梁的彎曲振動-振動力學(xué)課件

第二節(jié)

梁的彎曲振動一、動力學(xué)方程考慮細長梁的橫向彎曲振動假設(shè)：梁各截面的中心慣性軸在同一平面內(nèi),外載荷作用在該平面內(nèi),梁在該平面作橫向振動（微振）這時梁的主要變形是彎曲變形,在低頻振動時可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響。伯努利－歐拉梁（Bernoulli-EulerBeam）外部力：

單位長度梁上分布的外力梁參數(shù)：單位長度梁的質(zhì)量

截面對中性軸的慣性矩

彈性模量,梁橫截面積微段受力分析

截面上的剪力和彎矩微段的慣性力微段所受的外力距原點

處的截面在t時刻的橫向位移動力平衡關(guān)系由達朗貝爾原理得此方程需待定2個關(guān)于的積分常數(shù)。故必須列出4個邊界條件，2個初始條件。4個關(guān)于的積分常數(shù)二、固有頻率和模態(tài)函數(shù)自由振動方程（1）式的解為

（2）式因除少數(shù)特殊情形，一般無解析解對于等截面為常數(shù)，則設(shè)有本特征方程

4個本征值:通解為或式中由梁的邊界條件導(dǎo)出系統(tǒng)的振動解由系統(tǒng)初始位移和速度確定。由邊界條件確定。解出無窮個固有頻率對應(yīng)有模態(tài)函數(shù)由此構(gòu)成第個主振動固定端條件（位移邊界）

撓度和轉(zhuǎn)角等于零簡支端（鉸支）（位移、力混界）撓度和彎矩等于零自由端（力邊界）彎矩和剪力等于零常見的約束狀況與邊界條件例題1：求簡支梁的固有頻率和模態(tài)

，

解：

由于

解出

固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動鉸：撓度和截面彎矩為零模態(tài)函數(shù)令頻率方程

例題2：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)

，

解：模態(tài)函數(shù)固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零其中參數(shù)定義為頻率方程可利用數(shù)值方法和圖解法各階固有頻率為對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)為鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀例題3

求圖示結(jié)構(gòu)梁的頻率方程。圖中彈性支承的剛度均為已知。

剪力平衡條件：彎矩平衡條件：解：一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比固定端

令

彈簧支撐端解出頻率方程：導(dǎo)出懸臂梁頻率方程：例題4：

懸臂梁自由端附有質(zhì)量求頻率方程。

解：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡利用相同的方法，得頻率方程：其中：為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比為梁質(zhì)量說明：以上分析中沒有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動慣量的影響，因此以上有關(guān)梁的分析只適用于細長梁（梁的長度大于梁高度5倍以上）若梁為非細長梁，必須考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動慣量的影響

鐵木辛柯梁（Timoshenkobeam）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動慣量使得梁的慣性增加，這兩個因素都會使梁的固有頻率降低。三、模態(tài)函數(shù)的正交性變截面梁的自由振動方程：主振動：代入，得：設(shè)：有：（1）右端乘沿全梁長度積分，分部積分得注意到導(dǎo)出的邊界項，在任意邊界支承情況下均為零。在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個同時為零。例如：(2)式兩邊乘并沿梁長積分可得：同理，相減得：(1)式左端沿全梁長度積分：若等截面為常數(shù)，則表示不同固有頻率的模態(tài)函數(shù)(主振型)關(guān)于剛度的正交性。若等截面為常數(shù)，為權(quán)函數(shù)，（剛度正交性）為權(quán)函數(shù)，

表示不同固有頻率的模態(tài)函數(shù)(主振型)關(guān)于質(zhì)量的正交性。四、主質(zhì)量和主剛度第階主質(zhì)量第階主剛度正則模態(tài)函數(shù)各項乘后沿全梁長積分，利用正交性和分部積分結(jié)果其中

五、模態(tài)疊加法得完全解耦方程梁的振動方程：第個正則坐標(biāo)方程

第個正則坐標(biāo)的廣義力假定梁的初始條件為：代入：兩式乘并沿梁長積分，由正交性條件可得：得到后，即可得到梁的響應(yīng)第個正則坐標(biāo)方程第個正則模態(tài)響應(yīng)：

如果作用在梁上的載荷不是分布力、力矩，而是集中力和集中力矩.利用函數(shù)，可以表示為:有：例題1：

等截面簡支粱受初始位移激勵，求響應(yīng)。其中解：

因此

為奇數(shù)為偶數(shù)響應(yīng)：

可以看出，響應(yīng)中第三階諧波只有第一階的1/243，更高階諧波所占的成分就更少。這是由于初始位移接近于第一階模態(tài)的緣故。例題2：汽車勻速過橋問題可簡化為常集中力沿梁勻速移動如圖，試求初始靜止條件下梁的響應(yīng)。解:

（前題已求出）

總響應(yīng)：

求出

再按例題4方法求解。其中可令后梁自由振動，新的初始條件：

（3）當(dāng)時產(chǎn)生第階共振；（2）第一項車輛載荷激起的受迫振動響應(yīng)，第二項為車重自由振動；（1）簡支梁初始響應(yīng)中點受常力P作用產(chǎn)生靜變形，求：當(dāng)P突然移出時梁的響應(yīng)。例題3：解：由材力得初始條件:梁中點的靜撓度.梁兩端簡支固有頻率：振型函數(shù)：代入歸一化條件：正則模態(tài)梁兩端簡支固有頻率：振型函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)初始條件：模態(tài)初始條件：沒有激振力，正則廣義力為零正則廣義力模態(tài)響應(yīng)：例題4：簡支梁中點受力矩作用，求：梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：由上例知：固有頻率：振型函數(shù)：正則廣義力：因此有：第個正則方程：例題5：懸臂梁自由端作用有正弦力