微積分在電磁學(xué)中的應(yīng)用

微積分在電磁學(xué)中的應(yīng)用1引言微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一,它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題,使我們研究變量更加容易.微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著并發(fā)展起來的,它在諸多學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用,并發(fā)揮著重要的作用,在電磁學(xué)方面微積分也對(duì)其產(chǎn)生了深刻的影響.本文對(duì)使用微積分求某些物理量諸如電場強(qiáng)度、電通量、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電勢、感應(yīng)電動(dòng)勢等進(jìn)行分析來闡明微積分的應(yīng)用.其基本思想是先把一種復(fù)雜的帶電體分割成無窮多個(gè)電荷元,再求出每一部分對(duì)應(yīng)的值最后運(yùn)用積分求總值.其中涉及了定積分,二重積分等方面的內(nèi)容在電磁學(xué)中的應(yīng)用.特別是在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)建立適宜的坐標(biāo)系,擬定積分微元,對(duì)的寫出被積函數(shù)以及上下限等.本文就微積分在電磁學(xué)中的應(yīng)用的某些具體實(shí)例進(jìn)行探討,以闡明微積分應(yīng)用之廣泛.2電場中微積分的應(yīng)用2.1有關(guān)電場的理論 2.1.1場強(qiáng)比值是一種無論大小和方向都與試探電荷無關(guān)的矢量(其中是兩點(diǎn)電荷間的互相作用力,是很小很小的點(diǎn)電荷,為試探電荷.),它是反映電場本身性質(zhì)的,我們把它定義為電場強(qiáng)度,簡稱場強(qiáng),用來表達(dá),即,用文字來表達(dá)就是：某處電場強(qiáng)度定義為這樣一種矢量,其大小等于單位電荷在該處所受電場力的大小,其方向與正電荷在該處所受電場力的方向一致.2.1.2場強(qiáng)疊加原理如果是幾個(gè)電荷共同作用于此點(diǎn),則場強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量疊加,這也就是電場強(qiáng)度的疊加原理.2.1.3電荷的體密度，線密度,面密度電荷的體密度,就是單位體積內(nèi)的電荷.取一體積元包含點(diǎn),設(shè)在內(nèi)全部電荷的代數(shù)和為,則點(diǎn)電荷的體密度定義為=,應(yīng)指出的是這里的“”是一種數(shù)學(xué)上的抽象,事實(shí)上只要在宏觀上看起來足夠小就行了.電荷的線密度,它的物理意義是單位長度內(nèi)的電荷.如果電荷分布在某根細(xì)線或細(xì)棒上,在數(shù)學(xué)上可這樣解決,設(shè)細(xì)線的截面積為,電荷的體密度為.在細(xì)線上取長度為的一段,它的體積為,其中包含的電荷量便是△q=.構(gòu)想,,但是保持它們的乘積為一有限值,則,或=,稱為電荷的線密度,在數(shù)學(xué)上能夠?qū)懗?.電荷的面密度,它的物理意義是單位面積內(nèi)的電荷.在數(shù)學(xué)上,我們能夠把一種導(dǎo)體的表面層的厚度視為,層內(nèi)電荷的體密度為.取面積為的一塊表面層,它的體積是,其中的包含電荷量有,構(gòu)想,,但是保持他們的乘積=為一有限值,則,或=,稱為電荷的面密度,在數(shù)學(xué)上能夠?qū)懗?.2.2電場中微積分的應(yīng)用舉例例1均勻帶電細(xì)桿,長,帶電荷,求其中垂面上距桿為的電場強(qiáng)度.圖1解由于細(xì)棒有關(guān)其中垂面對(duì)稱,因此求均勻帶電細(xì)桿中垂面上的場強(qiáng)分布時(shí),只需求細(xì)棒的中垂面與紙面交線為中垂線上任一點(diǎn)點(diǎn)處的場強(qiáng)即可.很顯然,直接運(yùn)用公式(其中是單位矢量)求處的場強(qiáng)是不能夠的.在本例題中,能夠把電荷當(dāng)作在帶電細(xì)棒上的持續(xù)分布.選用棒的中點(diǎn)為原點(diǎn)取坐標(biāo)軸沿細(xì)棒向上,將整個(gè)細(xì)棒分割成一對(duì)一的線元,線元距點(diǎn)距離為，點(diǎn)距點(diǎn)距離為,其中每對(duì)線元和對(duì)于中垂線對(duì)稱,所產(chǎn)生的元場強(qiáng)和也有關(guān)中垂線對(duì)稱.它們在垂直于方向上的分量互相抵消矢量和為零,在中垂面上(稱為方向)場強(qiáng)大小為2.這時(shí)就能夠用得出,由題及上圖可知,帶電細(xì)棒的線密度,線元的帶電量為,線元距點(diǎn)的距離為,,因此,細(xì)棒在點(diǎn)的總場強(qiáng)是全部這樣一對(duì)對(duì)場強(qiáng)和的矢量和,方向?yàn)榉较?由于電荷是持續(xù)分布的,求和事實(shí)上是沿細(xì)棒積分.令細(xì)棒在軸所在平面與細(xì)棒的中垂面線上任一點(diǎn)處的場強(qiáng)為,則根據(jù)以上的分析.3電通量中微積分的應(yīng)用 3.1有關(guān)電通量的理論3.1.1當(dāng)所取的面與該處場強(qiáng)垂直時(shí),電通量.3.1.2當(dāng)所取的面與該處場強(qiáng)不垂直時(shí),通過一面元的電通量定義為該點(diǎn)場強(qiáng)的大小與在垂直于場強(qiáng)方向的投影面積=的乘積,其中是面元的法線矢量與場強(qiáng)的夾角.3.2有關(guān)電通量的計(jì)算中微積分的應(yīng)用舉例例2求通過包圍點(diǎn)電荷的同心球面的電通量.解以點(diǎn)電荷所在處為中心,任意長為半徑做一球面,根據(jù)庫侖定律,在球面上各點(diǎn)場強(qiáng)大小同樣——E=,場強(qiáng)的方向沿半徑向外輻射.在球面上任意取一面元,其外法線矢量也是沿半徑方向向外的,即和的夾角,因此通過的電通量為==,通過整個(gè)閉合球面的電通量為：.4電磁感應(yīng)中微積分的應(yīng)用4.1有關(guān)電磁感應(yīng)的理論我們懂得載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場的基本規(guī)律是畢奧-薩伐爾定律,寫成微分的形式,則有.整個(gè)閉合回路產(chǎn)生的磁場是各電流元的迭加.4.2有關(guān)電磁感應(yīng)計(jì)算中微積分的應(yīng)用舉例例3考慮在直導(dǎo)線旁任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.圖2解將本題中的直導(dǎo)線分割為許多無窮小的電流元,根據(jù)右手定則可知任意電流元產(chǎn)生的元磁場的方向都一致,垂直紙面對(duì)里.根據(jù)畢奧-薩伐爾定律的微分形式,可知任一電流元在直導(dǎo)線旁任一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度,由圖可知為到直線的距離即,又由于整根導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相似,因此直導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生的總磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小就是的代數(shù)和,,而=,由于電流元足夠小,并且分割成為無窮多個(gè)小的電流元,因此求和號(hào)能夠變成積分號(hào),因此對(duì)于直導(dǎo)線來說=（*）如圖2所示,為求積分我們能夠?qū)?duì)電流元長度的積分轉(zhuǎn)化成對(duì)角度的積分.設(shè)到距為,則=則,,,代入（*）式得==式中,是導(dǎo)線兩端處角的數(shù)值.5電勢中微積分的應(yīng)用5.1有關(guān)電勢的理論靜電場中任意一點(diǎn)的電勢等于把單位正電荷從該點(diǎn)沿任意途徑移動(dòng)到電勢為零的參考點(diǎn)的過程電場力做的功.或靜電場中任意一點(diǎn)的電勢為電場強(qiáng)度沿任意途徑從點(diǎn)到的參考點(diǎn)的線積分,即.5.2有關(guān)電勢計(jì)算中微積分的應(yīng)用舉例例4求點(diǎn)電荷電場中的電勢分布.解設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn),在電場中的分析我們懂得,點(diǎn)電荷的電場分布,有,根據(jù)電勢的定義,在點(diǎn)電荷的電場分布中,任一點(diǎn)的電勢為.當(dāng)場源電荷,電場中各點(diǎn)的電勢都為正值,并且離越遠(yuǎn),電勢越低,在無限遠(yuǎn)處電勢為零,無限遠(yuǎn)處的零電勢是正電荷電場中電勢的最小值.若,電場中各點(diǎn)的電勢為負(fù)值,并且離越遠(yuǎn),電勢越高,無限遠(yuǎn)處的零電勢是負(fù)電荷電場中電勢的最大值.例5求均勻帶電球面的電場中的電勢分布,已知球面半徑為,帶電量為.解設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn),在電場中的分析我們懂得帶電球面的電場分布為(),(),球面外的電場與點(diǎn)電荷的電場同樣,因此帶電球面外任意一點(diǎn)的電勢與點(diǎn)電荷的相似,即(),球面內(nèi)的電勢可根據(jù)定義求得().6感應(yīng)電動(dòng)勢計(jì)算中的微積分的應(yīng)用6.1有關(guān)感應(yīng)電動(dòng)勢的理論 6.1.1動(dòng)生電動(dòng)勢是在穩(wěn)恒磁場中運(yùn)動(dòng)中的導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢,動(dòng)生電動(dòng)勢能夠看作是洛倫茲力引發(fā)的.6.1.2自由電子受到的洛倫茲力為,的方向可由安培定則判斷.電動(dòng)勢是反映電源性能的物理量,是衡量電源內(nèi)部非靜電力大小的物理量.電動(dòng)勢定義為單位正電荷從負(fù)極通過電源內(nèi)部移動(dòng)到正極的過程中,非靜電力做的功.在這里,非靜電力就是作用在單位正電荷上的洛倫茲力,作用在單位正電荷上的非靜電力能夠用一種等效的非靜電場表達(dá),這個(gè)非靜電場的場強(qiáng)為.動(dòng)生電動(dòng)勢就是.當(dāng)時(shí),單位正電荷受力的方向與的方向一致,因此上式的積分化為.6.2有關(guān)感應(yīng)電動(dòng)勢計(jì)算中的微積分的應(yīng)用舉例例6長度為的一根銅棒,其一端固定,在均勻磁場中一角速度旋轉(zhuǎn),線速度的方向與磁場垂直,如圖3所示.求這根銅棒兩端的電位差.設(shè)磁場的方向垂直紙面對(duì)外.圖3解銅棒旋轉(zhuǎn)時(shí)切割磁感應(yīng)線,故棒兩端之間有感應(yīng)電動(dòng)勢.棒上全部的線速度不同,由于棒與磁場垂直,由,導(dǎo)體棒上各點(diǎn)產(chǎn)生的電動(dòng)勢不同.這就需要用微積分的辦法解決本題,將導(dǎo)體棒分割成無窮多個(gè)線元,設(shè)到端距離為,則處速度,線元產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢由于將導(dǎo)體棒分割成無窮多個(gè)線元,故導(dǎo)體棒產(chǎn)生的點(diǎn)電動(dòng)勢為這些線元產(chǎn)生的電動(dòng)勢的積分,即.其中端是負(fù)極,端是正極.因此,兩者差,因此.6.3有關(guān)感生電動(dòng)勢的理論6.3.1當(dāng)導(dǎo)體回路靜止不動(dòng)時(shí),由于磁場的大小或方向的變化所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢,稱為感生電動(dòng)勢.6.3.2空間的磁場隨時(shí)間變化時(shí),在其周邊也激發(fā)一種電場叫做感應(yīng)電場。若用表達(dá)感應(yīng)電場的場強(qiáng),則根據(jù)電動(dòng)勢的定義,處在變化磁場空間的,某導(dǎo)體回路中的感生電動(dòng)勢為,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,該回路的感生電動(dòng)勢還能夠表達(dá)成=,因此.6.4有關(guān)感生電動(dòng)勢的計(jì)算中微積分的應(yīng)用舉例例7半徑為的圓柱形區(qū)域內(nèi),有一均勻磁場（方向垂直圖面對(duì)里）正以速率增加,放入一根長為的導(dǎo)體棒,求棒上的感生電動(dòng)勢.圖4圖5解由于磁場分布含有柱對(duì)稱性,因此它產(chǎn)生的渦旋電場也含有柱對(duì)稱性,在同二分之一徑的圓周上數(shù)值相等,方向沿圓周切線.本題磁場正在增加,因此渦旋電場線是逆時(shí)針方向的同心圓周線.在磁場區(qū)域內(nèi)采用上述公式用于半徑為的圓周環(huán)路得:,有,得.（1）如圖4,當(dāng)棒沿半徑方向放置時(shí),此時(shí)感應(yīng)電場與棒到處垂直,.若將棒分割成無窮多個(gè)電荷元,則線元產(chǎn)生的感應(yīng)電場也與垂直,則.這闡明在沿半徑方向放置的導(dǎo)體棒中不會(huì)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢.（2）當(dāng)棒沿任意方向放置時(shí),如圖5所示.棒離圓心的垂直距離為,將棒分割成無窮多個(gè)電荷元,則線元產(chǎn)生的感應(yīng)電場,元電動(dòng)勢為,則導(dǎo)體