多重混料系統(tǒng)上的最優(yōu)設(shè)計(jì)

多重混料系統(tǒng)上的最優(yōu)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支。過去30年，許多科學(xué)家做出了顯著的貢獻(xiàn)，促進(jìn)了這一學(xué)科的發(fā)展。在研究多重混合動(dòng)力系統(tǒng)的最佳設(shè)計(jì)時(shí)，作者發(fā)現(xiàn)了基于二次正變換的單純系統(tǒng)中的等式。該等式有助于更好地解決多重混合動(dòng)力系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)問題。文本顯示了這種平等的證明及其應(yīng)用的幾個(gè)例子。1多重混料系統(tǒng)上的多重混料定義1稱滿足如下要求的集合為q-1維正規(guī)單純形Sq-1={xΤ=(x1,x2,??xq)|q∑i=1xi=1,xi≥0,i=1,2,??q}(1)在混料試驗(yàn)中,正規(guī)單純形又被稱為混料系統(tǒng).在混料試驗(yàn)中,若某些分量之間不存在任何形式的交互作用,而只起一種“稀釋”作用,則可按變量之間的這種關(guān)系對變量進(jìn)行分類,使得同類變量之間存在交互作用,而不同類之間的變量則不存在交互作用,此時(shí)又稱Sq-1為多重混料系統(tǒng).這個(gè)系統(tǒng)上的多項(xiàng)式模型可表示成多個(gè)多項(xiàng)式和的形式.定義2設(shè)向量XT=(x1,x2,…,xn),若向量Y的元素構(gòu)成的有序序列是向量X的元素構(gòu)成的有序序列的子序列,則稱向量Y是X的子向量.定義3設(shè)向量XT=(x1,x2,…,xn),則稱形如下列向量的向量及其子向量為向量XT=(x1,x2,…,xn)的正則向量.ˉXΤ=(x1,x2,?,xn,x1x2,x1x3??xn-1xn,x1x2x3,?,xn-2xn-1xn,??x1x2?xn)(2)2轉(zhuǎn)化型ss1,2,3,10.2.3s1,3,5.2.2定理1設(shè)XT1=(x11,x12,…,x1q1),XT2=(x21,x22,…,x2q2),若向量f(X1),f(X2)分別是向量X1,X2的正則向量,其階數(shù)分別為k1和k2,M1和M2是階數(shù)分別為k1和k2的兩個(gè)實(shí)正定矩陣,則下述兩個(gè)命題等價(jià):(1)若X1,X2滿足,則fΤi(Xi)Μifi(Xi)≤1i=1,2(3)(2)若X1,X2滿足,則D(X)=[fΤ1(X1)fΤ2(X2)][Μ100Μ2][f1(X1)f2(X2)]≤1(4)證明首先,設(shè)命題一成立.設(shè)滿足命題二中的條件,若X1,X2中有一個(gè)向量等于0,如X2=0,則X1滿足命題一中的條件,所以有fT1(X1)M1f1(X1)≤1成立.且f2(X2)=0.所以,,即命題二成立.設(shè),若X1,X2兩個(gè)向量均不等于0,此時(shí)X1,X2中均有非零分量,不妨設(shè)x1i,x2j為非零分量,且假設(shè)其他分量均為常數(shù),由命題二的條件知,x1i,x2j滿足如下條件{x1i+x2j=R(R＞0)x1i＞0andx2j＞0(6)由正則向量的定義知,此時(shí)f1(X1),f2(X2)的元素只能分別是x1i和x2j的一元多項(xiàng)式或常量形式,又由于M1,M2是兩個(gè)實(shí)正定矩陣,所以D(U0)=[fΤ1(X1)fΤ2(X2)][Μ100Μ2][f1(X1)f2(X2)]=fΤ1(X1)Μ1f1(X1)+fΤ2(X2)Μ2f2(X2)可表示成如下形式[fΤ1(X1)fΤ2(X2)][Μ100Μ2][f1(X1)f2(X2)]=k1∑s=1(as1x1i+bs1)2+k2∑s=2(as2x2j+bs2)2=A1x21i+B1x1i+C1+A2x22j+B2x22j+C2(6)其中,as1,bs1,as2,bs2,A1,B1,C1,A2,B2,C2均為與x1i和x2j無關(guān)的常量,且A1=k1∑s=1a2s1≥0A2=k2∑s=1a2s2≥0再由條件(5),知D(U0)=[fΤ1(X1)fΤ2(X2)][Μ100Μ2][f1(X1)f2(X2)]=A1x21i+B1x1i+C1+A2(R-x1i)2+B2(R-x1i)+C20＜x1i＜R令F(x1i)=A1x21i+B1x1i+C1+A2(R-x1i)2+B2(R-x1i)+C2(0<x1i<R),所以,F″(x1i)=?2D(U0)?x21i=2(A1+A2)≥0,所以F(x1i)是x1i的非凸函數(shù),所以有D(U0)≤max{F(0),F(R)},所以存在UΤ1=(x11,x12,??x1i-1,0,x1i+1,??x1s1,x21,x22,??x2j-1,x1i+x2j,x2j+1,??x2s2)或UΤ1=(x11,x12,??x1i-1,x1i+x2j,x1i+1,??x1s1,x21,x22,??x2j-1,0,x2j+1,??x2s2)使得D(U0)≤D(U1).顯然,U1仍然滿足命題二條件約束,且其中零分量個(gè)數(shù)比U0的零分量個(gè)數(shù)恰好多一個(gè).若U1的兩個(gè)向量X1,X2中有一個(gè)向量等于0,則定理得證.否則繼續(xù)上述過程可得一系列不等式D(U0)≤D(U1)≤D(U2)≤?≤D(Un)≤?其中每一個(gè)Ui均滿足命題二條件約束,且Ui+1中零分量個(gè)數(shù)比Ui的零分量個(gè)數(shù)恰好多一個(gè).由于U0的分量個(gè)數(shù)有限,所以,必存在一個(gè)正整數(shù)N,使得UN的兩個(gè)向量X1,X2中有一個(gè)向量等于0.即有D(UN)≤1.所以有D(U0)≤D(U1)≤D(U2)≤…≤D(Un)≤1.又由于U0的任意性,所以命題二成立.反之,若命題二成立,則命題一顯然成立.證畢.由定理1,可以證明如下推論.推論1設(shè)X1,X2,…,Xm是一組向量,XTi=(xi1,xi2,xiqi)i=1,2,…,m,fi(Xi)是Xi的正則向量的ki階子向量,Mi是ki階實(shí)正定矩陣.則下述兩個(gè)命題等價(jià):(1)對i=1,2,…,m,若滿足,則fTi(Xi)Mifi(Xi)≤1;(2)設(shè)UT=[XT1XT2…XTm],f(U)T=[fT1(X1)fT2(X2)…fTm(Xm)],若滿足,則D(U)=fT(U)Mf(U)≤1,其中Μ=m⊕i=1Μi.3,2,3,4x,3.2.3.2.2,,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3.2.3.2.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3.2.3.2.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.例1已知:x2+y2≤1當(dāng)x+y=1,x≥0∧y≥0成立.則可推知下列不等式成立:(1)當(dāng)x+y+u+v=1,x≥0,y≥0,u≥0,v≥0時(shí),x2+y2+u2+v2≤1成立.(2)再由x=1時(shí),x2≤1成立可推知,對任意n,當(dāng)n∑i=1xi=1,xi≥0(i=1,2,?,n)時(shí),n∑i=1x2i≤1恒成立.(3)同理,對任意的正整數(shù)n和k,當(dāng)n∑i=1xi=1,xi≥0(i=1,2,?,n)時(shí),n∑i=1xki≤1恒成立.例2已知:當(dāng)x+y=1,x≥0∧y≥0時(shí),3x2+2y2+3xy≤3成立.當(dāng)x+y=1,x≥0∧y≥0時(shí),4x2+4y2+3xy≤4成立.則可推知下列不等式成立:(1)當(dāng)x+y+u+v+s+t=1,x≥0∧y≥0∧u≥0∧v≥0∧s≥0∧t≥0時(shí),3x2+2y2+3xy+3u2+2v2+3uv+3s2+2t2+3st≤3成立.(2)當(dāng)x+y+u+v+s+t=1,x≥0∧y≥0∧u≥0∧v≥0∧s≥0∧t≥0時(shí),4x2+4y2+3xy+4u2+4v2+3uv+4s2+4t2+3st≤4成立.(3)當(dāng)x+y+u+v=1,x≥0∧y≥0∧u≥0∧v≥0