所有大二上概率第二章4講

3.正態(tài)分布

(normaldistribution)

正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.

正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛

德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.

平時，我們很少有人會去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。正態(tài)分布的定義是什么呢？對于連續(xù)型隨機變量，一般是給出它的概率密度函數(shù)。

一、正態(tài)分布的定義

若r.vX的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.正態(tài)分布有些什么性質(zhì)呢？

由于連續(xù)型隨機變量唯一地由它的密度函數(shù)所描述，我們來看看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點。二、正態(tài)分布的圖形特點

正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對稱的鐘形曲線.特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布的圖形特點

能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達式，得出正態(tài)分布的圖形特點呢？容易看到，f(x)≥0即整個概率密度曲線都在x軸的上方;故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分別代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。

當(dāng)x→

∞時，f(x)→0,用求導(dǎo)的方法可以證明，為f(x)的兩個拐點的橫坐標(biāo)。x=μ

σ這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下再復(fù)習(xí)一下。正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征總結(jié)下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態(tài)密度曲線可見，某大學(xué)男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特點。請同學(xué)們想一想，實際生活中具有這種特點的隨機變量還有那些呢？

除了我們在前面的身高外,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布的隨機變量X的概率密度是X的分布函數(shù)P(X≤x)是怎樣的呢？

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是

正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布standardnormaldistribution

下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：它的依據(jù)是下面的定理：

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,則~N(0,1)

設(shè)Theorem1

書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.四、正態(tài)分布表表中給的是x>0時,Φ(x)的值.當(dāng)-x<0時若~N(0,1)

若X～N(0,1),由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974五、3準(zhǔn)則將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時，可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).

這在統(tǒng)計學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.

例4

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?解:設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子:因為X～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98184設(shè)計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.(1)所求概率為解例5

這一講，我們介紹了正態(tài)分布，它的應(yīng)用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道.

后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布.練習(xí)數(shù)學(xué)文化欣賞

-------畢達哥拉斯悖論（希帕索斯）與第一次數(shù)學(xué)危機

希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何璀璨的明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應(yīng)用，同時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一。在我國，最早的一部天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已有了關(guān)于這一定理的初步認識。不過，在我國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般稱之為“畢達哥拉斯定理”。并且據(jù)說畢達哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理”。

畢達哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學(xué)派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。畢達哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)√2的誕生。小小√2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對于當(dāng)時所有古希臘人的