3統(tǒng)計圖表14 3 2頻率直方圖

14.3.2頻率直方圖1.學(xué)會用頻率分布表、畫頻率直方圖表示樣本數(shù)據(jù).2.能通過頻率分布表或頻率直方圖對數(shù)據(jù)作出總體估計.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求在學(xué)習(xí)繪制頻率直方圖的過程中，掌握應(yīng)用頻率直方圖等統(tǒng)計圖表估計總體的取值規(guī)律，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.頻率直方圖和頻率折線圖(1)頻率直方圖把橫軸均分成若干段，每一段對應(yīng)的長度稱為_______，然后以此段為底作矩形，它的高等于該組的________，這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組的______，這些矩形就構(gòu)成了直方圖，我們將這種直方圖稱為頻率直方圖.(2)頻率折線圖將頻率直方圖中各個矩形的上底邊的______順次連接起來，并將兩邊端點向外延伸______組距，就得到頻率折線圖，簡稱折線圖.組距頻率中點半個(1)決定組距與組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組時，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來.這時應(yīng)注意：①一般樣本容量越大，所分組數(shù)______；②為方便起見，組距的選擇應(yīng)力求“取整”；③當(dāng)樣本容量不超過120時，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成__________組.(2)將數(shù)據(jù)分組：按______將數(shù)據(jù)分組，分組時，各組均為左閉右開區(qū)間，最后一組是閉區(qū)間.2.畫頻率直方圖的步驟越多5～12組距1面積點睛√√√2.頻率直方圖中，小長方形的面積等于(

)A.組距 B.頻率

C.組數(shù) D.頻數(shù)

解析根據(jù)小長方形的寬及高的意義，可知小長方形的面積為該組樣本數(shù)據(jù)的頻率.B3.如圖所示是一容量為100的樣本的頻率直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為(

) A.20

B.30 C.40

D.50B解析

樣本數(shù)據(jù)落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.4.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率直方圖，若第一組至第六組的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n＝________.60課堂互動題型剖析2題型一頻數(shù)與頻率【例1】

某市共有5000名高三學(xué)生參加聯(lián)考，為了解這些學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在這次測試中的數(shù)學(xué)成績，制成頻率分布表：3分組/分頻數(shù)頻率[80，90)①②[90，100)

0.050[100，110)

0.200[110，120)360.300[120，130)

0.275[130，140)12

[140，150]

0.050合計

根據(jù)上面的頻率分布表，可知①處的數(shù)值為________，②處的數(shù)值為________.0.025②處的數(shù)值為1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①處的數(shù)值為0.025×120＝3.思維升華【訓(xùn)練1】

(1)將容量為100的樣本數(shù)據(jù)分為8個組，如下表：C組號12345678頻數(shù)1013x141513129則第3組的頻率為(

)A.0.03 B.0.07 C.0.14 D.0.21(2)一個頻數(shù)分布表(樣本容量為30)不小心被損壞了一部分，若樣本中數(shù)據(jù)在[20，60)上的頻率為0.8，則估計樣本在[40，50)，[50，60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共為(

)A.15 B.16 C.17 D.19解析由題意得樣本在[40，50)，[50，60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共為30×0.8－4－5＝15.A題型二頻率直方圖和頻率折線圖的繪制【例2】

抽查100袋洗衣粉，測得它們的質(zhì)量如下(單位：g)：494

498

493

505

496

492

487

483508

511

495

494

483

485

511

493505

485

501

503

493

509

509

512484

509

510

495

497

498

504

498483

510

503

497

502

511

497

500493

509

510

493

491

497

515

503515

518

510

514

509

499

493

499506

492

505

489

494

501

509

498502

500

508

491

509

509

499

495493

509

496

509

509

499

486

491492

496

499

508

485

498

496

495496

505

499

505

493

501

510

496487

511

501

496(1)列出樣本的頻率分布表；解

在樣本數(shù)據(jù)中，最大值是518，最小值是483，它們相差35，可以取組距為4g，分成9組，根據(jù)題意列出頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[482.5，486.5)80.08[486.5，490.5)30.03[490.5，494.5)170.17[494.5，498.5)200.20[498.5，502.5)140.14[502.5，506.5)100.10[506.5，510.5)190.19[510.5，514.5)60.06[514.5，518.5]30.03合計1001.00(2)畫出頻率直方圖，頻率折線圖.解

頻率直方圖和頻率分布折線圖如圖所示：1.繪制頻率直方圖的注意事項(1)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目，一般來說，數(shù)據(jù)越多，分組越多.(2)將數(shù)據(jù)分組，決定分點時，一般使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點稍微減小一點.(3)列頻率分布表時，可通過逐一判斷各個數(shù)據(jù)落在哪個小組內(nèi)，以“正”字確定各個小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù).(4)畫頻率直方圖時，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，一定不能標(biāo)成頻率.思維升華2.頻率分布折線圖【訓(xùn)練2】

隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，37，26，39，36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如表所示.分組頻數(shù)頻率[25，30)30.12[30，35)50.20[35.40)80.32[40，45)n1f1[45，50]n2f2(1)確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本的頻率直方圖和頻率折線圖.(2)樣本的頻率直方圖和頻率折線圖如圖所示.題型三頻率分布表、頻率直方圖的應(yīng)用【例3】

為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約是多少？解(1)頻率直方圖是以面積的形式來反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，【遷移1】

(變結(jié)論)在例3條件下，試求樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù).

解樣本的達(dá)標(biāo)率為88%，樣本容量為150，不達(dá)標(biāo)的學(xué)生頻率為1－0.88＝0.12，所以樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150×0.12＝18(人).【遷移2】

(變結(jié)論)在例3條件下，試求次數(shù)在130以上(含130次)的學(xué)生人數(shù).思維升華【訓(xùn)練3】

某校100名學(xué)生期中考試語文成績(單位：分)的頻率直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].(1)求圖中a的值；(2)若這100名學(xué)生的語文成績在某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90)之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解(1)依題意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.一、牢記2個知識點1.頻率直方圖和頻率折線圖的特點.2.畫頻率直方圖的步驟.二、掌握2種方法1.圖象識別.2.數(shù)據(jù)分析.三、注意1個易錯點頻率直方圖中每個小長方形的面積＝相應(yīng)各組的頻率.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：B分組[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為(

)A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65A.21 B.22 C.23 D.24解析底部周長在[80，90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長在[90，100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)×60＝24.2.為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.(

)D3.在一次20千米的汽車?yán)愔校?0名參賽選手的成績?nèi)拷橛?3分鐘到18分鐘之間，將其比賽成績分為五組：第一組[13，14)，第二組[14，15)，…，第五組[17，18]，其頻率直方圖如圖所示，若成績在[13，15)之間的選手可獲獎，則這50名選手中獲獎的人數(shù)為(

)DA.39 B.35 C.15 D.11解析由頻率直方圖知，成績在[13，15)內(nèi)的頻率為1－0.38－0.32－0.08＝0.22，所以成績在[13，15)內(nèi)的人數(shù)為50×0.22＝11，所以獲獎的人數(shù)為11.4.為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組、第二組、…、第五組，如圖是C根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為(

)A.6 B.8 C.12 D.185.(多選題)為征求個人所得稅法修改建議，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了10000名當(dāng)?shù)芈毠さ脑率杖肭闆r，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率直方圖.下列說法正確的是(

)A.月收入低于5000元的職工有5500名B.如果個稅起征點調(diào)整至5000元，估計有50%的當(dāng)?shù)芈毠徽鞫怌.月收入高于或等于7000元的職工約為當(dāng)?shù)芈毠さ?%D.根據(jù)此次調(diào)查，為使60%以上的職工不用繳納個稅，起征點應(yīng)位于[5000，6000)內(nèi)解析月收入低于5000元的職工有10000×(0.0001＋0.0002＋0.00025)×1000＝5500(名)，A正確；如果個稅起征點調(diào)整至5000元，由(0.00025＋0.00015＋0.00005)×1000×100%＝45%，可估計有45%的當(dāng)?shù)芈毠徽鞫?，B不正確；月收入高于或等于7000元的職工約占0.00005×1000×100%＝5%，C正確；月收入低于5000元的頻率為0.55，低于6000元的頻率為0.8，D正確.ACD二、填空題6.某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(均為整數(shù)，單位：分)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，畫出如下部分頻率直方圖.觀察圖形的信息，第四小組的頻率為________.0.3解析第四小組的頻率為1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.248.某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率直方圖(如圖)，其中，上學(xué)所需時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].則(1)圖中的x＝________；(2)若上學(xué)所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，則該校600名新生中估計有________名學(xué)生可以申請住宿.解析(1)由頻率直方圖知20x＝1－20×(0.025＋0.0065＋0.003＋0.003)，解得x＝0.0125.(2)上學(xué)時間不少于1小時的學(xué)生的頻率為0.003×2×20＝0.12，因此估計有0.12×600＝72(名)學(xué)生可以申請住宿.0.012572三、解答題9.為了了解一大片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，人們隨機(jī)測量其中的100株樹木的底部周長(單位：cm)，得到如下數(shù)據(jù)：

99

121

110

96

100

1031259711711311092102109104112105124871041041281091231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108繪制頻率直方圖、頻率折線圖.解

從數(shù)據(jù)中可以看出，這組數(shù)據(jù)的最大值為135，最小值為80，故全距為55，可將其分為11組，組距為5，列表如下：分組頻數(shù)頻率[80，85)10.01[85，90)20.02[90，95)40.04[95，100)140.14[100，105)240.24[105，110)150.15[110，115)120.12[115，120)90.09[120，125)110.11[125，130)60.06[130，135]20.02合計1001.00畫頻率直方圖、頻率折線圖如圖所示：10.某市2019年4月1日～4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物)：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.(1)完成頻率分布表；解頻率分布表：(2)作出頻率直方圖；解頻率直方圖如圖所示：(3)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時，為良；在101～150之間時，為輕微污染；在151～200之間時，為輕度污染.請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價.解答對下述兩條中的一條即可：11.為了解某地居民的月收入情況，一個社會調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了20000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率直方圖如圖所示(最后一組包含兩端值，其他組包含最小值，不包含最大值).現(xiàn)按月收入分層，用分層抽樣的方法在這20000人中抽出200人進(jìn)一步調(diào)查，則月收入在[1500，2000)(單位：元)內(nèi)的應(yīng)抽取________人.40解析

月收入在[1500，2000)的頻率為1－(0.0002＋0.0005×2＋0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故應(yīng)抽取200×0.2＝40(人).12.某班在一次數(shù)學(xué)測驗中，全班N名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻率直方圖如下，已知分?jǐn)?shù)在110～120的學(xué)生有14人.40則總?cè)藬?shù)N＝________，分?jǐn)?shù)在120～125的人數(shù)n＝________.4解析

分?jǐn)?shù)在110～120內(nèi)的學(xué)生的頻率為p1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，分?jǐn)?shù)在120～125內(nèi)的學(xué)生的頻率為p2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，所以分?jǐn)?shù)在120～125內(nèi)的人數(shù)n＝40×0.10＝4.13.某幼兒園根據(jù)部分同年齡段女童的身高數(shù)據(jù)繪制了頻率直方圖，其中身高的變化范圍是[96，106