(tài)分布有些什么性質(zhì)呢？

由于連續(xù)型隨機(jī)變量唯一地由它的密度函數(shù)所描述，我們來(lái)看看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點(diǎn)。二、正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)

正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”.

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)

能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達(dá)式，得出正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)呢？容易看到，f(x)≥0即整個(gè)概率密度曲線都在x軸的上方;故f(x)以μ為對(duì)稱軸，并在x=μ處達(dá)到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分別代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)這說(shuō)明曲線f(x)向左右伸展時(shí)，越來(lái)越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。

當(dāng)x→

∞時(shí)，f(x)→0,用求導(dǎo)的方法可以證明，為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x=μ

σ這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下再?gòu)?fù)習(xí)一下。正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征總結(jié)下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態(tài)密度曲線可見，某大學(xué)男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個(gè)方面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)。請(qǐng)同學(xué)們想一想，實(shí)際生活中具有這種特點(diǎn)的隨機(jī)變量還有那些呢？

除了我們?cè)谇懊娴纳砀咄?在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的概率密度是X的分布函數(shù)P(X≤x)是怎樣的呢？

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是

正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布standardnormaldistribution

下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：它的依據(jù)是下面的定理：

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題.,則~N(0,1)

設(shè)Theorem1

書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.四、正態(tài)分布表表中給的是x>0時(shí),Φ(x)的值.當(dāng)-x<0時(shí)若~N(0,1)

若X～N(0,1),由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時(shí)，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974五、3準(zhǔn)則將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).

這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.

例4

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定?解:設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來(lái)求滿足上式的最小的h.看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子:因?yàn)閄～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98184設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.(1)所求概率為解例5

這一講，我們介紹了正態(tài)分布，它的應(yīng)用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道.

后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布.練習(xí)數(shù)學(xué)文化欣賞

-------畢達(dá)哥拉斯悖論（希帕索斯）與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何璀璨的明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類的實(shí)踐活動(dòng)中有著極其廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是人類最早認(rèn)識(shí)到的平面幾何定理之一。在我國(guó)，最早的一部天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已有了關(guān)于這一定理的初步認(rèn)識(shí)。不過(guò)，在我國(guó)對(duì)于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國(guó)時(shí)期的趙爽才用面積割補(bǔ)給出它的第一種證明。在國(guó)外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達(dá)哥拉斯。因而國(guó)外一般稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。并且據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個(gè)帶神秘色彩的稱號(hào)：“百牛定理”。

畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬(wàn)物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)√2的誕生。小小√2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的