微積分上10第10講導(dǎo)數(shù)概念

——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第十講導(dǎo)數(shù)的概念第三章導(dǎo)數(shù)與微分本章學(xué)習(xí)要求：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。熟悉一階微分形式不變性。熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則，能熟練運(yùn)用求導(dǎo)的基本公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)和微分。了解n

階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求常見函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)。熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問題（函數(shù)方程求解、不等式的證明等）。掌握羅必塔法則并能熟練運(yùn)用它計(jì)算有關(guān)的不定式極限。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一.導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景二.導(dǎo)數(shù)的概念三.導(dǎo)數(shù)存在的必要條件四.函數(shù)的增量與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一.導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景

1.

物理背景2.幾何背景1.物理背景在真空中,當(dāng)時(shí)間由t變到t+

t時(shí),自由非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度問題落體所經(jīng)過的路程為例1物體由t到t+

t一段的平均速度是求物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度

vt,就是令

t0的極限過程：從物理學(xué)看,當(dāng)

t0時(shí),應(yīng)該有這是否也說明了一個(gè)什么問題?Pl

l力學(xué)中的線密度問題設(shè)有一根可視為直線的棒上非均勻地分布著質(zhì)量.直線的一端為原點(diǎn),線段OP的長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為m,則m是l的函數(shù)：m=f(l).求點(diǎn)P處的線密度

.例2O給l一個(gè)增量

l,則

l這一段

(

PP')的平均密度是而在P點(diǎn)處的線密度就是

l0平均密度的極限：比較兩個(gè)極限式：與

平面曲線上切線的概念割線PQ切線PT切點(diǎn)2.數(shù)學(xué)背景—

平面曲線的切線問題(1)建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)xI.(2)求函數(shù)由x0到x0+

x的平均變化率：解決與速度變化或變化率相關(guān)問題的步驟:(3)求

x0的極限：小結(jié)二.導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)f(x)在

U(x0)有定義,且

x0+

xU(x0).則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處可導(dǎo),極限值a稱為

f(x)在如果極限存在,點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù).記為定義1.導(dǎo)數(shù)的定義第一個(gè)黑體公式上面X應(yīng)該是分母沿曲線趨近于點(diǎn)

A時(shí)的極限位置.平面曲線y=f(x)的切線：曲線在點(diǎn)

A(x0,y0)處的切線AT

為過曲線上點(diǎn)

A的任意一條割線AA’

當(dāng)點(diǎn)

A’(x0+

x,y0+y)定義切線方程:其中,k0為常數(shù).如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處可導(dǎo),則1、2、4都能稱為導(dǎo)數(shù)的定義，但3不能，因?yàn)樽宰兞績(jī)蓚€(gè)點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)前提是如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處可導(dǎo),那么3的等式就能成立設(shè)函數(shù)f(x)在[x0,x0+

)內(nèi)有定義,若存在,則稱a為f(x)在點(diǎn)x0處的右導(dǎo)數(shù).記為2.左、右導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)在(x0–

,

x0]內(nèi)有定義,若存在,則稱a為f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù).記為定義定理好像見過面啊！3.導(dǎo)函數(shù)若

x(a,b),函數(shù)

f(x)皆可導(dǎo),則說

f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)

f(x)是關(guān)于x的一個(gè)新函數(shù),稱之為f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).通常我們?nèi)苑Q之為f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)：定義函數(shù)在點(diǎn)x0I處的導(dǎo)數(shù):若f(x)在

(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且

存在,則稱

f(x)在[a,b]上可導(dǎo),f

(x)稱為

f(x)在

[a,b]上的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù).

先求導(dǎo)、后代值.定義4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義此時(shí),切線方程為:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)f

(x0)就是對(duì)應(yīng)的平面曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線的斜率

k:yOxx0y=cf

(x0)=0yOxf

(x0)=

，即不存在x0Oxyx0yOxx0f

(x0)不存在f

(x0)不存在尖點(diǎn)不光滑，所以一定不可導(dǎo)，如3、4圖，而函數(shù)圖像可能是連續(xù)的切線平行于x軸：曲線y=f(x)在點(diǎn)x0處的切線可能平行于x軸、垂直于x軸、或不存在,所反映出的導(dǎo)數(shù)值是：切線垂直于x軸：（曲線為連續(xù)曲線）在點(diǎn)

x0處無切線：f

(x0)不存在.在任意一點(diǎn)

x處,有在點(diǎn)(1,

1)

處故所求切線方程為：求曲線y=x2上任意一點(diǎn)處切線的斜率,并求在點(diǎn)

(1,1)

處的切線方程.即

y=2x–1.y–1=2(x–1),例3解三.導(dǎo)數(shù)存在的必要條件設(shè)f(x)在點(diǎn)

x0可導(dǎo),即有于是故函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)的必要條件是它在點(diǎn)

x0連續(xù).只是必要條件！定理連續(xù)一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定連續(xù)y=|x|在點(diǎn)x=0連續(xù),但不可導(dǎo).故f

(0)不存在.y=|x|Oxy例4解重點(diǎn)注意求導(dǎo)時(shí)x的范圍不要包括求導(dǎo)點(diǎn)。分段函數(shù)求導(dǎo)一定要用定義來求?。?！在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.又

當(dāng)n

N時(shí),函數(shù)在在點(diǎn)x=0處連續(xù).例5解當(dāng)n=1時(shí),不存在,故n=1時(shí),函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).當(dāng)n>1時(shí),故n>1時(shí),函數(shù)在

x=0處可導(dǎo).其導(dǎo)數(shù)為

f(x)在x=0處可導(dǎo),從而f(x)=1+bx,x≤0e–x,x>0f(0)=1

f(x)在x=0處連續(xù),f(0)=a.例6解設(shè)a+bx,x≤0求

a,b之值.e–x,x>0y=在x=0可導(dǎo),由可導(dǎo)性：故b=–1,此時(shí)函數(shù)為f(x)=1

x,x≤0e–x,x>0此步轉(zhuǎn)化必須先說明等價(jià)?。∷?函數(shù)的增量與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可表示為

y=f'(x0)

x

+o(

x).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處有

(

有限

)

導(dǎo)數(shù)

f

(x0),則函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的增量

y=f(x0+

x)

f(x0),